d'Alemberts formel - d'Alembert's formula

I matematikk , og spesielt partielle differensiallikninger (PDEer), er d'Alemberts formel den generelle løsningen på den endimensjonale bølgelikningen (der tegnindekser indikerer delvis differensiering , ved hjelp av d'Alembert-operatoren , blir PDE:) . ${\ displaystyle u_ {tt} (x, t) = c ^ {2} u_ {xx} (x, t)}$ ${\ displaystyle \ Box u = 0}$

Løsningen avhenger av de opprinnelige forholdene ved : og . Den består av separate vilkår for de opprinnelige forholdene og : ${\ displaystyle t = 0}$ ${\ displaystyle u (x, 0)}$ ${\ displaystyle u_ {t} (x, 0)}$ ${\ displaystyle u (x, 0)}$ ${\ displaystyle u_ {t} (x, 0)}$

{\ displaystyle u (x, t) = {\ frac {1} {2}} \ left [u (x-ct, 0) + u (x + ct, 0) \ right] + {\ frac {1} {2c}} \ int _ {x-ct} ^ {x + ct} u_ {t} (\ xi, 0) \, d \ xi.}

Den er oppkalt etter matematikeren Jean le Rond d'Alembert , som avledet den i 1747 som en løsning på problemet med en vibrerende streng .

Detaljer

De karakteristika av PDE-er (hvor tegn angir de to løsninger til kvadratiske ligningen), slik at vi kan bruke endring av de variable (for positiv løsning) og (for det negative løsning) for å omdanne den til PDE . Den generelle løsningen på denne PDE er hvor og er funksjoner. Tilbake i koordinater, ${\ displaystyle x \ pm ct = \ mathrm {const} \,}$ ${\ displaystyle \ pm \,}$ ${\ displaystyle \ mu = x + ct \,}$ ${\ displaystyle \ eta = x-ct \,}$ ${\ displaystyle u _ {\ mu \ eta} = 0 \,}$ ${\ displaystyle u (\ mu, \ eta) = F (\ mu) + G (\ eta) \,}$ ${\ displaystyle F \,}$ ${\ displaystyle G \,}$ ${\ displaystyle C ^ {1} \,}$ ${\ displaystyle x, t \,}$

{\ displaystyle u (x, t) = F (x + ct) + G (x-ct) \,}

{\ displaystyle u \,}

er hvis og er .

{\ displaystyle C ^ {2} \,}

{\ displaystyle F \,}

{\ displaystyle G \,}

{\ displaystyle C ^ {2} \,}

Denne løsningen kan tolkes som to bølger med konstant hastighet som beveger seg i motsatte retninger langs x-aksen. ${\ displaystyle u \,}$ ${\ displaystyle c \,}$

Vurder nå denne løsningen med Cauchy-dataene . ${\ displaystyle u (x, 0) = g (x), u_ {t} (x, 0) = h (x) \,}$

Ved hjelp av får vi . ${\ displaystyle u (x, 0) = g (x) \,}$ ${\ displaystyle F (x) + G (x) = g (x) \,}$

Ved hjelp av får vi . ${\ displaystyle u_ {t} (x, 0) = h (x) \,}$ ${\ displaystyle cF '(x) -cG' (x) = h (x) \,}$

Vi kan integrere den siste ligningen å få

{\ displaystyle cF (x) -cG (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} h (\ xi) \, d \ xi + c_ {1}. \,}

Nå kan vi løse dette ligningssystemet for å få

{\ displaystyle F (x) = {\ frac {-1} {2c}} \ left (-cg (x) - \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {x} h (\ xi) \, d \ xi + c_ {1} \ høyre) \ høyre) \,}

{\ displaystyle G (x) = {\ frac {-1} {2c}} \ left (-cg (x) + \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {x} h (\ xi) d \ xi + c_ {1} \ right) \ right). \,}

Nå, bruker

{\ displaystyle u (x, t) = F (x + ct) + G (x-ct) \,}

d'Alemberts formel blir:

{\ displaystyle u (x, t) = {\ frac {1} {2}} \ left [g (x-ct) + g (x + ct) \ right] + {\ frac {1} {2c}} \ int _ {x-ct} ^ {x + ct} h (\ xi) \, d \ xi.}

Generalisering for inhomogene kanoniske hyperbolske differensialligninger

Den generelle formen for en inhomogen kanonisk hyperbolsk differensialligning har form av:

${\ displaystyle u_ {tt} -c ^ {2} u_ {xx} = f (x, t), \, u (x, 0) = g (x), \, u_ {t} (x, 0) = h (x),}$

for . ${\ displaystyle - \ infty <x <\ infty, \, \, t> 0, f \ in C ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {2}, \ mathbb {R})}$

Alle andreordens differensiallikninger med konstante koeffisienter kan transformeres til deres respektive kanoniske former . Denne ligningen er en av disse tre tilfellene: Elliptisk partiell differensialligning , Parabolisk partiell differensialligning og Hyperbolisk delvis differensialligning .

Den eneste forskjellen mellom en homogen og en inhomogen (delvis) differensialligning er at i den homogene formen tillater vi bare 0 å stå på høyre side ( ), mens den inhomogene er mye mer generell, som i kan være hvilken som helst funksjon så lenge ettersom den er kontinuerlig og kontinuerlig kan differensieres to ganger. ${\ displaystyle f (x, t) = 0}$ ${\ displaystyle f (x, t)}$

Løsningen av ovenstående ligning er gitt med formelen:

${\ displaystyle u (x, t) = {\ frac {1} {2}} {\ Bigl (} g (x + ct) + g (x-ct) {\ biggr)} + {\ frac {1} {2c}} \ int \ limits _ {x-ct} ^ {x + ct} h (s) \, {\ text {d}} s + {\ frac {1} {2c}} \ int \ limits _ { 0} ^ {t} \ int \ limits _ {xc (t- \ tau)} ^ {x + c (t- \ tau)} f (s, \ tau) \, {\ text {d}} s { \ tekst {d}} \ tau}$ .

Hvis den første delen forsvinner, hvis den andre delen forsvinner, og hvis den tredje delen forsvinner fra løsningen, siden integrering av 0-funksjonen mellom to grenser alltid resulterer i 0. ${\ displaystyle g (x) = 0}$ ${\ displaystyle h (x) = 0}$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$