Tilfeldig variabel - Random variable

${\ displaystyle [0,1]}$

${\ displaystyle \ operatorname {D}}$

${\ displaystyle \ operatorname {D}}$

Blandet type

En blandet tilfeldig variabel er en tilfeldig variabel hvis kumulative fordelingsfunksjon verken er stykkevis-konstant (en diskret tilfeldig variabel) eller overalt-kontinuerlig . Den kan realiseres som summen av en diskret tilfeldig variabel og en kontinuerlig tilfeldig variabel; i så fall vil CDF være det veide gjennomsnittet av CDFene til komponentvariablene.

Et eksempel på en tilfeldig variabel av blandet type vil være basert på et eksperiment der en mynt vendes og spinneren snurres bare hvis resultatet av myntkastet er hoder. Hvis resultatet er haler, X = −1; ellers X = verdien til spinneren som i foregående eksempel. Det er en sannsynlighet på 1 ⁄ 2 for at denne tilfeldige variabelen vil ha verdien −1. Andre verdiområder vil ha halve sannsynligheten for det siste eksemplet.

Mest generelt er hver sannsynlighetsfordeling på den virkelige linjen en blanding av diskret del, entall og en absolutt kontinuerlig del; se Lebesgue's dekomponeringsteorem § Forfining . Den diskrete delen er konsentrert om et tellbart sett, men dette settet kan være tett (som settet med alle rasjonelle tall).

Målteoretisk definisjon

Den mest formelle, aksiomatiske definisjonen av en tilfeldig variabel innebærer tiltaksteori . Kontinuerlige tilfeldige variabler defineres når det gjelder sett med tall, sammen med funksjoner som tilordner slike sett til sannsynligheter. På grunn av forskjellige vanskeligheter (f.eks. Banach-Tarski-paradokset ) som oppstår hvis slike sett er utilstrekkelig begrenset, er det nødvendig å introdusere det som kalles en sigma-algebra for å begrense de mulige settene som sannsynligheter kan defineres over. Normalt brukes en spesiell slik sigma-algebra, Borel σ-algebra , som gjør det mulig å definere sannsynligheter over alle sett som kan utledes enten direkte fra kontinuerlige tallintervaller eller med et begrenset eller telt uendelig antall fagforeninger og/ eller kryss mellom slike intervaller.

Den tiltaksteoretiske definisjonen er som følger.

La være et

${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$

${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$

${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$

${\ displaystyle X \ colon \ Omega \ to E}$

${\ displaystyle B \ i {\ mathcal {E}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle X^{-1} (B) \ i {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle X^{-1} (B) = \ {\ omega: X (\ omega) \ i B \}}$

${\ displaystyle B \ i {\ mathcal {E}}}$

I mer intuitive termer er et medlem av et mulig utfall, et medlem av er en målbar delmengde av mulige utfall, funksjonen gir sannsynligheten for hver slik målbar delmengde, representerer settet med verdier som den tilfeldige variabelen kan ta (for eksempel sett med reelle tall), og et medlem av er et "veloppdragen" (målbart) delsett av (de som sannsynligheten kan bestemmes for). Den tilfeldige variabelen er da en funksjon fra et hvilket som helst utfall til en mengde, slik at resultatene som fører til en nyttig mengde mengder for den tilfeldige variabelen har en veldefinert sannsynlighet. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle E}$

Når er en

${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (E)}$

${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$

${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Virkelig verdsatte tilfeldige variabler

I dette tilfellet er observasjonsrommet settet med reelle tall. Recall, er sannsynlighetsrommet. For et ekte observasjonsrom er funksjonen en virkelig verdsatt tilfeldig variabel hvis ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle X \ colon \ Omega \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ {\ omega: X (\ omega) \ leq r \} \ i {\ mathcal {F}} \ qquad \ forall r \ in \ mathbb {R}.}$

Denne definisjonen er et spesielt tilfelle av det ovenstående fordi settet genererer Borel σ-algebra på settet med reelle tall, og det er tilstrekkelig å kontrollere målbarhet på ethvert generasjonssett. Her kan vi bevise målbarhet på dette generasjonssettet ved å bruke det faktum . ${\ displaystyle \ {(-\ infty, r]: r \ in \ mathbb {R} \}}$${\ displaystyle \ {\ omega: X (\ omega) \ leq r \} = X^{-1} ((-\ infty, r])}$

Øyeblikk

Sannsynlighetsfordelingen til en tilfeldig variabel er ofte preget av et lite antall parametere, som også har en praktisk tolkning. For eksempel er det ofte nok å vite hva den "gjennomsnittlige verdien" er. Dette er fanget opp av det matematiske begrepet forventet verdi av en tilfeldig variabel, betegnet og også kalt det

${\ displaystyle \ operatorname {E} [X]}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [f (X)]}$

${\ displaystyle f (\ operatorname {E} [X])}$

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [X]}$

${\ displaystyle X}$

Matematisk er dette kjent som (generalisert) problem med øyeblikk : for en gitt klasse med tilfeldige variabler , finn en samling funksjoner slik at forventningsverdiene fullt ut karakteriserer

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ {f_ {i} \}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [f_ {i} (X)]}$

${\ displaystyle X}$

Øyeblikk kan bare defineres for virkelige verdier av tilfeldige variabler (eller komplekse verdier, etc.). Hvis den tilfeldige variabelen i seg selv er virkelig verdsatt, kan øyeblikkene i selve variabelen tas, som tilsvarer øyeblikkene i identitetsfunksjonen til den tilfeldige variabelen. Selv for tilfeldige variabler som ikke er reelt verdsatt, kan det imidlertid tas øyeblikk av virkelige verdier av disse variablene. For eksempel, for en

${\ displaystyle f (X) = X}$

${\ displaystyle [X = {\ text {green}}]}$

${\ displaystyle X}$

Funksjoner av tilfeldige variabler

En ny tilfeldig variabel Y kan defineres ved å bruke en ekte Borel-målbar funksjon på resultatene av en

${\ displaystyle g \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle Y = g (X)}$

${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle F_ {Y} (y) = \ operatorname {P} (g (X) \ leq y).}$

Hvis funksjon er inverteres (dvs eksisterer, hvor det er

${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle h = g^{-1}}$

${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle F_ {Y} (y) = \ operatorname {P} (g (X) \ leq y) = {\ start {cases} \ operatorname {P} (X \ leq h (y)) = F_ {X } (h (y)), og {\ text {if}} h = g^{-1} {\ tekst {økende}}, \\\\\ operatorname {P} (X \ geq h (y)) = 1-F_ {X} (h (y)), og {\ text {if}} h = g^{-1} {\ tekst {avtagende}}. \ Ende {saker}}}$

Med de samme hypotesene om inverterbarhet av , forutsatt også

${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} {\ bigl (} h (y) {\ bigr)} \ venstre | {\ frac {dh (y)} {dy}} \ høyre |.}$

Hvis det ikke er noen inverterbarhet av, men hver innrømmer høyst et tellbart antall røtter (dvs. et begrenset eller uendelig antall slike ) som så kan den tidligere relasjonen mellom

${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle x_ {i}}$

${\ displaystyle y = g (x_ {i})}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ sum _ {i} f_ {X} (g_ {i}^{-1} (y)) \ venstre | {\ frac {dg_ {i}^{-1 } (y)} {dy}} \ høyre |}$

der , i henhold til

${\ displaystyle x_ {i} = g_ {i}^{-1} (y)}$

${\ displaystyle g}$

I den måtteoretiske, aksiomatiske tilnærmingen til sannsynlighet, hvis en tilfeldig variabel på og en

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle g \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle Y = g (X)}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle (\ Omega, P)}$

${\ displaystyle (\ mathbb {R}, dF_ {X})}$

${\ displaystyle Y}$

Eksempel 1

La være en virkelig verdsatt,

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle Y = X^{2}}$

${\ displaystyle F_ {Y} (y) = \ operatorname {P} (X^{2} \ leq y).}$

Hvis , så , så ${\ displaystyle y <0}$${\ displaystyle P (X^{2} \ leq y) = 0}$

${\ displaystyle F_ {Y} (y) = 0 \ qquad {\ hbox {if}} \ quad y <0.}$

Hvis , da ${\ displaystyle y \ geq 0}$

${\ displaystyle \ operatorname {P} (X^{2} \ leq y) = \ operatorname {P} (| X | \ leq {\ sqrt {y}}) = \ operatorname {P} (-{\ sqrt { y}} \ leq X \ leq {\ sqrt {y}}),}$

så

${\ displaystyle F_ {Y} (y) = F_ {X} ({\ sqrt {y}})-F_ {X} (-{\ sqrt {y}}) \ qquad {\ hbox {if}} \ quad y \ geq 0.}$

Eksempel 2

Anta at det er en tilfeldig variabel med en kumulativ fordeling ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle F_ {X} (x) = P (X \ leq x) = {\ frac {1} {(1+e^{-x})^{\ theta}}}}}$

hvor er en fast parameter. Tenk på den tilfeldige variabelen . ${\ displaystyle \ theta> 0}$${\ displaystyle Y = \ mathrm {log} (1+e^{-X}).}$

${\ displaystyle F_ {Y} (y) = P (Y \ leq y) = P (\ mathrm {log} (1+e^{ -X}) \ leq y) = P (X \ geq -\ mathrm { logg} (e^{y} -1)). \,}$

Det siste uttrykket kan beregnes i form av den kumulative fordelingen av det ${\ displaystyle X,}$

${\ displaystyle {\ begin {align} F_ {Y} (y) & = 1-F_ {X} (-\ log (e^{y} -1)) \\ [5pt] & = 1-{\ frac {1} {(1+e^{\ log (e^{y} -1)})^{\ theta}}} \\ [5pt] & = 1-{\ frac {1} {(1+e ^{y} -1)^{\ theta}}} \\ [5pt] & = 1-e^{-y \ theta}. \ end {align}}}$

som er den kumulative fordelingsfunksjonen (CDF) for en eksponentiell distribusjon .

Eksempel 3

Anta at det er en tilfeldig variabel med en

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f_ {X} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e^{-x^{2}/2}.}$

Tenk på den tilfeldige variabelen Vi kan finne tettheten ved å bruke formelen ovenfor for en endring av variabler: ${\ displaystyle Y = X^{2}.}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ sum _ {i} f_ {X} (g_ {i}^{-1} (y)) \ venstre | {\ frac {dg_ {i}^{-1 } (y)} {dy}} \ høyre |.}$

I dette tilfellet er endringen ikke monoton , fordi hver verdi av har to tilsvarende verdier på (en positiv og negativ). På grunn av symmetri vil imidlertid begge halvdelene transformere identisk, dvs. ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = 2f_ {X} (g^{-1} (y)) \ venstre | {\ frac {dg^{-1} (y)} {dy}} \ høyre | .}$

Den omvendte transformasjonen er

${\ displaystyle x = g^{-1} (y) = {\ sqrt {y}}}$

og dets derivat er

${\ displaystyle {\ frac {dg^{-1} (y)} {dy}} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {y}}}}}.}$

Deretter,

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = 2 {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e^{-y/2} {\ frac {1} {2 {\ sqrt {y} }}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi y}}} e^{-y/2}.}$

Dette er en chi-squared-fordeling med én grad av frihet .

Eksempel 4

Anta at det er en tilfeldig variabel med en

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f_ {X} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma^{2}}}} e^{-(x- \ mu)^{2}/(2 \ sigma ^{2})}.}$

Tenk på den tilfeldige variabelen Vi kan finne tettheten ved å bruke formelen ovenfor for en endring av variabler: ${\ displaystyle Y = X^{2}.}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ sum _ {i} f_ {X} (g_ {i}^{-1} (y)) \ venstre | {\ frac {dg_ {i}^{-1 } (y)} {dy}} \ høyre |.}$

I dette tilfellet er endringen ikke monoton , fordi hver verdi av har to tilsvarende verdier på (en positiv og negativ). Til forskjell fra det forrige eksemplet, er det imidlertid ingen symmetri i dette tilfellet, og vi må beregne de to forskjellige begrepene: ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} (g_ {1}^{-1} (y)) \ venstre | {\ frac {dg_ {1}^{-1} (y)} { dy}} \ høyre |+f_ {X} (g_ {2}^{-1} (y)) \ venstre | {\ frac {dg_ {2}^{-1} (y)} {dy}} \ høyre |.}$

Den omvendte transformasjonen er

${\ displaystyle x = g_ {1,2}^{-1} (y) = \ pm {\ sqrt {y}}}$

og dets derivat er

${\ displaystyle {\ frac {dg_ {1,2}^{-1} (y)} {dy}} = \ pm {\ frac {1} {2 {\ sqrt {y}}}}}}$

Deretter,

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^{2}}}} {\ frac {1} {2 {\ sqrt {y}}}} (e^{-({\ sqrt {y}}-\ mu)^{2}/(2 \ sigma^{2})}+e^{-(-{\ sqrt {y}}-\ mu) ^{2}/(2 \ sigma ^{2})}).}$

Dette er en ikke-sentral chi-kvadratisk fordeling med én grad av frihet .

Noen eiendommer

• Sannsynlighetsfordelingen for summen av to uavhengige tilfeldige variabler er konvolusjonen av hver av fordelingene.
• Sannsynlighetsfordelinger er ikke et vektorrom- de lukkes ikke under lineære kombinasjoner , da disse ikke bevarer ikke-negativitet eller total integral 1-men de lukkes under konveks kombinasjon , og danner dermed en konveks delmengde av funksjonsrommet (eller målene ).

Ekvivalens av tilfeldige variabler

Det er flere forskjellige sanser der tilfeldige variabler kan anses å være ekvivalente. To tilfeldige variabler kan være like, like nesten sikkert eller like i fordelingen.

I økende styrkerekkefølge er den presise definisjonen av disse ekvivalensbegrepene gitt nedenfor.

Likhet i distribusjon

Dersom prøven plass er et delsett av den virkelige linje, tilfeldige variable X og Y er like i fordeling (merket ) hvis de har de samme fordelingsfunksjoner: ${\ displaystyle X {\ stackrel {d} {=}} Y}$

${\ displaystyle \ operatorname {P} (X \ leq x) = \ operatorname {P} (Y \ leq x) \ quad {\ text {for alle}} x.}$

For å være lik i fordelingen trenger ikke tilfeldige variabler å være definert på samme sannsynlighetsrom. To tilfeldige variabler som har like momentgenererende funksjoner har samme fordeling. Dette gir for eksempel en nyttig metode for å kontrollere likhet mellom visse funksjoner av uavhengige, identisk fordelte (IID) tilfeldige variabler . Imidlertid eksisterer øyeblikkegenereringsfunksjonen bare for distribusjoner som har en definert Laplace -transformasjon .

Nesten sikker likestilling

To tilfeldige variabler X og Y er like sikkert (betegnet ) hvis, og bare hvis, sannsynligheten for at de er forskjellige er

${\ displaystyle X \; {\ stackrel {\ text {as}} {=}} \; Y}$

${\ displaystyle \ operatorname {P} (X \ neq Y) = 0.}$

For alle praktiske formål i sannsynlighetsteori er denne oppfatningen om ekvivalens like sterk som faktisk likhet. Det er knyttet til følgende avstand:

${\ displaystyle d _ {\ infty} (X, Y) = \ operatorname {ess} \ sup _ {\ omega} | X (\ omega) -Y (\ omega) |,}$

hvor "ess sup" representerer det essensielle supremumet i målteorien .

Likestilling

Til slutt, de to tilfeldige variable X og Y er like hvis de er likeverdige som funksjoner på sin plass målbar:

${\ displaystyle X (\ omega) = Y (\ omega) \ qquad {\ hbox {for alle}} \ omega.}$

Denne oppfatningen er vanligvis den minst nyttige i sannsynlighetsteori, fordi i praksis og i teorien er det underliggende målerommet i eksperimentet sjelden eksplisitt karakterisert eller til og med karakteriserbart.

Konvergens

Et viktig tema i matematisk statistikk består i å skaffe konvergensresultater for visse sekvenser av tilfeldige variabler; for eksempel loven om store tall og sentralgrensetningen .

Det er forskjellige sanser der en sekvens av tilfeldige variabler kan konvergere til en tilfeldig variabel . Disse er forklart i artikkelen om

${\ displaystyle X_ {n}}$

${\ displaystyle X}$

Se også

Referanser

Inline sitater

Litteratur

Eksterne linker

• "Random variable" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Zukerman, Moshe (2014), Introduction to Queuing Theory and Stochastic Teletraffic Models (PDF) , arXiv : 1307.2968
• Zukerman, Moshe (2014), grunnleggende sannsynlighetsemner (PDF)