Domain (ring theory) - Domain (ring theory)

I algebra , et område av matematikk , er et domene en ring som ikke er null der ab = 0 innebærer a = 0 eller b = 0 . (Noen ganger sies en slik ring å ha " nullproduktegenskapen ".) Tilsvarende er et domene en ring der 0 er den eneste venstre nulldeleren (eller tilsvarende, den eneste høyre nulldeleren). Et kommutativ domene kalles et integrert domene . Matematisk litteratur inneholder flere varianter av definisjonen av "domene".

Algebraiske strukturer
Gruppe -lignende Gruppe Semigroup  / Monoid Rack og quandle Quasigroup og loop Abelsk gruppe Magma Løgnegruppe Gruppeteori
Ring- lignende Ringe Rng Semiring Nær-ring Kommutativ ring Integrert domene Felt Divisjonsring Ringteori
Gitter- lignende Gitter Semilattice Utfylt gitter Total ordre Heyting algebra Boolsk algebra Kart over gitter Gitterteori
Modul- lignende Modul Gruppe med operatører Vector plass Lineær algebra
Algebra- lignende Algebra Assosiativ Ikke-assosiativ Sammensetning algebra Løg algebra Gradert Bialgebra
v t e

Eksempler og ikke-eksempler

• Ringen Z / 6 Z er ikke et domene, fordi bildene av 2 og 3 i denne ringen er ikke-nulselementer med produkt 0. Mer generelt, for et positivt heltall n , er ringen Z / n Z et domene hvis og bare hvis n er prime.
• Et endelig domene er automatisk et endelig felt , av Wedderburns lille teorem .
• De quaternions danner en kommutativ domene. Mer generelt er enhver divisjonsalgebra et domene, siden alle elementene som ikke er null er inverterbare .
• Settet med alle integrerte kvaternioner er en ikke-kommutativ ring som er en delring av kvaternioner, derav et ikke-kommunitativt domene.
• En matrise ring M _n ( R ) i n ≥ 2 er aldri et domene: dersom R er forskjellig fra null, har en slik matrise ring forskjellig fra null nulldivisor og til og med nilpotent annet enn 0. For eksempel elementer, er kvadratet av matriksen enhet E ₁₂ er 0.
• Den tensor algebra av en vektor plass , eller ekvivalent, algebra med polynomer i noncommuting variable over et felt, er et domene. Dette kan bevises ved hjelp av en ordre på de ikke-kommutative monomialene. ${\ displaystyle \ mathbb {K} \ langle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ rangle,}$
• Hvis R er et domene og S er en malmforlengelse av R, er S et domene.
• Den Weyl algebra er en kommutativ domene.
• Den universelle omsluttende algebraen til hvilken som helst Lie-algebra over et felt er et domene. Beviset bruker standardfiltrering på den universelle omsluttende algebra og setningen Poincaré – Birkhoff – Witt .

Grupperinger og nulldelerproblemet

Anta at G er en gruppe og K er et felt . Er grupperingen R = K [ G ] et domene? Identiteten

${\ displaystyle (1-g) (1 + g + \ cdots + g ^ {n-1}) = 1-g ^ {n},}$

viser at et element g av finite orden n > 1 induserer en nulldivisor 1 - g i R . Den null divisor problem spør om dette er den eneste hindringen; med andre ord,

Gitt et felt K og en torsjonsfri gruppe G , er det sant at K [ G ] ikke inneholder noen nulldelere?

Ingen moteksempler er kjent, men problemet forblir generelt åpent (fra 2017).

For mange spesielle klasser av grupper er svaret bekreftende. Farkas og Snider beviste i 1976 at hvis G er en torsjonsfri polysyklisk-av-endelig gruppe og røye K = 0, så er grupperingen K [ G ] et domene. Senere (1980) fjernet Cliff begrensningen for feltets karakteristikk. I 1988 generaliserte Kropholler, Linnell og Moody disse resultatene til tilfelle av torsjonsfrie løsbare og løsbare-for-endelige grupper. Tidligere (1965) arbeidet med Michel Lazard , hvis betydning ble ikke verdsatt av spesialister innen for ca 20 år, hadde behandlet saken der K er ringen av p-ADIC heltall og G er p th kongruens undergruppe av GL ( n , Z ) .

Spektrum av et integrert domene

Nulldelere har en topologisk tolkning, i det minste i tilfelle kommutative ringer: en ring R er et integrert domene hvis og bare hvis den er redusert og dens spektrum Spec R er et irreduserbart topologisk rom . Den første egenskapen blir ofte ansett for å kode noen uendelig liten informasjon, mens den andre er mer geometrisk.

Et eksempel: ringen k [ x , y ] / ( xy ) , hvor k er et felt, er ikke et domene, siden bildene av x og y i denne ringen er nulldelere. Geometrisk tilsvarer dette det faktum at spekteret til denne ringen, som er foreningen av linjene x = 0 og y = 0 , ikke er reduserbar. Faktisk er disse to linjene dens ikke-reduserbare komponenter.

Se også

• Null divisor
• Nullproduktegenskap
• Divisor (ringteori)
• Integrert domene

Merknader

Referanser

• Lam, Tsit-Yuen (2001). A First Course in Noncommutative Rings (2. utgave). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN   978-0-387-95325-0 . MR   1838439 .
• Charles Lanski (2005). Konsepter i abstrakt algebra . AMS bokhandel. ISBN   0-534-42323-X .
• César Polcino Milies; Sudarshan K. Sehgal (2002). En introduksjon til grupperingene . Springer. ISBN   1-4020-0238-6 .
• Nathan Jacobson (2009). Basic Algebra jeg . Dover. ISBN   978-0-486-47189-1 .
• Louis Halle Rowen (1994). Algebra: grupper, ringer og felt . AK Peters . ISBN   1-56881-028-8 .