Harde kuler - Hard spheres

Harde kuler er mye brukt som modellpartikler i den statistiske mekaniske teorien om væsker og faste stoffer. De defineres ganske enkelt som ugjennomtrengelige kuler som ikke kan overlappe i rommet. De etterligner den ekstremt sterke ("uendelig elastiske hoppende") frastøtningen som atomer og sfæriske molekyler opplever på svært tette avstander. Systemer med harde sfærer studeres på analytiske måter, ved simuleringer av molekylær dynamikk og ved eksperimentell studie av visse kolloidale modellsystemer. Hard-kule-systemet gir en generell modell som forklarer kvasiuniversal struktur og dynamikk av enkle væsker.

Formell definisjon

Harde sfærer med diameter er partikler med følgende parvise interaksjonspotensial: ${\ displaystyle \ sigma}$

{\ displaystyle V (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}) = \ left \ {{\ begin {matrix} 0 & {\ mbox {if}} \ quad | \ mathbf { r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2} | \ geq \ sigma \\\ infty & {\ mbox {if}} \ quad | \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r } _ {2} | <\ sigma \ end {matrix}} \ høyre.}

hvor og er posisjonene til de to partiklene. ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2}}$

Hard-sfærer gass

De tre første viriale koeffisientene for harde sfærer kan bestemmes analytisk

${\ displaystyle {\ frac {B_ {2}} {v_ {0}}}}$	=	${\ displaystyle 4 {\ frac {} {}}}$
${\ displaystyle {\ frac {B_ {3}} {{v_ {0}} ^ {2}}}}$	=	${\ displaystyle 10 {\ frac {} {}}}$
${\ displaystyle {\ frac {B_ {4}} {{v_ {0}} ^ {3}}}}$	=	${\ displaystyle - {\ frac {712} {35}} + {\ frac {219 {\ sqrt {2}}} {35 \ pi}} + {\ frac {4131} {35 \ pi}} \ arccos { \ frac {1} {\ sqrt {3}}} \ ca 18.365}$

Høyere ordre kan bestemmes numerisk ved hjelp av Monte Carlo-integrasjon . Vi lister opp

${\ displaystyle {\ frac {B_ {5}} {{v_ {0}} ^ {4}}}}$	=	${\ displaystyle 28.24 \ pm 0.08}$
${\ displaystyle {\ frac {B_ {6}} {{v_ {0}} ^ {5}}}}$	=	${\ displaystyle 39.5 \ pm 0.4}$
${\ displaystyle {\ frac {B_ {7}} {{v_ {0}} ^ {6}}}}$	=	${\ displaystyle 56.5 \ pm 1.6}$

En tabell over viriale koeffisienter for opptil åtte dimensjoner finnes på siden Hard sfære: viriale koeffisienter .

Fasediagram over hardkule-systemet (hel linje - stabil gren, stiplet linje - metastabil gren): Trykk som en funksjon av volumfraksjonen (eller pakningsfraksjonen)

{\ displaystyle P}

{\ displaystyle \ eta}

Det harde sfæresystemet viser en fluid-solid faseovergang mellom volumfraksjonene av frysing og smelting . Trykket divergerer tilfeldig tettpakking for den metastabile væskegrenen og ved tettpakning for den stabile faste grenen. ${\ displaystyle \ eta _ {\ mathrm {f}} \ ca 0.494}$ ${\ displaystyle \ eta _ {\ mathrm {m}} \ ca. 0,545}$ ${\ displaystyle \ eta _ {\ mathrm {rcp}} \ ca 0.644}$ ${\ displaystyle \ eta _ {\ mathrm {cp}} = {\ sqrt {2}} \ pi / 6 \ ca. 0.74048}$