Kompleks manifold - Complex manifold

I differensialgeometri og kompleks geometri er en kompleks manifold en manifold med et atlas med diagrammer til den åpne enhetsplaten i , slik at overgangskartene er holomorfe . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{n}}$

Begrepet kompleks manifold brukes på forskjellige måter for å bety en kompleks manifold i betydningen ovenfor (som kan spesifiseres som en integrerbar kompleks manifold), og en nesten kompleks manifold .

Implikasjoner av kompleks struktur

Siden holomorfe funksjoner er mye mer stive enn glatte funksjoner , har teoriene om glatte og komplekse manifolder veldig forskjellige smaker: kompakte komplekse manifolder er mye nærmere algebraiske varianter enn differensierbare manifolder.

For eksempel, den Whitney innebygging teoremet forteller oss at hver jevne n -dimensjonale manifold kan innleiret som en jevn submanifold av R ^{2 n} , mens det er "sjeldne" for et kompleks manifold for å ha en holomorfe innstøping i C ⁿ . Tenk for eksempel på hvilken som helst kompakt tilkoblet kompleks manifold M : enhver holomorf funksjon på den er konstant etter Liouvilles teorem . Hvis vi hadde en holomorf innbygging av M i C ⁿ , ville koordinatfunksjonene til C ⁿ begrense seg til ikke -konstante holomorfe funksjoner på M , i motsetning til kompakthet, bortsett fra i tilfelle at M bare er et poeng. Komplekse manifolder som kan være innebygd i C ⁿ kalles Stein -manifolder og danner en helt spesiell klasse med manifolder, inkludert for eksempel glatte komplekse affine algebraiske varianter.

Klassifiseringen av komplekse manifolder er mye mer subtil enn den som kan differensieres. For eksempel, mens en gitt topologisk manifold i andre dimensjoner enn fire har høyst mange glatte strukturer , kan en topologisk manifold som støtter en kompleks struktur, og støtter ofte utallige mange komplekse strukturer. Riemann -overflater , todimensjonale manifolder utstyrt med en kompleks struktur, som er topologisk klassifisert av slekten , er et viktig eksempel på dette fenomenet. Settet med komplekse strukturer på en gitt orienterbar overflate, modulo biholomorf ekvivalens, danner i seg selv en kompleks algebraisk variasjon kalt et moduli -rom , hvis struktur fortsatt er et område for aktiv forskning.

Siden overgangskartene mellom diagrammer er biholomorfe, er komplekse manifolder spesielt glatte og kanonisk orienterte (ikke bare orienterbare : et biholomorft kart til (en delmengde av) C ⁿ gir en orientering, ettersom biholomorfe kart er orienteringsbevarende).

Eksempler på komplekse manifolder

• Riemann overflater .
• Calabi - Yau manifolds .
• Det kartesiske produktet av to komplekse manifolder.
• Det omvendte bildet av enhver ikke -kritisk verdi av et holomorft kart.

Glatte komplekse algebraiske varianter

Glatte komplekse algebraiske varianter er komplekse manifolder, inkludert:

• Komplekse vektorrom.
• Komplekse projektive mellomrom , P ⁿ ( C ).
• Komplekse gressmannere .
• Komplekse Lie -grupper som GL ( n , C ) eller Sp ( n , C ).

På samme måte er de kvarternioniske analogene til disse også komplekse manifolder.

Enkelt tilkoblet

De enkelt tilkoblede 1-dimensjonale komplekse manifoldene er isomorfe til enten:

• Δ, enhetsskiven i C
• C , det komplekse planet
• Ĉ , Riemann -sfæren

Legg merke til at det er inneslutninger mellom disse som Δ ⊆ C ⊆ Ĉ , men at det ikke er noen ikke-konstante kart i den andre retningen, etter Liouvilles teorem .

Plate vs plass vs. polydisk

Følgende mellomrom er forskjellige som komplekse manifolder, og viser den mer stive geometriske karakteren til komplekse manifolder (sammenlignet med glatte manifolder):

• komplekst rom .${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{n}}$
• enhetsskiven eller den åpne ballen

${\ displaystyle \ left \ {z \ in \ mathbb {C} ^{n}: \ | z \ | <1 \ right \}.}$

• den polydisc

${\ displaystyle \ left \ {z = (z_ {1}, \ dots, z_ {n}) \ in \ mathbb {C} ^{n}: \ vert z_ {j} \ vert <1 \ \ forall j = 1, \ prikker, n \ høyre \}.}$

Nesten komplekse strukturer

En nesten kompleks struktur på en ekte 2n-manifold er en GL ( n , C ) -struktur (i betydningen G-strukturer ) -det vil si at tangentbunten er utstyrt med en lineær kompleks struktur .

Konkret er dette en endomorfisme av tangentbunten hvis firkant er - I ; denne endomorfismen er analog med multiplikasjon med det imaginære tallet i , og er betegnet J (for å unngå forvirring med identitetsmatrisen I ). Et nesten komplekst mangfold er nødvendigvis jevndimensjonalt.

En nesten kompleks struktur er svakere enn en kompleks struktur: enhver kompleks manifold har en nesten kompleks struktur, men ikke alle nesten komplekse strukturer kommer fra en kompleks struktur. Vær oppmerksom på at hver endimensjonal ekte manifold har en nesten kompleks struktur definert lokalt fra det lokale koordinatdiagrammet. Spørsmålet er om denne komplekse strukturen kan defineres globalt. En nesten kompleks struktur som kommer fra en kompleks struktur kalles integrerbar , og når man ønsker å spesifisere en kompleks struktur i motsetning til en nesten kompleks struktur, sier man en integrerbar kompleks struktur. For ikke-integrerbare komplekse strukturer forsvinner den såkalte Nijenhuis tensor . Denne tensoren er definert på par vektorfelt, X , Y av

${\ displaystyle N_ {J} (X, Y) = [X, Y]+J [JX, Y]+J [X, JY]-[JX, JY] \.}$

For eksempel har den 6-dimensjonale sfæren S ⁶ en naturlig nesten kompleks struktur som stammer fra det faktum at den er det ortogonale komplementet til i i enhetssfæren til oktonene , men dette er ikke en kompleks struktur. (Spørsmålet om den har en kompleks struktur er kjent som Hopf -problemet, etter Heinz Hopf .) Ved å bruke en nesten kompleks struktur kan vi forstå holomorfe kart og spørre om eksistensen av holomorfe koordinater på mangfoldet. Eksistensen av holomorfe koordinater er ekvivalent med å si at mangfoldet er komplekst (det er det som diagram definisjonen sier).

Ved å spenne tangentbunten med de komplekse tallene får vi den kompleksiserte tangentbunten, som multiplikasjon med komplekse tall gir mening (selv om vi begynte med en ekte mangfold). Egenverdiene til en nesten kompleks struktur er ± i og eigenspaces danner underbunter som er betegnet med T ^0,1 M og T ^1,0 M . De Newlander-Nirenberg teoremet viser at en nesten kompleks struktur faktisk er en kompleks struktur nettopp når disse subbundles er involutiv , dvs. lukket under Lie brakett vektorfelt, og en slik nesten kompleks struktur kalles integrerbare .

Kähler og Calabi - Yau manifolder

Man kan definere en analog av en Riemannian -beregning for komplekse manifolder, kalt en hermitisk metrik . I likhet med en Riemannian -metrik, består en hermitisk metrik av et jevnt varierende, positivt bestemt indre produkt på tangentbunten, som er hermitisk med hensyn til den komplekse strukturen på tangensrommet på hvert punkt. Som i Riemannian -tilfellet eksisterer slike beregninger alltid i overflod på alle komplekse mangfold. Hvis den skjev symmetriske delen av en slik metrisk er symplektisk , dvs. lukket og ikke -generert, så kalles metriken Kähler . Kähler -strukturer er mye vanskeligere å få tak i og er mye mer stive.

Eksempler på Kähler -manifolder inkluderer glatte projektive varianter og mer generelt enhver kompleks submanifold av en Kähler -manifold. De Hopf manifolder er eksempler på komplekse mangfoldigheter som ikke er Kähler. For å konstruere en, ta et komplekst vektorrom minus opprinnelsen og vurder handlingen til gruppen av heltall på dette rommet ved multiplikasjon med exp ( n ). Kvoten er en kompleks manifold hvis første Betti -nummer er ett, så ifølge Hodge -teorien kan det ikke være Kähler.

En Calabi-Yau manifold kan defineres som en kompakt Ricci-flat Kähler manifold eller tilsvarende en hvis første Chern-klasse forsvinner.

Se også

• Kompleks dimensjon
• Kompleks analytisk variasjon
• Kvaternionisk mangfold
• Virkelig kompleks mangfold

Fotnoter

Referanser

• Kodaira, Kunihiko (17. november 2004). Komplekse manifolder og deformasjon av komplekse strukturer . Klassikere i matematikk. Springer. ISBN 3-540-22614-1.