Konveks polygon - Convex polygon
Et eksempel på en konveks polygon: en vanlig femkant.
En konveks polygon er en enkel polygon (ikke selvkryssende ) der ingen linjesegment mellom to punkter på grensen noen gang går utenfor polygonen. Tilsvarende er det en enkel polygon hvis indre er et konveks sett . I en konveks polygon er alle innvendige vinkler mindre enn eller lik 180 grader, mens i en strengt konveks polygon er alle innvendige vinkler strengt mindre enn 180 grader.
Egenskaper
Følgende egenskaper til en enkel polygon tilsvarer alle konveksitet:
- Hver indre vinkel er strengt mindre enn 180 grader .
- Hvert punkt på hvert linjesegment mellom to punkter inne i eller på grensen til polygonen forblir innenfor eller på grensen.
- Polygonen er helt inne i et lukket halvplan definert av hver av kantene.
- For hver kant er de indre punktene alle på samme side av linjen som kanten definerer.
- Vinkelen ved hvert toppunkt inneholder alle andre hjørner i kantene og interiøret.
- Polygonen er det konvekse skroget på kantene.
Ytterligere egenskaper til konvekse polygoner inkluderer:
- Skjæringspunktet mellom to konvekse polygoner er en konveks polygon.
- En konveks polygon kan trianguleres i lineær tid gjennom en viftetriangulering , som består i å legge diagonaler fra ett toppunkt til alle andre hjørner.
- Hellys teorem : For hver samling av minst tre konvekse polygoner: hvis skjæringspunktet mellom hver tredje av dem er nonempty, så har hele samlingen et ikke -fritatt kryss.
- Kerin - Milman -teorem : En konveks polygon er det konvekse skroget på dets hjørner. Dermed er det fullt definert av settet med dets hjørner, og man trenger bare hjørnene på polygonen for å gjenopprette hele polygonformen.
- Hyperplanseparasjonsteorem : Alle to konvekse polygoner uten punkter felles har en skillelinje. Hvis polygonene er lukket og minst en av dem er kompakt, er det til og med to parallelle skillelinjer (med et mellomrom mellom dem).
- Integnet trekantegenskap : Av alle trekanter som er inneholdt i en konveks polygon, eksisterer det en trekant med et maksimalt område hvis hjørner alle er polygonhoder.
- Inscribing trekant eiendom: hver konveks polygon med område A kan innskrevet i en trekant av området på mest lik 2 A . Likestilling gjelder (utelukkende) for et parallellogram .
- Integnet/innskrevet rektangleregenskap : For hvert konvekse legeme C i planet kan vi skrive et rektangel r i C slik at en homotisk kopi R av r er omskrevet C og det positive homøthetsforholdet er høyst 2 og .
- Den midlere bredde av et konvekst polygon er lik omkretsen dividert med pi. Så bredden er diameteren på en sirkel med samme omkrets som polygonen.
Hver polygon innskrevet i en sirkel (slik at alle hjørner av polygonen berører sirkelen), hvis ikke selvkryssende , er konveks. Imidlertid kan ikke alle konvekse polygoner skrives inn i en sirkel.
Streng konveksitet
Følgende egenskaper til en enkel polygon tilsvarer alle streng konveksitet:
- Hver indre vinkel er strengt mindre enn 180 grader.
- Hvert linjesegment mellom to punkter i det indre, eller mellom to punkter på grensen, men ikke på samme kant, er strengt internt i polygonen (unntatt ved endepunktene hvis de er på kantene).
- For hver kant er de indre punktene og grensepunktene som ikke finnes i kanten på samme side av linjen som kanten definerer.
- Vinkelen ved hvert toppunkt inneholder alle andre hjørner i det indre (bortsett fra det gitte toppunktet og de to tilstøtende hjørnene).
Hver ikke -genererte trekant er strengt konveks.
Se også
- Konkave polygon en enkel polygon som ikke er konveks
- Konveks polytop
- Syklisk polygon
- Implisitt kurve § Jevn tilnærming til konvekse polygoner
- Tangensiell polygon
Referanser
- ^ Definisjon og egenskaper for konvekse polygoner med interaktiv animasjon.
- ^ -, Christos. "Er skjæringsområdet mellom konvekse polygoner alltid konveks?" . Math Stack Exchange .CS1 -vedlikehold: numeriske navn: forfatterliste ( lenke )
- ^ Weisstein, Eric W. "Triangle Circumscribing" . Wolfram Math World .
- ^ Lassak, M. (1993). "Tilnærming av konvekse kropper med rektangler". Geometriae Dedicata . 47 : 111–117. doi : 10.1007/BF01263495 . S2CID 119508642 .
- ^ Jim Belk. "Hva er gjennomsnittsbredden på en konveks polygon?" . Math Stack Exchange .
Eksterne linker
- Weisstein, Eric W. "Konveks polygon" . MathWorld .
- http://www.rustycode.com/tutorials/convex.html
- Schorn, Peter; Fisher, Frederick (1994), "I.2 Testing the convexity of a polygon" , i Heckbert, Paul S. (red.), Graphics Gems IV , Morgan Kaufmann (Academic Press), s. 7–15 , ISBN 9780123361554