Darwin – Fowler-metoden - Darwin–Fowler method

I statistisk mekanikk brukes Darwin – Fowler-metoden for å utlede distribusjonsfunksjonene med gjennomsnittlig sannsynlighet. Den ble utviklet av Charles Galton Darwin og Ralph H. Fowler i 1922–1923.

Distribusjonsfunksjoner brukes i statistisk fysikk for å estimere gjennomsnittlig antall partikler som opptar et energinivå (derav også kalt yrkestall). Disse distribusjonene er for det meste avledet som de tallene som systemet under vurdering har sin maksimale sannsynlighet for. Men man krever virkelig gjennomsnittstall. Disse gjennomsnittstallene kan oppnås ved Darwin – Fowler-metoden. Selvfølgelig, for systemer i den termodynamiske grensen (stort antall partikler), som i statistisk mekanikk, er resultatene de samme som ved maksimering.

Darwin – Fowler-metoden

I de fleste tekster om statistisk mekanikk utledes statistiske fordelingsfunksjoner i Maxwell – Boltzmann-statistikk , Bose – Einstein-statistikk , Fermi – Dirac-statistikk ) ved å bestemme de som systemet er i sin maksimale sannsynlighet for. Men man krever virkelig de med gjennomsnittlig eller gjennomsnittlig sannsynlighet, selv om - selvfølgelig - resultatene vanligvis er de samme for systemer med et stort antall elementer, som det er tilfellet i statistisk mekanikk. Metoden for å utlede distribusjonsfunksjonene med gjennomsnittlig sannsynlighet er utviklet av CG Darwin og Fowler og er derfor kjent som Darwin – Fowler-metoden. Denne metoden er den mest pålitelige generelle prosedyren for å utlede statistiske distribusjonsfunksjoner. Siden metoden benytter en velgervariabel (en faktor innført for hvert element for å tillate en telleprosedyre), er metoden også kjent som Darwin – Fowler-metoden for velgervariabler. Merk at en distribusjonsfunksjon ikke er den samme som sannsynligheten - jfr. Maxwell-Boltzmann fordeling , Bose-Einstein distribusjon , Fermi-Dirac fordelingen . Vær også oppmerksom på at distribusjonsfunksjonen som er et mål på brøkdelen av de tilstandene som faktisk er okkupert av elementer, er gitt av eller , hvor er degenerasjonen av energinivå av energi og er antall elementer som okkuperer dette nivået (f.eks. I Fermi –Dirac-statistikk 0 eller 1). Total energi og totalt antall elementer er gitt av og . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle f_ {i} = n_ {i} / g_ {i}}$${\ displaystyle n_ {i} = f_ {i} g_ {i}}$${\ displaystyle g_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {i}}$${\ displaystyle n_ {i}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle E = \ sum _ {i} n_ {i} \ varepsilon _ {i}}$${\ displaystyle N = \ sum n_ {i}}$

Darwin – Fowler-metoden har blitt behandlet i tekstene til E. Schrödinger , Fowler og Fowler og EA Guggenheim , til K. Huang , og til HJW Müller – Kirsten . Metoden er også diskutert og brukt for avledning av Bose – Einstein-kondens i boken til RB Dingle  [ de ] .

Klassisk statistikk

For uavhengige elementer med på nivå med energi og for et kanonisk system i et varmebad med temperatur vi setter ${\ displaystyle N = \ sum _ {i} n_ {i}}$${\ displaystyle n_ {i}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {i}}$${\ displaystyle E = \ sum _ {i} n_ {i} \ varepsilon _ {i}}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle Z = \ sum _ {\ text {arrangement}} e ^ {- E / kT} = \ sum _ {\ text {arrangement}} \ prod _ {i} z_ {i} ^ {n_ {i} }, \; \; \; z_ {i} = e ^ {- \ varepsilon _ {i} / kT}.}$

Gjennomsnittet over alle ordninger er gjennomsnittlig yrkesnummer

${\ displaystyle (n_ {i}) _ {\ text {av}} = {\ frac {\ sum _ {j} n_ {j} Z} {Z}} = z_ {j} {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {j}}} \ ln Z.}$

Sett inn en velgervariabel ved å innstille ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle Z _ {\ omega} = \ sum \ prod _ {i} (\ omega z_ {i}) ^ {n_ {i}}.}$

I klassisk statistikk kan elementene (a) skilles fra hverandre og kan ordnes med pakker med elementer på nivå med antall ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle n_ {i}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {i}}$

${\ displaystyle {\ frac {N!} {\ prod _ {i} n_ {i}!}},}$

slik at i dette tilfellet

${\ displaystyle Z _ {\ omega} = N! \ sum _ {n_ {i}} \ prod _ {i} {\ frac {(\ omega z_ {i}) ^ {n_ {i}}} {n_ {i }!}}.}$

Å tillate (b) degenerasjonen av nivå dette uttrykket blir ${\ displaystyle g_ {i}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {i}}$

${\ displaystyle Z _ {\ omega} = N! \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {n_ {i} = 0,1,2, \ ldots} {\ frac {( \ omega z_ {i}) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} \ right) ^ {g_ {i}} = N! e ^ {\ omega \ sum _ {i} g_ {i } z_ {i}}.}$

Velgeren variable gjør det mulig å plukke ut den koeffisient som er . Dermed ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega ^ {N}}$${\ displaystyle Z}$

${\ displaystyle Z = \ left (\ sum _ {i} g_ {i} z_ {i} \ right) ^ {N},}$

og derfor

${\ displaystyle (n_ {j}) _ {\ text {av}} = z_ {j} {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {j}}} \ ln Z = N {\ frac {g_ {j } e ^ {- \ varepsilon _ {j} / kT}} {\ sum _ {i} g_ {i} e ^ {- \ varepsilon _ {i} / kT}}}.}$

Dette resultatet som stemmer overens med den mest sannsynlige verdien oppnådd ved maksimering, involverer ikke en enkelt tilnærming og er derfor nøyaktig, og demonstrerer dermed kraften til denne Darwin – Fowler-metoden.

Kvantestatistikk

Vi har som ovenfor

${\ displaystyle Z _ {\ omega} = \ sum \ prod (\ omega z_ {i}) ^ {n_ {i}}, \; \; z_ {i} = e ^ {- \ varepsilon _ {i} / kT },}$

hvor er antall elementer i energinivå . Siden det i kvantestatistikk ikke kan skilles fra elementer, er det ikke nødvendig med en foreløpig beregning av antall måter å dele elementer i pakker på . Derfor refererer summen bare til summen over mulige verdier av . ${\ displaystyle n_ {i}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {i}}$${\ displaystyle n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}, ...}$${\ displaystyle \ sum}$${\ displaystyle n_ {i}}$

Når det gjelder Fermi – Dirac-statistikk har vi

${\ displaystyle n_ {i} = 0}$ eller ${\ displaystyle n_ {i} = 1}$

per stat. Det er tilstander for energinivå . Derfor har vi det ${\ displaystyle g_ {i}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {i}}$

${\ displaystyle Z _ {\ omega} = (1+ \ omega z_ {1}) ^ {g_ {1}} (1+ \ omega z_ {2}) ^ {g_ {2}} \ cdots = \ prod (1 + \ omega z_ {i}) ^ {g_ {i}}.}$

Når det gjelder statistikk fra Bose – Einstein har vi

${\ displaystyle n_ {i} = 0,1,2,3, \ ldots \ infty.}$

Etter samme fremgangsmåte som tidligere, oppnår vi i denne saken

${\ displaystyle Z _ {\ omega} = (1+ \ omega z_ {1} + (\ omega z_ {1}) ^ {2} + (\ omega z_ {1}) ^ {3} + \ cdots) ^ { g_ {1}} (1+ \ omega z_ {2} + (\ omega z_ {2}) ^ {2} + \ cdots) ^ {g_ {2}} \ cdots.}$

Men

${\ displaystyle 1+ \ omega z_ {1} + (\ omega z_ {1}) ^ {2} + \ cdots = {\ frac {1} {(1- \ omega z_ {1})}}.}$

Derfor

${\ displaystyle Z _ {\ omega} = \ prod _ {i} (1- \ omega z_ {i}) ^ {- g_ {i}}.}$

Oppsummerer begge tilfeller og husker definisjonen av , vi har det er koeffisienten til in ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle \ omega ^ {N}}$

${\ displaystyle Z _ {\ omega} = \ prod _ {i} (1 \ pm \ omega z_ {i}) ^ {\ pm g_ {i}},}$

der de øvre tegnene gjelder for Fermi – Dirac-statistikk, og de nedre tegnene for Bose – Einstein-statistikk.

Deretter må vi vurdere koeffisienten til i tilfelle en funksjon som kan utvides som ${\ displaystyle \ omega ^ {N}}$${\ displaystyle Z _ {\ omega}.}$${\ displaystyle \ phi (\ omega)}$

${\ displaystyle \ phi (\ omega) = a_ {0} + a_ {1} \ omega + a_ {2} \ omega ^ {2} + \ cdots,}$

koeffisienten til er, ved hjelp av restsetningen til Cauchy , ${\ displaystyle \ omega ^ {N}}$

${\ displaystyle a_ {N} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint {\ frac {\ phi (\ omega) d \ omega} {\ omega ^ {N + 1}}}.}$

Vi bemerker at på samme måte kan koeffisienten i ovenstående oppnås som ${\ displaystyle Z}$

${\ displaystyle Z = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint {\ frac {Z _ {\ omega}} {\ omega ^ {N + 1}}} d \ omega \ equiv {\ frac { 1} {2 \ pi i}} \ int e ^ {f (\ omega)} d \ omega,}$

hvor

${\ displaystyle f (\ omega) = \ pm \ sum _ {i} g_ {i} \ ln (1 \ pm \ omega z_ {i}) - (N + 1) \ ln \ omega.}$

Differensiering man oppnår

${\ displaystyle f '(\ omega) = {\ frac {1} {\ omega}} \ left [\ sum _ {i} {\ frac {g_ {i}} {(\ omega z_ {i}) ^ { -1} \ pm 1}} - (N + 1) \ høyre],}$

og

${\ displaystyle f '' (\ omega) = {\ frac {N + 1} {\ omega ^ {2}}} \ mp {\ frac {1} {\ omega ^ {2}}} \ sum _ {i } {\ frac {g_ {i}} {[(\ omega z_ {i}) ^ {- 1} \ pm 1] ^ {2}}}.}$

Man vurderer nå de første og andre derivatene av på det stasjonære punktet der . Denne metoden for evaluering av rundt sadelpunktet er kjent som metoden med bratteste nedstigning . Man får da ${\ displaystyle f (\ omega)}$${\ displaystyle \ omega _ {0}}$${\ displaystyle f '(\ omega _ {0}) = 0.}$${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$

${\ displaystyle Z = {\ frac {e ^ {f (\ omega _ {0})}} {\ sqrt {2 \ pi f '' (\ omega _ {0})}}}.}$

Vi har og dermed ${\ displaystyle f '(\ omega _ {0}) = 0}$

${\ displaystyle N (+1) = \ sum _ {i} {\ frac {g_ {i}} {(\ omega _ {0} z_ {i}) ^ {- 1} \ pm 1}}}$

(+1 er ubetydelig siden er stor). Vi får se et øyeblikk at dette siste forholdet bare er formelen ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle N = \ sum _ {i} n_ {i}.}$

Vi får det gjennomsnittlige yrkesnummeret ved å evaluere ${\ displaystyle (n_ {i}) _ {av}}$

${\ displaystyle (n_ {j}) _ {av} = z_ {j} {\ frac {d} {dz_ {j}}} \ ln Z = {\ frac {g_ {j}} {(\ omega _ { 0} z_ {j}) ^ {- 1} \ pm 1}} = {\ frac {g_ {j}} {e ^ {(\ varepsilon _ {j} - \ mu) / kT} \ pm 1}} , \ quad e ^ {\ mu / kT} = \ omega _ {0}.}$

Dette uttrykket gir gjennomsnittlig antall elementer av totalen i volumet som opptar 1-partikkelnivået med degenerasjon ved temperatur (se f.eks. A priori sannsynlighet ). For at forholdet skal være pålitelig, bør man sjekke at bidrag fra høyere ordre i utgangspunktet synker i størrelse, slik at utvidelsen rundt sadelpunktet faktisk gir en asymptotisk utvidelse. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {j}}$${\ displaystyle g_ {j}}$

Videre lesning

• Mehra, Jagdish; Schrödinger, Erwin; Rechenberg, Helmut (2000-12-28). Den historiske utviklingen av kvanteteori . Springer Science & Business Media. ISBN 9780387951805.

Referanser