Euklidisk forhold - Euclidean relation

I matematikk er euklidiske relasjoner en klasse av binære relasjoner som formaliserer " aksiom 1 " i Euklids elementer : "Størrelser som er like det samme er like hverandre."

Definisjon

Høyre euklidisk eiendom: solide og stiplede piler indikerer henholdsvis fortilfeller og konsekvenser.

En binær relasjon R på et sett X er euklidisk (noen ganger kalt høyre euklidisk ) hvis den tilfredsstiller følgende: for hver a , b , c i X , hvis a er relatert til b og c , så er b relatert til c . For å skrive dette i predikatlogikk :

Dually, et forhold R på X er venstre euklidske hvis for hver en , b , c i X , hvis b er relatert til en og c er knyttet til en , og deretter b er relatert til c :

Eiendommer

Skjematisert høyre euklidisk forhold i henhold til eiendom 10. Dypfargede firkanter indikerer ekvivalensklassene til R ' . Blekfargede rektangler indikerer mulige forhold mellom elementer i X \ ran ( R ). I disse rektanglene kan forhold, eller ikke, holde.
  1. På grunn av kommutativiteten til ∧ i definisjonens fortilfelle, innebærer aRb ∧ aRc til og med bRc ∧ cRb når R er riktig euklidisk. Tilsvarende BH ∧ CRA innebærer BRC ∧ CRB når R er igjen euklidske.
  2. Egenskapen til å være euklidisk er forskjellig fra transitt . For eksempel er ≤ transitiv, men ikke riktig euklidisk, mens xRy definert av 0 ≤ x ≤ y + 1 ≤ 2 ikke er transitiv, men høyre euklidisk på naturlige tall.
  3. For symmetriske forhold sammenfaller transitt, høyre eukliditet og venstre eukliditet. Imidlertid kan også et ikke-symmetrisk forhold være både transitivt og høyre euklidisk, for eksempel xRy definert av y = 0.
  4. En relasjon som både er riktig euklidisk og refleksiv er også symmetrisk og derfor en ekvivalensrelasjon . Tilsvarende er hvert venstre euklidiske og refleksive forhold en ekvivalens.
  5. Den spekter av rett euklidsk forhold er alltid en undergruppe av sitt domenenavn . Den begrensning av en rett euklidsk forhold til dens rekkevidde er alltid refleksiv, og derfor en ekvivalens. Tilsvarende er domenet til et venstre euklidisk forhold en delmengde av området, og begrensningen av et venstre euklidisk forhold til dets domene er en ekvivalens.
  6. Et forhold R er både venstre og høyre euklidisk, hvis, og bare hvis, domenet og områdesettet til R er enige, og R er en ekvivalensrelasjon på det settet.
  7. Et høyre euklidisk forhold er alltid kvasitransitivt , og det samme er et venstre euklidisk forhold.
  8. En sammenhengende rett euklidisk relasjon er alltid transitiv; og det er også et sammenhengende venstre euklidisk forhold.
  9. Dersom X har minst 3 komponenter, en tilkoplet rett euklidsk forhold R på X kan ikke være antisymmetrisk , og det kan heller ikke en tilkoblet venstre euklidsk forhold på X . På 2-elementssettet X = {0, 1}, f.eks. Er forholdet xRy definert av y = 1 forbundet, høyre euklidisk og antisymmetrisk, og xRy definert av x = 1 er koblet sammen, venstre euklidisk og antisymmetrisk.
  10. Et forhold R på et sett X er riktig euklidisk hvis, og bare hvis begrensningen R '  : = R | ran ( R ) er en ekvivalens, og for hver x i X \ ran ( R ) er alle elementer som x er relatert til under R ekvivalente under R ' . Tilsvarende er R on X igjen euklidisk hvis, og bare hvis, R '  : = R | dom ( R ) er en ekvivalens, og for hver x i X \ dom ( R ) er alle elementer som er relatert til x under R ekvivalente under R ' .
  11. Et venstre euklidisk forhold er unikt til venstre hvis, og bare hvis det er antisymmetrisk . Tilsvarende er et riktig euklidisk forhold riktig unikt hvis, og bare hvis det er antisymmetrisk.
  12. En venstre euklidisk og venstre unik relasjon er vakuum transitive, og det samme er en høyre euklidisk og høyre unik relasjon.
  13. Et venstre euklidisk forhold er kvasi-refleksivt . For venstre-unike relasjoner holder det omvendte også. Dualalt er hvert rette euklidiske forhold riktig kvasi-refleksivt, og hver rette unike og rette kvasi-refleksive forhold er riktig euklidisk.

Referanser