Klassisk Heisenberg-modell - Classical Heisenberg model

Den klassiske Heisenberg-modellen , utviklet av Werner Heisenberg , er tilfellet med n-vektormodellen , en av modellene som brukes i statistisk fysikk for å modellere ferromagnetisme og andre fenomener. ${\ displaystyle n = 3}$

Definisjon

Det kan formuleres som følger: ta et d-dimensjonalt gitter , og et sett spinn av enhetslengden

{\ displaystyle {\ vec {s}} _ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {3}, | {\ vec {s}} _ {i} | = 1 \ quad (1)}

,

hver og en plassert på en gitterknute.

Modellen er definert gjennom følgende Hamiltonian :

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = - \ sum _ {i, j} {\ mathcal {J}} _ {ij} {\ vec {s}} _ {i} \ cdot {\ vec {s} } _ {j} \ quad (2)}

med

{\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {ij} = {\ begin {cases} J & {\ mbox {if}} i, j {\ mbox {are neighbours}} \ \ 0 & {\ mbox {else.} } \ end {cases}}}

en kobling mellom spinn.

Den generelle matematiske formalismen som ble brukt til å beskrive og løse Heisenberg-modellen og visse generaliseringer er utviklet i artikkelen om Potts-modellen .
I kontinuumsgrensen gir Heisenberg-modellen (2) følgende bevegelsesligning

{\ displaystyle {\ vec {S}} _ {t} = {\ vec {S}} \ wedge {\ vec {S}} _ {xx}.}

Denne ligningen kalles den kontinuerlige klassiske Heisenberg ferromagnetligningen eller kort Heisenberg-modellen og er integrerbar i betydningen solitonteori. Den innrømmer flere integrerbare og ikke-integrerbare generaliseringer som Landau-Lifshitz-ligning , Ishimori-ligning og så videre.

Ved langdistanseinteraksjon er den termodynamiske grensen godt definert hvis ; magnetiseringen forblir null hvis ; men magnetiseringen er positiv, ved lav nok temperatur, hvis (infrarøde grenser). ${\ displaystyle J_ {x, y} \ sim | xy | ^ {- \ alpha}}$ ${\ displaystyle \ alpha> 1}$ ${\ displaystyle \ alpha \ geq 2}$ ${\ displaystyle 1 <\ alpha <2}$
Som i enhver 'nærmeste nabo' n-vektormodell med frie grensebetingelser, hvis det eksterne feltet er null, finnes det en enkel eksakt løsning.

Når det gjelder langdistanseinteraksjon, er den termodynamiske grensen godt definert hvis ; magnetiseringen forblir null hvis ; men magnetiseringen er positiv ved lav nok temperatur hvis (infrarøde grenser). ${\ displaystyle J_ {x, y} \ sim | xy | ^ {- \ alpha}}$ ${\ displaystyle \ alpha> 2}$ ${\ displaystyle \ alpha \ geq 4}$ ${\ displaystyle 2 <\ alpha <4}$
Polyakov har antatt at, i motsetning til den klassiske XY-modellen , er det ingen dipolfase for noen ; dvs. ved temperatur som ikke er null, korrelerer korrelasjonene eksponentielt raskt. ${\ displaystyle T> 0}$