Linjestykke - Line segment

Den geometriske definisjonen av et lukket linjesegment: skjæringspunktet mellom alle punkter ved eller til høyre for A med alle punkter på eller til venstre for B

historisk bilde - lag et linjestykke (1699)

Geometri
Å projisere en kule til et fly
Oversikt Historie
Grener Euklidisk Ikke-euklidisk Elliptisk Sfærisk Hyperbolsk Ikke-arkimedisk geometri Prosjektive Affine Syntetisk Analytisk Algebraisk Aritmetikk Diophantine Differensial Riemannian Symplektisk Diskret differensial Kompleks Avgrenset Diskret/kombinatorisk Digital Konveks Beregning Fraktal Forekomst
Begreper Funksjoner Dimensjon Konstruksjoner i rette og kompass Vinkel Kurve Diagonal Orthogonality ( vinkelrett ) Parallell Vertex Sammenfallende Likheten Symmetri
Null-dimensjonale Punkt
Endimensjonal Linje segmentet stråle Lengde
Todimensjonal Fly Område Polygon Triangel Høyde Hypotenuse Pythagoras teorem Parallelogram Torget Rektangel Rombe Rhomboid Firkant Trapes Drage Sirkel Diameter Omkrets Område
Tredimensjonal Volum Kube kubisk Sylinder Pyramide Sfæren
Fire - / andre dimensjonale Tesseract Hypersphere
Geometre
ved navn Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Arkimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euklid Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Liste over geometre
etter periode Fvt Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euklid Arkimedes Apollonius 1–1400 -tallet Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400–1700 -tallet Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700–1900 -tallet Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter I dag Atiyah Gromov
v t e

I geometri , en linjesegment er en del av en linje som er avgrenset av to distinkte endepunktene , og inneholder hvert punkt på linjen som er mellom dens endepunkter. Et lukket linjesegment inkluderer begge endepunktene, mens et åpent linjesegment ekskluderer begge endepunktene; et halvåpent linjesegment inneholder nøyaktig ett av endepunktene. I geometri er et linjestykke ofte betegnet med en linje over symbolene for de to endepunktene (for eksempel ). ${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$

Eksempler på linjesegmenter inkluderer sidene av en trekant eller firkant. Mer generelt, når begge segmentets endepunkter er hjørner av en polygon eller polyeder , er linjesegmentet enten en kant (av den polygonen eller polyederet) hvis de er tilstøtende hjørner eller en diagonal . Når endepunktene begge ligger på en kurve (for eksempel en sirkel ), kalles et linjestykke et akkord (av den kurven).

I virkelige eller komplekse vektorrom

Hvis V er et vektorrom over eller , og L er et delsett av V , så er L et linjesegment hvis L kan parameteriseres som ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle L = \ {\ mathbf {u} +t \ mathbf {v} \ mid t \ in [0,1] \}}$

for noen vektorer . I hvilket tilfelle, vektorene u og u + v er kalt endepunktene av L . ${\ displaystyle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ i V \, \!}$

Noen ganger må man skille mellom "åpne" og "lukkede" linjesegmenter. I dette tilfellet vil man definere et lukket linjesegment som ovenfor, og et åpent linjesegment som et delsett L som kan parametriseres som

${\ displaystyle L = \ {\ mathbf {u} +t \ mathbf {v} \ mid t \ in (0,1) \}}$

for noen vektorer . ${\ displaystyle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ i V \, \!}$

Tilsvarende er et linjesegment det konvekse skroget på to punkter. Dermed kan linjesegmentet uttrykkes som en konveks kombinasjon av segmentets to endepunkter.

I geometri kan man definere punkt B til å være mellom to andre punkter A og C , hvis avstanden AB lagt til avstanden BC er lik avstanden AC . Dermed er linjesegmentet med endepunktene A = ( a _x , a _y ) og C = ( c _x , c _y ) følgende samling av punkter: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$

${\ displaystyle \ left \ {(x, y) \ mid {\ sqrt {(x-c_ {x})^{2}+(y-c_ {y})^{2}}}+{\ sqrt { (x-a_ {x})^{2}+(y-a_ {y})^{2}}} = {\ sqrt {(c_ {x} -a_ {x})^{2}+(c_ {y} -a_ {y})^{2}}} \ høyre \}.}$

Egenskaper

• Et linjesegment er et tilkoblet , ikke-tomt sett .
• Hvis V er et topologisk vektorrom , da en lukket linjesegment er et lukket sett i V . Imidlertid er et åpent linjesegment et åpent sett i V hvis og bare hvis V er endimensjonalt .
• Mer generelt enn ovenfor kan begrepet et linjesegment defineres i en ordnet geometri .
• Et par linjesegmenter kan være ett av følgende: skjærende , parallelle , skjevt eller ingen av disse. Den siste muligheten er en måte linjesegmenter skiller seg fra linjer: Hvis to ikke -parallelle linjer er i det samme euklidiske planet, må de krysse hverandre, men det trenger ikke å være sant for segmenter.

I bevis

I en aksiomatisk behandling av geometri antas forestillingen om mellomrom enten å tilfredsstille et visst antall aksiomer, eller definert i form av en isometri av en linje (brukt som et koordinatsystem).

Segmenter spiller en viktig rolle i andre teorier. For eksempel er et sett konveks hvis segmentet som slutter seg til to punkter i settet er inneholdt i settet. Dette er viktig fordi det transformerer noen av analysene av konvekse sett til analysen av et linjesegment. Den segment tillegg postulat kan brukes til å legge sammenfallende segment eller segmenter med like lengder, og dermed erstatte andre segmenter inn i en annen uttalelse å gjøre segmenter sammenfallende.

Som en degenerert ellipse

Et linjesegment kan sees på som et degenerert tilfelle av en ellipse , der semiminoraksen går til null, fokusene går til endepunktene og eksentrisiteten går til en. En standard definisjon av en ellipse er settet med punkter som summen av et punkts avstander til to foci er en konstant; hvis denne konstanten er lik avstanden mellom fokusene, er linjesegmentet resultatet. En komplett bane av denne ellipsen krysser linjesegmentet to ganger. Som en degenerert bane er dette en radial elliptisk bane .

I andre geometriske former

I tillegg til å vises som kantene og diagonalene til polygoner og polyeder , vises også linjesegmenter på mange andre steder i forhold til andre geometriske former .

Trekanter

Noen segmenter i en trekant som ofte blir ansett for å inkludere de tre høyder (hver som vinkelrett kobler en side eller dens forlengelse til det motsatte toppunktet ), de tre medianene (hver forbinder en sides midtpunkt til det motsatte toppunktet), de vinkelrette bisektorene på sidene ( vinkelrett koble midtpunktet til en side til en av de andre sidene) og de indre vinkelhalveringslinjene (som hver forbinder et toppunkt med den motsatte siden). I hvert tilfelle er det forskjellige likheter knyttet til disse segmentlengdene til andre (omtalt i artiklene om de forskjellige segmenttypene), samt ulike ulikheter .

Andre segmenter av interesse i en trekant, omfatter de som forbinder ulike trekant sentrene til hverandre, særlig incenter , den omskrevet , den ni-punkts senter , det geometriske tyngdepunkt og orthocenter .

Firkanter

I tillegg til sidene og diagonalene til en firkant , er noen viktige segmenter de to bimedianene (som forbinder midtpunktene på motsatte sider) og de fire maltidene (hver vinkelrett kobler den ene siden til midtpunktet på den motsatte siden).

Sirkler og ellipser

Ethvert rettlinjesegment som forbinder to punkter på en sirkel eller ellipse kalles et akkord . Enhver akkord i en sirkel som ikke lenger har akkord kalles en diameter , og ethvert segment som forbinder sirkelens sentrum (midtpunktet til en diameter) til et punkt på sirkelen kalles en radius .

I en ellipse kalles den lengste akkorden, som også er den lengste diameteren , for hovedaksen , og et segment fra midtpunktet på hovedaksen (ellipsens sentrum) til begge endepunktene på hovedaksen kalles en halvstore akse . På samme måte kalles den korteste diameteren til en ellipse minoraksen , og segmentet fra midtpunktet (ellipsens sentrum) til et av dets endepunkter kalles en semi-minor-akse . Akkordene til en ellipse som er vinkelrett på hovedaksen og passerer gjennom en av dens foci kalles latera recta av ellipsen. Den interfokalavstanden segment forbinder de to brennpunkter.

Regissert linjesegment

Når et linjesegment får en orientering (retning) kalles det et rettet linjesegment . Det antyder en oversettelse eller forskyvning (kanskje forårsaket av en kraft ). Størrelsen og retningen indikerer en potensiell endring. Forlengelse av et rettet linjesegment semi-uendelig produserer en stråle og uendelig i begge retninger produserer en rettet linje . Dette forslaget har blitt absorbert i matematisk fysikk gjennom begrepet en euklidisk vektor . Samlingen av alle rettet linjesegmenter reduseres vanligvis ved å lage "ekvivalente" ethvert par som har samme lengde og orientering. Denne anvendelsen av et ekvivalensforhold stammer fra Giusto Bellavitis introduksjon av begrepet ekvipollens av dirigerte linjesegmenter i 1835.

Generaliseringer

Analogt med rette linjesegmenter ovenfor, kan man også definere buer som segmenter av en kurve .

Se også

• Brutt linje
• Intervall (matematikk)
• Linje (geometri) og Ray (geometri)
• Linjesegmentet skjæringspunkt , den algoritmiske problemet med å finne kryssende par i en samling av linjesegmenter
• Spirangle
• Segment tilleggspostulat

Merknader

Referanser

• David Hilbert The Foundations of Geometry . The Open Court Publishing Company 1950, s. 4

Eksterne linker

• Weisstein, Eric W. "Linjesegment" . MathWorld .
• Linjestykke på PlanetMath
• Kopiere et linjesegment med kompass og rettlinje
• Deling av et linjesegment i N like deler med kompass og straightedge Animert demonstrasjon

Denne artikkelen inneholder materiale fra linjesegmentet på PlanetMath , som er lisensiert under Creative Commons Attribution/Share-Alike-lisensen .