Eddington – Finkelstein koordinater - Eddington–Finkelstein coordinates

I generell relativitets , Eddington-Finkelstein-koordinatene er et par av koordinatsystemer for en Schwarz geometri (for eksempel en kulesymmetrisk sort hull ) som er innrettet til radial null geodesics . Null geodesics er verdenslinjene til fotoner ; radiale er de som beveger seg direkte mot eller bort fra den sentrale massen. De er oppkalt etter Arthur Stanley Eddington og David Finkelstein . Selv om de ser ut til å ha inspirert ideen, skrev ingen av dem noen gang ned disse koordinatene eller beregningen i disse koordinatene. Roger Penrose ser ut til å ha vært den første til å skrive ned nullformen, men krediterer den til ovennevnte artikkel av Finkelstein, og i Edams Prize-essay senere samme år Eddington og Finkelstein. Mest innflytelsesrikt refererer Misner, Thorne og Wheeler i deres bok Gravitation til nullkoordinatene med det navnet.

I disse koordinatsystemene definerer ytre (innover) vandrende radiale lysstråler (som hver følger en nullgeodesikk) overflatene til konstant "tid", mens den radiale koordinaten er den vanlige arealkoordinaten slik at overflatene av rotasjonsymmetri har et areal på 4 π r ² . En fordel med dette koordinatsystemet er at det viser at den tilsynelatende singulariteten i Schwarzschild-radiusen bare er en koordinatsingularitet og ikke er en ekte fysisk singularitet. Mens dette ble anerkjent av Finkelstein, ble det ikke anerkjent (eller i det minste ikke kommentert) av Eddington, hvis primære formål var å sammenligne og kontrastere de sfærisk symmetriske løsningene i Whiteheads gravitasjonsteori og Einsteins versjon av relativitetsteorien.

Schwarzschild beregning

Schwarzschild-løsning i Schwarzschild-koordinater, med to romdimensjoner undertrykt, og etterlater bare tiden t og avstanden fra sentrum r . I rødt den innkommende nullgeodesikken. I blå kommende nullgeodesikk. I grønt beveger null-lyskeglene som grenser lys, mens massive objekter beveger seg inne i kjeglene.

De Schwarz koordinater er , og i disse koordinatene den Schwarz beregningen er velkjent: ${\ displaystyle (t, r, \ theta, \ varphi)}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = - \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) \, dt ^ {2} + \ left (1 - {\ frac {2GM} {r} } \ høyre) ^ {- 1} \, dr ^ {2} + r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}$

hvor

${\ displaystyle d \ Omega ^ {2} \ equiv d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2}.}$

er den standard Riemann-metriske metoden for 2-sfæren.

Legg merke til de konvensjoner som brukes her er de metriske signatur av (- + + +) og de naturlige enheter hvor c = 1 er den dimensjonsløse lysets hastighet, G det gravitasjonskonstanten , og M er den karakteristiske massen av Schwarz geometri.

Skilpaddekoordinat

Eddington – Finkelstein-koordinatene er basert på skilpaddekoordinaten - et navn som kommer fra et av Zeno of Eleas paradokser på en imaginær fotrute mellom "raskfot" Achilles og en skilpadde .

Skildpaddekoordinaten er definert: ${\ displaystyle r ^ {*}}$

${\ displaystyle r ^ {*} = r + 2GM \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ høyre |.}$

for å tilfredsstille:

${\ displaystyle {\ frac {dr ^ {*}} {dr}} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) ^ {- 1}.}$

Skildpaddekoordinaten nærmer seg når den nærmer seg Schwarzschild-radiusen . ${\ displaystyle r ^ {*}}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle 2GM}$

Når en sonde (for eksempel en lysstråle eller en observatør) nærmer seg en svart hulls begivenhetshorisont, vokser dens Schwarzschild-tidskoordinat uendelig. De utgående nullstrålene i dette koordinatsystemet har en uendelig endring i t på å reise ut fra horisonten. Skildpaddekoordinaten er ment å vokse uendelig i passende hastighet, slik at denne enestående oppførselen i koordinatsystemer konstruert ut fra den fjernes.

Økningen i tidskoordinasjonen til uendelig når man nærmer seg begivenhetshorisonten, er hvorfor informasjon aldri kunne mottas fra noen sonde som sendes gjennom en slik begivenhetshorisont. Dette til tross for at selve sonden likevel kan reise forbi horisonten. Det er også grunnen til at det sorte hullets romtidsmåling, når den uttrykkes i Schwarzschild-koordinater, blir entydig i horisonten - og dermed ikke klarer å fullstendig kartlegge banen til en fallende sonde.

Metrisk

De inngående Eddington – Finkelstein-koordinatene oppnås ved å erstatte koordinaten t med den nye koordinaten . I disse koordinatene kan Schwarzschild-beregningen skrives som ${\ displaystyle v = t + r ^ {*}}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = - \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) dv ^ {2} +2 \, dv \, dr + r ^ {2} d \ Omega ^ {2}.}$

hvor igjen er standard Riemannian-beregning på enhetsradius 2-sfære. ${\ displaystyle d \ Omega ^ {2} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2}}$

På samme måte oppnås de utgående Eddington – Finkelstein-koordinatene ved å erstatte t med nullkoordinaten . Målingen blir deretter gitt av ${\ displaystyle u = tr ^ {*}}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = - \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) du ^ {2} -2 \, du \, dr + r ^ {2} d \ Omega ^ {2}.}$

I begge disse koordinatsystemene er metrikken eksplisitt ikke-entall i Schwarzschild-radiusen (selv om en komponent forsvinner i denne radiusen, er determinanten for metriske fremdeles ikke-forsvinnende, og den inverse metrikken har ingen termer som avviker der.)

Merk at for radiale nullstråler har v = const eller = const eller ekvivalent = const eller u = const vi har dv / dr og du / dr tilnærming 0 og ± 2 i stor r , ikke ± 1 som man kunne forvente hvis man anså deg eller v som "tid". Når man tegner Eddington – Finkelstein-diagrammer, blir overflater med konstant u eller v vanligvis tegnet som kjegler, med u eller v konstante linjer tegnet som skrånende i 45 grader i stedet for som plan (se for eksempel ramme 31.2 i MTW ). Noen kilder tar i stedet , svarende til plane overflater i slike diagrammer. Når det gjelder dette blir beregningen ${\ displaystyle v-2r ^ {*}}$${\ displaystyle u + 2r ^ {*}}$${\ displaystyle t '= t \ pm (r ^ {*} - r) \,}$${\ displaystyle t '}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = - \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) dt '^ {2} \ pm {\ frac {4GM} {r}} \, dt' \, dr + \ left (1 + {\ frac {2GM} {r}} \ høyre) \, dr ^ {2} + r ^ {2} d \ Omega ^ {2} = (- dt '^ {2} + dr ^ {2} + r ^ {2} d \ Omega ^ {2}) + {\ frac {2GM} {r}} (dt '\ pm dr) ^ {2}}$

som er Minkowskian på store r . (Dette var koordinatiden og beregningen som både Eddington og Finkelstein presenterte i papirene sine.)

Dette er et plott av lyskeglene til vr- koordinatene der v- aksen er en rett linje skrått opp til venstre. Den blå linjen er et eksempel på en av v- konstantlinjene. Plottet er lyskeglene med forskjellige verdier av r . De grønne linjene er forskjellige u konstante linjer. Merk at de nærmer seg r = 2GM assymptotisk. I disse koordinatene er horisonten svarthullshorisonten (ingenting kan komme ut). Diagrammet for urkoordinatene er det samme diagrammet snudd opp ned og med u og v utvekslet på diagrammet. I så fall er horisonten den hvite hullhorisonten, som materie og lys kan komme ut av, men ingenting kan gå inn.

Koordinatene Eddington – Finkelstein er fortsatt ufullstendige og kan utvides. For eksempel tidsriktig geodesikk utover, definert av (med τ riktig tid)

${\ displaystyle r (\ tau) = {\ sqrt {2GM \ tau}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} v (\ tau) & = \ int {\ frac {r (\ tau)} {r (\ tau) -2GM}} \, d \ tau \\ & = C + \ tau +2 {\ sqrt {2GM \ tau}} + 4GM \ ln \ left ({\ sqrt {\ frac {\ tau} {2GM}}} - 1 \ høyre) \ end {aligned}}}$

har v ( τ ) → −∞ som τ  → 2 GM . Dvs denne tidsaktige geodesikken har en endelig riktig lengde inn i fortiden der den kommer ut av horisonten ( r  = 2 GM ) når v blir minus uendelig. Regionene for endelig v og r  <2 GM er en annen region fra endelig u og r  <2 GM . Horisonten r  = 2 GM og endelig v (svart hullhorisonten) er forskjellig fra den med r  = 2 GM og endelig u (det hvite hull horisonten).

Metrikken i Kruskal – Szekeres-koordinatene dekker hele den utvidede Schwarzschild-romtiden i et enkelt koordinatsystem. Dens største ulempe er at beregningen avhenger av både tids- og romkoordinatene i disse koordinatene. I Eddington – Finkelstein, som i Schwarzschild-koordinater, er beregningen uavhengig av "tiden" (enten t i Schwarzschild, eller u eller v i de forskjellige Eddington – Finkelstein-koordinatene), men ingen av disse dekker hele romtiden.

Eddington – Finkelstein-koordinatene har en viss likhet med Gullstrand – Painlevé-koordinatene ved at begge er tidsuavhengige, og trenger gjennom (er regelmessige over) enten fremtidens (svarte hull) eller fortidens (hvite hull) horisonter. Begge er ikke diagonale (overflatene til konstant "tid" er ikke ortogonale mot overflatene til konstant r .) Sistnevnte har en flat romlig metrisk, mens førstnevnte er romlige ("tid" konstant) overflater er null og har samme metriske som den til en nullkegle i Minkowski-rommet ( i flat romtid). ${\ displaystyle t = \ pm r}$

Se også

• Schwarzschild koordinerer
• Kruskal – Szekeres koordinerer
• Lemaître koordinerer
• Gullstrand – Painlevé-koordinater
• Vaidya beregning

Referanser