Hagen – Poiseuille-strøm fra Navier – Stokes-ligningene - Hagen–Poiseuille flow from the Navier–Stokes equations

I væskedynamikk viser avledningen av Hagen – Poiseuille-strømmen fra Navier – Stokes-ligningene hvordan denne strømmen er en nøyaktig løsning på Navier – Stokes-ligningene .

derivasjon

Den laminære strømmen gjennom et rør med ensartet (sirkulært) tverrsnitt er kjent som Hagen – Poiseuille-strømning. Ligningene som styrer Hagen – Poiseuille-strømmen kan avledes direkte fra Navier – Stokes momentum-ligninger i 3D-sylindriske koordinater ved å gjøre følgende antagelser:

1. Flyten er jevn ( ).${\ displaystyle \ partiell (...) / \ delvis t = 0}$
2. De radielle og virvlende komponentene med fluidhastigheten er null ( ).${\ displaystyle u_ {r} = u _ {\ theta} = 0}$
3. Flyten er aksymmetrisk ( ).${\ displaystyle \ partial (...) / \ partial \ theta = 0}$
4. Flyten er fullt utviklet ( ). Imidlertid kan dette bevises via massekonservering, og antagelsene ovenfor.${\ displaystyle \ partiell u_ {z} / \ partiell z = 0}$

Da blir vinkellikningen i momentumligningene og kontinuitetslikningen identisk tilfredsstilt. Den første momentumligningen reduserer til , dvs. at trykket er en funksjon av den aksiale koordinaten . Den tredje momentum-ligningen reduseres til: ${\ displaystyle \ partiell p / \ partiell r = 0}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parti} {\ del r}} \ venstre (r {\ frac {\ del u_ {z}} {\ del r}} \ høyre) = {\ frac {1} {\ mu}} {\ frac {\ parti p} {\ del z}}}$hvor er den dynamiske viskositeten til væsken.${\ displaystyle \ mu}$

Løsningen er

${\ displaystyle u_ {z} = {\ frac {1} {4 \ mu}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} r ^ {2} + c_ {1} \ ln r + c_ { 2}}$

Siden må være begrenset til , . Den ikke gli grensebetingelse ved rørveggen krever at ved (radius av røret), som utbytter ${\ displaystyle u_ {z}}$${\ displaystyle r = 0}$${\ displaystyle c_ {1} = 0}$${\ displaystyle u_ {z} = 0}$${\ displaystyle r = R}$

${\ displaystyle c_ {2} = - {\ frac {1} {4 \ mu}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} R ^ {2}.}$

Dermed har vi endelig følgende parabolsk hastighetsprofil :

${\ displaystyle u_ {z} = - {\ frac {1} {4 \ mu}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} (R ^ {2} -r ^ {2}).}$

Maksimal hastighet oppstår ved rørets midtlinje ( ): ${\ displaystyle r = 0}$

${\ displaystyle {u_ {z}} _ {max} = {\ frac {R ^ {2}} {4 \ mu}} \ venstre (- {\ frac {\ del p} {\ del z}} \ høyre ).}$

Gjennomsnittshastigheten kan oppnås ved å integrere over rørets tverrsnitt :

${\ displaystyle {u_ {z}} _ {\ mathrm {avg}} = {\ frac {1} {\ pi R ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {R} u_ {z} \ cdot 2 \ pi rdr = 0,5 {u_ {z}} _ {\ mathrm {max}}.}$

Hagen – Poiseuille-ligningen relaterer trykkfallet over et sirkulært rør med lengde til den gjennomsnittlige strømningshastigheten i røret og andre parametere. Forutsatt at trykket synker lineært over lengden på røret, har vi (konstant). Å erstatte dette og uttrykket for i uttrykket for og legge merke til at rørets diameter får vi: ${\ displaystyle \ Delta p}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle {u_ {z}} _ {\ mathrm {avg}}}$${\ displaystyle - {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} = {\ frac {\ Delta p} {L}}}$${\ displaystyle {u_ {z}} _ {\ mathrm {max}}}$${\ displaystyle {u_ {z}} _ {\ mathrm {avg}}}$${\ displaystyle D = 2R}$

${\ displaystyle {u_ {z}} _ {avg} = {\ frac {D ^ {2}} {32 \ mu}} {\ frac {\ Delta p} {L}}.}$

Omorganisering av dette gir Hagen – Poiseuille-ligningen:

${\ displaystyle \ Delta p = {\ frac {32 \ mu L ~ {u_ {z}} _ {\ mathrm {avg}}} {D ^ {2}}}.}$

referanser

Se også

• Couette flyt
• Rørstrøm