Korrelasjonsfunksjon - Correlation function

Visuell sammenligning av konvolusjon , krysskorrelasjon og autokorrelasjon .

En korrelasjonsfunksjon er en funksjon som gir den statistiske korrelasjonen mellom tilfeldige variabler , avhengig av den romlige eller tidsmessige avstanden mellom disse variablene. Hvis man vurderer korrelasjonsfunksjonen mellom tilfeldige variabler som representerer den samme størrelsen målt på to forskjellige punkter, blir dette ofte referert til som en autokorrelasjonsfunksjon , som består av autokorrelasjoner . Korrelasjonsfunksjoner til forskjellige tilfeldige variabler kalles noen ganger krysskorrelasjonsfunksjoner for å understreke at forskjellige variabler vurderes og fordi de består av krysskorrelasjoner .

Korrelasjonsfunksjoner er en nyttig indikator på avhengigheter som en funksjon av avstand i tid eller rom, og de kan brukes til å vurdere avstanden som kreves mellom prøvepunkter for at verdiene skal være effektivt ukorrelert. I tillegg kan de danne grunnlaget for regler for interpolering av verdier på punkter som det ikke er observasjoner for.

Korrelasjonsfunksjoner som brukes i astronomi , finansanalyse , økonometri og statistisk mekanikk, er bare forskjellige i de spesifikke stokastiske prosessene de brukes på. I kvantefeltteori er det korrelasjonsfunksjoner over kvantefordelinger .

Definisjon

For muligens forskjellige tilfeldige variabler X ( s ) og Y ( t ) på forskjellige punkter s og t i noe rom, er korrelasjonsfunksjonen

${\ displaystyle C (s, t) = \ operatorname {corr} (X (s), Y (t)),}$

hvor er beskrevet i artikkelen om korrelasjon . I denne definisjonen er det antatt at de stokastiske variablene er skalar-verdsatt. Hvis de ikke er det, kan mer kompliserte korrelasjonsfunksjoner defineres. For eksempel, hvis X ( s ) er en tilfeldig vektor med n elementer og Y (t) er en vektor med q elementer, så er en n × q matrise av korrelasjonsfunksjoner definert med element ${\ displaystyle \ operatorname {corr}}$${\ displaystyle i, j}$

${\ displaystyle C_ {ij} (s, t) = \ operatorname {corr} (X_ {i} (s), Y_ {j} (t)).}$

Når n = q , er sporene til denne matrisen noen ganger fokusert på. Hvis sannsynlighetsfordelingen har noen målromssymmetrier, dvs. symmetrier i verdiområdet til den stokastiske variabelen (også kalt interne symmetrier ), vil korrelasjonsmatrisen ha indusert symmetrier. Tilsvarende, hvis det er symmetrier av romdomene (eller tidsdomene) der tilfeldige variabler eksisterer (også kalt romtidssymmetrier ), vil korrelasjonsfunksjonen ha tilsvarende rom- eller tidssymmetrier. Eksempler på viktige romtidssymmetrier er -

• translasjonell symmetri gir C ( s , s ') = C ( s  -  s ') der s og s 'skal tolkes som vektorer som gir koordinater for punktene
• rotasjonssymmetri i tillegg til ovenstående gir C ( s , s ') = C (| s  -  s ' |) hvor | x | betegner normen for vektoren x (for faktiske rotasjoner er dette den euklidiske eller 2-normen).

Korrelasjonsfunksjoner med høyere ordre blir ofte definert. En typisk korrelasjonsfunksjon av rekkefølge n er (vinkelparentene representerer forventningsverdien )

${\ displaystyle C_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {n}} (s_ {1}, s_ {2}, \ cdots, s_ {n}) = \ langle X_ {i_ {1}} ( s_ {1}) X_ {i_ {2}} (s_ {2}) \ cdots X_ {i_ {n}} (s_ {n}) \ rangle.}$

Hvis den tilfeldige vektoren bare har en komponentvariabel, er indeksene overflødige. Hvis det er symmetri, kan korrelasjonsfunksjonen deles opp i irredusible representasjoner av symmetriene - både intern og romtid. ${\ displaystyle i, j}$

Egenskaper for sannsynlighetsfordelinger

Med disse definisjonene ligner studien av korrelasjonsfunksjoner studien av sannsynlighetsfordelinger . Mange stokastiske prosesser kan karakteriseres fullstendig av deres korrelasjonsfunksjoner; det mest bemerkelsesverdige eksemplet er klassen av Gaussiske prosesser .

Sannsynlighetsfordelinger definert på et begrenset antall punkter kan alltid normaliseres, men når disse defineres over sammenhengende mellomrom, kreves ekstra forsiktighet. Studien av slike fordelinger startet med studien av tilfeldige turer og førte til forestillingen om Itō-kalkulus .

Feynman- stien integrert i det euklidiske rommet generaliserer dette til andre problemer av interesse for statistisk mekanikk . Enhver sannsynlighetsfordeling som overholder en betingelse for korrelasjonsfunksjoner kalt refleksjonspositivitet, fører til en lokal kvantefeltsteori etter Wick-rotasjon til Minkowski-romtid (se Osterwalder-Schrader-aksiomer ). Operasjonen av renormalisering er et spesifisert sett med kartlegginger fra rommet for sannsynlighetsfordelinger til seg selv. En kvantefeltteori kalles renormaliserbar hvis denne kartleggingen har et fast punkt som gir en kvantefeltsteori.

Se også

• Autokorrelasjon
• Korrelasjon innebærer ikke årsakssammenheng
• Korrelogram
• Kovariansfunksjon
• Pearson produkt-øyeblikk korrelasjonskoeffisient
• Korrelasjonsfunksjon (astronomi)
• Korrelasjonsfunksjon (statistisk mekanikk)
• Korrelasjonsfunksjon (kvantefeltsteori)
• Gjensidig informasjon
• Vurder forvrengningsteori
• Radiell distribusjonsfunksjon