Sammenhengende dualitet - Coherent duality

I matematikk er sammenhengende dualitet noen av en rekke generaliseringer av Serre dualitet , som gjelder sammenhengende skiver , i algebraisk geometri og kompleks mangfoldig teori, samt noen aspekter av kommutativ algebra som er en del av den 'lokale' teorien.

De historiske røttene til teorien ligger i ideen om det tilgrensende lineære systemet til et lineært divisorsystem i klassisk algebraisk geometri. Dette ble uttrykt på nytt, med fremkomst av skiveteori , på en måte som gjorde en analogi med Poincaré-dualiteten tydeligere. I følge et generelt prinsipp, Grothendiecks relative synspunkt , ble teorien om Jean-Pierre Serre utvidet til en ordentlig morfisme ; Serre dualitet ble gjenopprettet som tilfellet med morfismen til en ikke-enestående prosjektiv variant (eller fullstendig variasjon ) til et punkt. Den resulterende teorien kalles nå noen ganger Serre – Grothendieck – Verdier dualitet , og er et grunnleggende verktøy i algebraisk geometri. En behandling av denne teorien, Residues and Duality (1966) av Robin Hartshorne , ble en referanse. En konkret spin-off var Grothendieck-resten .

For å gå utover riktig morfisme, som for versjonene av Poincaré-dualiteten som ikke er for lukkede manifolder , krever det noen versjoner av det kompakte støttekonseptet . Dette ble adressert i SGA2 når det gjelder lokal kohomologi og Grothendieck lokal dualitet ; og deretter. Den Greenlees-May dualitet , først formulert i 1976 av Ralf Strebel og i 1978 av Eben Matlis , er en del av den pågående vurdering av dette området.

Tilstøtende funksjonsperspektiv

Bildefunktioner for skiver
direkte bilde f ∗
omvendt bilde f ∗
direkte bilde med kompakt støtte f !
eksepsjonelt omvendt bilde Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Satser for grunnendring
v t e

Mens Serre-dualiteten bruker en linjebunt eller inverterbar skive som en dualiserende skive , kan den generelle teorien (det viser seg) ikke være ganske så enkel. (Mer presist, kan det, men på bekostning av å innføre den Gorenstein ringen tilstand). I en karakteristisk sving, Grothendieck reformulert generell koherent tosidigheten som eksistensen av en rett adjungerte funktor , kalt vridd eller eksepsjonelt omvendt bilde funktor , til en høyere direkte bilde med kompakt støtte funktor . ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle Rf_ {!}}$

Høyere direkte bilder er en skjevformet form av kohomologi i dette tilfellet med riktig (kompakt) støtte; de er samlet i en enkelt funksjon ved hjelp av den avledede kategoriformuleringen av homologisk algebra (introdusert med dette tilfellet i tankene). Hvis det er riktig, er det en rett tilknytning til den omvendte bildefunksjonen . Den eksistens teoremet for det tvinnede inverse bildet er navnet gitt til bevis for eksistensen av hva som ville være counit for comonad av den etterspurte for adjunction, nemlig en naturlig transformasjons${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Rf _ {!} = Rf _ {\ ast}}$${\ displaystyle f ^ {\ ast}}$

${\ displaystyle Rf _ {!} f ^ {!} \ rightarrow id}$,

som er betegnet av (Hartshorne) eller (Verdier). Det er det aspektet av teorien som er nærmest den klassiske betydningen, som antydningen antyder, at dualitet er definert av integrasjon. ${\ displaystyle Tr_ {f}}$${\ displaystyle \ int _ {f}}$

For å være mer presis, eksisterer den som en eksakt funksjon fra en avledet kategori av kvasi-koherente skiver på , til den analoge kategorien når som helst ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

er en skikkelig eller kvasi prosjektiv morfisme av noetherian-ordninger, av endelig Krull-dimensjon . Fra dette kan resten av teorien utledes: dualiserende komplekser trekker seg tilbake via , Grothendieck-restsymbolet , dualiseringsskiven i Cohen – Macaulay- saken. ${\ displaystyle f ^ {!}}$

For å få en uttalelse på mer klassisk språk, men likevel bredere enn Serre-dualitet, bruker Hartshorne ( algebraisk geometri ) Ext-funksjonen av skiver ; dette er en slags springbrett til den avledede kategorien.

Den klassiske uttalelsen om Grothendieck-dualiteten for en prosjektiv eller riktig morfisme av eteriske ordninger av endelig dimensjon, funnet i Hartshorne ( Residues and dualality ) er følgende kvasi-isomorfisme ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

${\ displaystyle Rf _ {\ ast} RHom_ {X} (F ^ {\ bullet}, f ^ {!} G ^ {\ bullet}) \ to RHom_ {Y} (Rf _ {\ ast} F ^ {\ bullet} , G ^ {\ bullet})}$

for et avgrenset over-kompleks av -moduler med kvasi-koherent kohomologi og et avgrenset under-kompleks av -moduler med koherent kohomologi. Her er skiver av homomorfismer. ${\ displaystyle F ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle O_ {X}}$${\ displaystyle G ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle O_ {Y}}$${\ displaystyle Hom}$

Konstruksjon av pseudofunctor ved hjelp av stive dualiserende komplekser${\ displaystyle f ^ {!}}$

Gjennom årene har flere tilnærminger for å konstruere pseudofunctor dukket opp. En ganske nylig vellykket tilnærming er basert på forestillingen om et stivt dualiseringskompleks. Denne forestillingen ble først definert av Van den Bergh i en ikke-kommutativ sammenheng. Konstruksjonen er basert på en variant av avledet Hochschild-kohomologi (Shukla-kohomologi): La være en kommutativ ring, og la være en kommutativ algebra. Det er en funksjon som tar et cochain-kompleks til et objekt i den avledede kategorien over . ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k-}$${\ displaystyle RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M \ otimes _ {k} ^ {L} M)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M \ otimes _ {k} ^ {L} M)}$${\ displaystyle A}$

Asumming er ikke eterisk, et stivt dualiserende kompleks over i forhold til er per definisjon et par hvor det er et dualiserende kompleks som har en endelig flat dimensjon over , og hvor er en isomorfisme i den avledede kategorien . Hvis det eksisterer et så stivt dualiserende kompleks, er det unikt i sterk forstand. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle (R, \ rho)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ rho: R \ to RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, R \ otimes _ {k} ^ {L} R)}$${\ displaystyle D (A)}$

Forutsatt at det er en lokalisering av en endelig type- algebra, eksistensen av et stivt dualiserende kompleks i forhold til ble først bevist av Yekutieli og Zhang antar at det er en vanlig noetherian ring av endelig Krull dimensjon, og av Avramov , Iyengar og Lipman antar at det er en Gorenstein ring av endelig Krull-dimensjon og er av endelig flat dimensjon over . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$

Hvis en ordning av endelig type er over , kan man lime de stive dualiserende kompleksene som dens affine stykker har, og oppnå et stivt dualiserende kompleks . Når man først har etablert en global eksistens av et stivt dualiseringskompleks, gitt et kart over skjemaer over , kan man definere hvor for en ordning vi setter . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle R_ {X}}$${\ displaystyle f: X \ til Y}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f ^ {!}: = D_ {X} \ circ Lf ^ {*} \ circ D_ {Y}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D_ {X}: = RHom _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} (-, R_ {X})}$

Dualisering av komplekse eksempler

Dualiseringskompleks for en prosjektiv variasjon

Dualiseringskomplekset for en prosjektiv variasjon er gitt av komplekset ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet} = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {n}} [+ n])}$

Fly som krysser en linje

Tenk på den prosjektive variasjonen

${\ displaystyle X = {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z, w]} {(x) (y, z)}} \ right) = { \ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z, w]} {(xy, xz)}} \ right)}$

Vi kan beregne ved hjelp av en oppløsning med lokale skiver. Dette er gitt av komplekset ${\ displaystyle \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {3}} [+ 3 ])}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ bullet} \ til {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ displaystyle 0 \ til {\ mathcal {O}} (- 3) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} z ​​\\ - y \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 2) \ oplus {\ mathcal {O}} (- 2) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} xy & xz \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} \ til {\ mathcal {O}} _ {X} \ til 0}$

Siden vi har det ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {3}} \ cong {\ mathcal {O}} (- 4)}$

${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet} = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {L}} ^ {\ bullet}, {\ mathcal { O}} (- 4) [+ 3]) = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {L}} ^ {\ bullet} \ otimes {\ mathcal {O }} (4) [- 3], {\ mathcal {O}})}$

Dette er komplekset

${\ displaystyle [{\ mathcal {O}} (- 4) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} xy \\ xz \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 2) \ oplus {\ matematisk {O}} (- 2) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} z ​​& -y \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 1)] [- 3]}$

Se også

• Verdier dualitet

Merknader

Referanser

• Greenlees, JPC; May, J. Peter (1992), "Derived functors of I -adic complete and local homology", Journal of Algebra , 149 (2): 438–453, doi : 10.1016 / 0021-8693 (92) 90026-I , ISSN  0021-8693 , MR  1172439
• Hartshorne, Robin (1966), Residues and Duality , Lecture Notes in Mathematics 20 , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 20–48
• Neeman, Amnon (1996), "The Grothendieck duality theorem via Bousfield's techniques and Brown representability", Journal of the American Mathematical Society , 9 (1): 205–236, doi : 10.1090 / S0894-0347-96-00174-9 , ISSN  0894-0347 , MR  1308405
• Verdier, Jean-Louis (1969), "Base change for twisted inverse image of coherent sheaves", Algebraic Geometry (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968) , Oxford University Press , s. 393– 408, MR  0274464
• Hopkins, Glenn, en algebraisk tilnærming til Grothendiecks restsymbol (PDF)