Vektorberegning - Vector calculus

Del av en artikkelserie om
Beregning
Grunnleggende teorem Leibniz integrert regel Grenser for funksjoner Kontinuitet Middelverdisetning Rolle -setningen
Differensial Definisjoner Derivat  ( generaliseringer ) Differensial uendelig av en funksjon Total Begreper Differensiering notasjon Andre derivat Implisitt differensiering Logaritmisk differensiering Relaterte priser Taylors teorem Regler og identiteter Sum Produkt Kjede Makt Kvotient L'Hôpital sin regel Omvendt General Leibniz Faà di Brunos formel
Integrert Lister over integraler Integrert transformasjon Definisjoner Antiderivativ Integrert  ( feil ) Riemann integrert Lebesgue -integrasjon Konturintegrasjon Integrert omvendte funksjoner Integrasjon av Deler Plater Sylindriske skall Erstatning  ( trigonometrisk , Weierstrass , Euler ) Eulers formel Delvise brøk Endrer rekkefølge Reduksjonsformler Differensiering under det integrerte tegnet Risch algoritme
Serie Geometrisk  ( aritmetisk-geometrisk ) Harmonisk Alternerende Makt Binomial skredder Konvergens tester Summand limit (term test) Forhold Rot Integrert Direkte sammenligning Begrens sammenligning Vekslende serie Cauchy kondens Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergens Krøll Laplacian Retningsderivat Identiteter Satser Gradient Green's Stokes ' Divergens generaliserte Stokes
Multivariabel Formalisme Matrise Tensor Ytre Geometrisk Definisjoner Delvis derivat Flere integrerte Linje integrert Overflate integrert Volum integrert Jacobian Hessian
Spesialisert Brøkdel Malliavin Stokastisk Variasjoner
Diverse Precalculus Historie Ordliste Liste over emner Integrasjonsbi Analyse
v t e

Vektorkalkulus , eller vektoranalyse , er opptatt av differensiering og integrering av vektorfelt , først og fremst i det tredimensjonale euklidiske rommet Begrepet "vektorberegning" brukes noen ganger som et synonym for det bredere emnet multivariabel beregning , som også strekker seg over vektorkalkulus. som delvis differensiering og flere integrasjoner . Vektorkalkulus spiller en viktig rolle i differensialgeometri og i studiet av partielle differensialligninger . Den brukes mye i fysikk og ingeniørfag , spesielt i beskrivelsen av elektromagnetiske felt , gravitasjonsfelt og væskestrøm . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}.}$

Vector calculus ble utviklet fra quaternion -analyse av J. Willard Gibbs og Oliver Heaviside nær slutten av 1800 -tallet, og det meste av notasjon og terminologi ble etablert av Gibbs og Edwin Bidwell Wilson i deres bok fra 1901, Vector Analysis . I konvensjonell form ved bruk av kryssprodukter generaliserer ikke vektorkalkulering til høyere dimensjoner, mens den alternative tilnærmingen til geometrisk algebra som bruker utvendige produkter gjør det (se § Generaliseringer nedenfor for mer).

Grunnleggende objekter

Skalarfelt

Et skalarfelt knytter en skalarverdi til hvert punkt i et mellomrom. Skalaren er et matematisk tall som representerer en fysisk mengde . Eksempler på skalarfelt i applikasjoner inkluderer temperaturfordelingen i hele rommet, trykkfordelingen i en væske og spinn-null kvantefelt (kjent som skalarbosoner ), for eksempel Higgs-feltet . Disse feltene er gjenstand for skalarfeltteori .

Vektorfelt

Et vektorfelt er en tildeling av en vektor til hvert punkt i et mellomrom . Et vektorfelt i planet, for eksempel, kan visualiseres som en samling piler med en gitt størrelse og retning som hver er knyttet til et punkt i planet. Vektorfelt brukes ofte til å modellere for eksempel hastigheten og retningen til et væske i bevegelse gjennom rommet, eller styrken og retningen til en eller annen kraft , for eksempel den magnetiske eller gravitasjonskraften , ettersom den endres fra punkt til punkt. Dette kan for eksempel brukes til å beregne arbeid utført over en linje.

Vektorer og pseudovektorer

I mer avanserte behandlinger skiller man ytterligere pseudovektorfelt og pseudoskalarfelt , som er identiske med vektorfelt og skalarfelt, bortsett fra at de endrer tegn under et orienteringsomvendt kart: for eksempel er krøllen til et vektorfelt et pseudovektorfelt, og hvis man reflekterer et vektorfelt, peker krøllen i motsatt retning. Dette skillet er tydeliggjort og utdypet i geometrisk algebra , som beskrevet nedenfor.

Vector algebra

De algebraiske (ikke-differensielle) operasjonene i vektorberegning blir referert til som vektoralgebra , definert for et vektorrom og deretter globalt påført et vektorfelt. De grunnleggende algebraiske operasjonene består av:

Notasjoner i vektorberegning

Operasjon	Notasjon	Beskrivelse
Vektor tillegg	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}+\ mathbf {v} _ {2}}$	Tilsetning av to vektorer, noe som gir en vektor.
Skalar multiplikasjon	${\ displaystyle a \ mathbf {v}}$	Multiplikasjon av en skalar og en vektor, noe som gir en vektor.
Prikkprodukt	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}$	Multiplikasjon av to vektorer, noe som gir en skalar.
Kryss produkt	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ times \ mathbf {v} _ {2}}$	Multiplikasjon av to vektorer i , noe som gir en (pseudo) vektor. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

De to trippelproduktene som ofte brukes :

Vector calculus triple products

Operasjon	Notasjon	Beskrivelse
Skalert trippelprodukt	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {2} \ times \ mathbf {v} _ {3} \ right)}$	Punktproduktet av kryssproduktet av to vektorer.
Vector trippel produkt	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ times \ left (\ mathbf {v} _ {2} \ times \ mathbf {v} _ {3} \ right)}$	Kryssproduktet av kryssproduktet av to vektorer.

Operatører og teoremer

Differensielle operatører

Vektorregning studier av ulike differensial operatører er definert på skalarfelt eller vektorfelt, som vanligvis uttrykkes i form av den del operatør ( ), også kjent som "nabla". De tre grunnleggende vektoroperatørene er: ${\ displaystyle \ nabla}$

Differensialoperatorer i vektorkalkulus

Operasjon	Notasjon	Beskrivelse	Notasjonell analogi	Domene/område
Gradient	${\ displaystyle \ operatorname {grad} (f) = \ nabla f}$	Måler hastigheten og retningen for endring i et skalarfelt.	Skalar multiplikasjon	Kartlegger skalarfelt til vektorfelt.
Divergens	${\ displaystyle \ operatorname {div} (\ mathbf {F}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$	Måler skalaren til en kilde eller synke på et gitt punkt i et vektorfelt.	Prikkprodukt	Kartlegger vektorfelt til skalarfelt.
Krøll	${\ displaystyle \ operatorname {curl} (\ mathbf {F}) = \ nabla \ times \ mathbf {F}}$	Måler tendensen til å rotere omtrent et punkt i et vektorfelt i . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$	Kryss produkt	Kartlegg vektorfelt til (pseudo) vektorfelt.
f angir et skalarfelt og F betegner et vektorfelt

De to Laplace -operatørene som ofte brukes:

Laplace -operatører i vektorberegning

Operasjon	Notasjon	Beskrivelse	Domene/område
Laplacian	${\ displaystyle \ Delta f = \ nabla ^{2} f = \ nabla \ cdot \ nabla f}$	Måler forskjellen mellom verdien av skalarfeltet med gjennomsnittet på uendelig små baller.	Kart mellom skalarfelt.
Vector Laplacian	${\ displaystyle \ nabla ^{2} \ mathbf {F} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {F})-\ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {F})}$	Måler forskjellen mellom verdien av vektorfeltet med gjennomsnittet på uendelig små baller.	Kart mellom vektorfelt.
f angir et skalarfelt og F betegner et vektorfelt

En mengde som kalles den jakobiske matrisen er nyttig for å studere funksjoner når både domenet og området til funksjonen er multivariable, for eksempel en endring av variabler under integrasjon.

Integrerte teorier

De tre grunnleggende vektoroperatørene har korresponderende teoremer som generaliserer beregningens grunnleggende setning til høyere dimensjoner:

Integrerte teoremer i vektorkalkulus

Teorem	Uttalelse	Beskrivelse
Gradient -teorem	${\ displaystyle \ int _ {L \ subset \ mathbb {R} ^{n}} \! \! \! \ nabla \ varphi \ cdot d \ mathbf {r} \ = \ \ varphi \ left (\ mathbf {q } \ høyre)-\ varphi \ venstre (\ mathbf {p} \ høyre) \ \ {\ tekst {for}} \ \ L = L [p \ til q]}$	Den linjeintegral av gradienten til et skalarfelt over en kurve L er lik endringen i skalarfeltet mellom endepunktene p og q av kurven.
Divergenssetning	${\ displaystyle \ underbrace {\ int \! \ cdots \! \ int _ {V \ subset \ mathbb {R} ^{n}}} _ {n} (\ nabla \ cdot \ mathbf {F}) \, dV \ = \ \ underbrace {\ oint \! \ cdots \! \ oint _ {\ delvis V}} _ {n-1} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {S}}$	Integralet av divergensen av et vektorfelt over et n -dimensjonalt fast stoff V er lik vektorfeltets strømning gjennom ( n −1) -dimensjonal lukket grenseoverflate av det faste stoffet.
Curl (Kelvin – Stokes) teorem	${\ displaystyle \ iint _ {\ Sigma \, \ delsett \ mathbb {R} ^{3}} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ cdot d \ mathbf {\ Sigma} \ = \ \ oint _ { \! \! \! \ delvis \ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r}}$	Integralen av krøllen til et vektorfelt over en overflate Σ in er lik sirkulasjonen av vektorfeltet rundt den lukkede kurven som begrenser overflaten. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$
${\ displaystyle \ varphi}$betegner et skalarfelt og F betegner et vektorfelt

I to dimensjoner reduserer divergens- og krøllsetninger til Greenens teorem:

Grønn teorem om vektorkalkulus

Teorem	Uttalelse	Beskrivelse
Grønns teorem	${\ displaystyle \ iint _ {A \, \ delsett \ mathbb {R} ^{2}} \ venstre ({\ frac {\ partiell M} {\ delvis x}}-{\ frac {\ delvis L} {\ delvis y}} \ høyre) dA \ = \ \ salve _ {\ delvis A} \ venstre (L \, dx+M \, dy \ høyre)}$	Integralet av avviket (eller curl) av et vektorfelt over noen region A i er lik den fluks (eller sirkulasjon) av vektoren felt over den lukkede kurve avgrenser regionen. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$
For divergens, F = ( M , - L ) . For krøll, F = ( L , M , 0) . L og M er funksjonene til ( x , y ) .

applikasjoner

Lineære tilnærminger

Lineære tilnærminger brukes til å erstatte kompliserte funksjoner med lineære funksjoner som er nesten like. Gitt en differensierbar funksjon f ( x , y ) med reelle verdier, kan man tilnærme f ( x , y ) for ( x , y ) nær ( a , b ) ved formelen

${\ displaystyle f (x, y) \ \ approx \ f (a, b)+{\ tfrac {\ partiell f} {\ delvis x}} (a, b) \, (xa)+{\ tfrac {\ delvis f} {\ delvis y}} (a, b) \, (yb).}$

Høyre side er ligningen for planet som tangerer grafen z = f ( x , y ) ved ( a , b ) .

Optimalisering

For en kontinuerlig differensierbar funksjon av flere virkelige variabler , er et punkt P (det vil si et sett med verdier for inndatavariablene, som blir sett på som et punkt i R ⁿ ) kritisk hvis alle delderivatene til funksjonen er null ved P , eller tilsvarende, hvis gradienten er null. De kritiske verdiene er verdiene til funksjonen på de kritiske punktene.

Hvis funksjonen er jevn , eller minst to ganger kontinuerlig differensierbar, kan et kritisk punkt enten være et lokalt maksimum , et lokalt minimum eller et sadelpunkt . De forskjellige tilfellene kan skilles ved å vurdere egenverdiene til den hessiske matrisen til andre derivater.

Etter Fermats teorem forekommer alle lokale maksima og minima for en differensierbar funksjon på kritiske punkter. Derfor, for å finne de lokale maksima og minima, er det teoretisk nok å beregne nullene til gradienten og egenverdiene til den hessiske matrisen ved disse nullene.

Fysikk og ingeniørfag

Vektorberegning er spesielt nyttig for å studere:

• Massesenter
• Feltteori
• Kinematikk
• Maxwells ligninger

Generaliseringer

Ulike 3-manifolder

Vektorkalkyle er opprinnelig definert for euklidisk 3-rom , som har tilleggsstruktur utover å bare være et tredimensjonalt ekte vektorrom, nemlig: en norm (som gir et begrep om lengde) definert via et indre produkt ( prikkproduktet ), som i sving gir en forestilling om vinkel, og en orientering , som gir en forestilling om venstrehendte og høyrehendte. Disse strukturene gir opphav til en volumform , og også tverrproduktet , som brukes gjennomgående i vektorkalkulus. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3},}$

Gradienten og divergensen krever bare det indre produktet, mens krøllen og kryssproduktet også krever at håndteringen av koordinatsystemet tas i betraktning (se kryssprodukt og hendighet for flere detaljer).

Vektorkalkulus kan defineres på andre tredimensjonale virkelige vektorrom hvis de har et indre produkt (eller mer generelt en symmetrisk ikke- generert form ) og en orientering; Vær oppmerksom på at dette er mindre data enn en isomorfisme til det euklidiske rommet, ettersom det ikke krever et sett med koordinater (en referanseramme), noe som gjenspeiler det faktum at vektorkalkylen er variabel under rotasjoner (den spesielle ortogonale gruppen SO (3)) .

Mer generelt kan vektorkalkulering defineres på en hvilken som helst tredimensjonal orientert Riemannian manifold , eller mer generelt pseudo-Riemannian manifold . Denne strukturen betyr ganske enkelt at tangensrommet på hvert punkt har et indre produkt (mer generelt en symmetrisk ikke -generert form) og en orientering, eller mer globalt at det er en symmetrisk ikke -degenerert metrisk tensor og en orientering, og fungerer fordi vektorberegning er definert når det gjelder tangentvektorer på hvert punkt.

Andre dimensjoner

De fleste av de analytiske resultatene er lett forståelige, i en mer generell form, ved hjelp av maskineriet for differensialgeometri , hvorav vektorkalkulus danner en delmengde. Grad og div generaliserer umiddelbart til andre dimensjoner, det samme gjør gradientsetningen, divergenssetningen og Laplacian (gir harmonisk analyse ), mens krøll- og kryssproduktet ikke generaliserer like direkte.

Fra et generelt synspunkt blir de forskjellige feltene i (3-dimensjonal) vektorkalkulering jevnt sett sett på som k- vektorfelt: skalarfelt er 0-vektorfelt, vektorfelt er 1-vektorfelt, pseudovektorfelt er 2-vektor felt, og pseudoskalære felt er 3-vektorfelt. I høyere dimensjoner er det flere typer felt (skalar/vektor/pseudovektor/pseudoskalar som tilsvarer 0/1/ n −1/ n dimensjoner, som er uttømmende i dimensjon 3), så man kan ikke bare jobbe med (pseudo) skalarer og ( pseudo) vektorer.

I en hvilken som helst dimensjon, antatt en ikke -generert form, er grad av en skalarfunksjon et vektorfelt, og div av et vektorfelt er en skalarfunksjon, men bare i dimensjon 3 eller 7 (og trivielt i dimensjon 0 eller 1) er krølle av et vektorfelt et vektorfelt, og bare i 3 eller 7 dimensjoner kan et kryssprodukt defineres (generaliseringer i andre dimensjoner krever enten at vektorer gir 1 vektor, eller er alternative Lie -algebraer , som er mer generelle antisymmetriske bilinære produkter). Generaliseringen av grad og div, og hvordan curl kan generaliseres er utdypet på Curl: Generaliseringer ; kort fortalt er krøllen til et vektorfelt et bivektorfelt , som kan tolkes som den spesielle ortogonale Lie -algebraen med uendelige rotasjoner; Dette kan imidlertid ikke identifiseres med et vektorfelt fordi dimensjonene er forskjellige - det er 3 dimensjoner av rotasjoner i 3 dimensjoner, men 6 dimensjoner av rotasjoner i 4 dimensjoner (og mer generelt dimensjoner av rotasjoner i n dimensjoner). ${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle \ textstyle {{\ binom {n} {2}} = {\ frac {1} {2}} n (n-1)}}$

Det er to viktige alternative generaliseringer av vektorkalkulus. Den første, geometriske algebraen bruker k -vektorfelt i stedet for vektorfelt (i 3 eller færre dimensjoner kan hvert k -vektorfelt identifiseres med en skalarfunksjon eller vektorfelt, men dette er ikke sant i høyere dimensjoner). Dette erstatter tverrproduktet, som er spesifikt for 3 dimensjoner, tar inn to vektorfelt og gir som utgang et vektorfelt, med det utvendige produktet , som eksisterer i alle dimensjoner og tar inn to vektorfelt, og som utgang gir en bivektor (2 -vektor) -feltet. Dette produktet gir Clifford -algebraer som den algebraiske strukturen på vektorrom (med en orientering og ikke -degenerert form). Geometrisk algebra brukes mest i generaliseringer av fysikk og andre anvendte felt til høyere dimensjoner.

Den andre generaliseringen bruker differensialformer ( k -covector -felt) i stedet for vektorfelt eller k -vektorfelt, og er mye brukt i matematikk, spesielt i differensialgeometri , geometrisk topologi og harmonisk analyse , spesielt som gir Hodge -teori om orientert pseudo- Riemanniske manifolds. Fra dette synspunktet tilsvarer grad, curl og div det ytre derivatet av henholdsvis 0-former, 1-former og 2-former, og sentrale teoremer i vektorkalkulus er alle spesielle tilfeller av den generelle formen for Stokes 'teorem .

Fra synspunktet til begge disse generaliseringene identifiserer vektorberegning implisitt matematisk forskjellige objekter, noe som gjør presentasjonen enklere, men den underliggende matematiske strukturen og generaliseringene er mindre tydelige. Fra synspunktet til geometrisk algebra identifiserer vektorberegning implisitt k- vektorfelt med vektorfelt eller skalarfunksjoner: 0-vektorer og 3-vektorer med skalarer, 1-vektorer og 2-vektorer med vektorer. Sett fra differensialformer identifiserer vektorberegning implisitt k- former med skalarfelt eller vektorfelt: 0-former og 3-former med skalarfelt, 1-former og 2-former med vektorfelt. Således tar for eksempel krøllen naturlig som input et vektorfelt eller 1-form, men har naturligvis som utgang et 2-vektorfelt eller 2-form (derav pseudovektorfelt), som deretter tolkes som et vektorfelt, i stedet for å ta direkte et vektorfelt til et vektorfelt; dette gjenspeiles i krøllen til et vektorfelt i høyere dimensjoner som ikke har som utgang et vektorfelt.

Se også

Referanser

Sitater

Kilder

Eksterne linker

• "Vektoranalyse" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• "Vector algebra" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• En undersøkelse av feil bruk av ∇ i vektoranalyse (1994) Tai, Chen-To
• Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (basert på forelesningene til Willard Gibbs ) av Edwin Bidwell Wilson , utgitt 1902.
• Tidligste kjente bruksområder for noen av matematikkens ord: Vektoranalyse