Hopf invariant - Hopf invariant

I matematikk , spesielt i algebraisk topologi , er Hopf-invarianten en homotopi- invariant av visse kart mellom sfærer .

Motivasjon

I 1931 Heinz Hopf brukes Clifford paralleller til å konstruere kart Hopf

${\ displaystyle \ eta \ colon S ^ {3} \ to S ^ {2}}$,

og bevist at det er essensielt, dvs. ikke homotopisk til det konstante kartet, ved å bruke det faktum at koblingsnummeret til sirklene ${\ displaystyle \ eta}$

${\ displaystyle \ eta ^ {- 1} (x), \ eta ^ {- 1} (y) \ undersett S ^ {3}}$

er lik 1, for alle . ${\ displaystyle x \ neq y \ in S ^ {2}}$

Det ble senere vist at homotopygruppen er den uendelige sykliske gruppen generert av . I 1951, Jean-Pierre Serre bevist at de rasjonelle homotopi grupper ${\ displaystyle \ pi _ {3} (S ^ {2})}$${\ displaystyle \ eta}$

${\ displaystyle \ pi _ {i} (S ^ {n}) \ tidsperioder \ mathbb {Q}}$

for en oddimensjonal sfære ( oddetall) er null med mindre den er lik 0 eller n . Imidlertid, for en enda-dimensjonale sfæren ( n selv), er det enda en bit av uendelig syklisk homotopiteori i grad . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle 2n-1}$

Definisjon

La være et kontinuerlig kart (anta ). Da kan vi danne cellekomplekset${\ displaystyle \ phi \ colon S ^ {2n-1} \ til S ^ {n}}$${\ displaystyle n> 1}$

${\ displaystyle C _ {\ phi} = S ^ {n} \ cup _ {\ phi} D ^ {2n},}$

hvor er en -dimensjonal plate festet til via . De cellulære kjedegruppene blir bare fritt generert på -cellene i grad , så de er i grad 0, og og null overalt ellers. Cellular (co-) homologi er (co-) homologien til dette kjedekomplekset , og siden alle grensehomomorfismer må være null (husk at ), er kohomologien ${\ displaystyle D ^ {2n}}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle S ^ {n}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle C _ {\ mathrm {cell}} ^ {*} (C _ {\ phi})}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle n> 1}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {cell}} ^ {i} (C _ {\ phi}) = {\ begynne {cases} \ mathbb {Z} & i = 0, n, 2n, \\ 0 & {\ mbox {ellers }}. \ end {tilfeller}}}$

Betegn generatorene fra kohomologigruppene etter

${\ displaystyle H ^ {n} (C _ {\ phi}) = \ langle \ alpha \ rangle}$ og ${\ displaystyle H ^ {2n} (C _ {\ phi}) = \ langle \ beta \ rangle.}$

Av dimensjonale grunner må alle koppprodukter mellom disse klassene være trivielle bortsett fra . Som ring er kohomologien ${\ displaystyle \ alpha \ smile \ alpha}$

${\ displaystyle H ^ {*} (C _ {\ phi}) = \ mathbb {Z} [\ alpha, \ beta] / \ langle \ beta \ smile \ beta = \ alpha \ smile \ beta = 0, \ alpha \ smile \ alpha = h (\ phi) \ beta \ rangle.}$

Heltallet er Hopf-invarianten på kartet . ${\ displaystyle h (\ phi)}$${\ displaystyle \ phi}$

Eiendommer

Teorem : Kartet er en homomorfisme. Dessuten, hvis er jevn, kart på . ${\ displaystyle h \ colon \ pi _ {2n-1} (S ^ {n}) \ til \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle 2 \ mathbb {Z}}$

Hopf-invarianten er for Hopf-kartene , der , tilsvarende henholdsvis den virkelige inndelingen-algebraene , og til fibrasjonen som sender en retning på sfæren til underområdet det spenner over. Det er et teorem, bevist først av Frank Adams og deretter av Michael Atiyah med metoder for topologisk K-teori , at dette er de eneste kartene med Hopf invariant 1. ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle n = 1,2,4,8}$${\ displaystyle \ mathbb {A} = \ mathbb {R}, \ mathbb {C}, \ mathbb {H}, \ mathbb {O}}$${\ displaystyle S (\ mathbb {A} ^ {2}) \ til \ mathbb {PA} ^ {1}}$

Generaliseringer for stabile kart

En veldig generell oppfatning av Hopf-invarianten kan defineres, men det krever en viss mengde teoretisk grunnlag av homotopi:

La betegne et vektorrom og dens ettpunktskomprimering , dvs. og ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V ^ {\ infty}}$${\ displaystyle V \ cong \ mathbb {R} ^ {k}}$

${\ displaystyle V ^ {\ infty} \ cong S ^ {k}}$for noen .${\ displaystyle k}$

Hvis det er noe spiss mellomrom (som det implisitt er i forrige avsnitt), og hvis vi tar det uendelige poenget å være basispunktet i , så kan vi danne kileproduktene ${\ displaystyle (X, x_ {0})}$${\ displaystyle V ^ {\ infty}}$

${\ displaystyle V ^ {\ infty} \ kil X$.

Nå la

${\ displaystyle F \ colon V ^ {\ infty} \ kil X \ to V ^ {\ infty} \ kil Y}$

være et stabilt kart, dvs. stabilt under funksjoner med redusert fjæring . Den (stabile) geometriske Hopf-invarianten til er ${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle h (F) \ in \ {X, Y \ kile Y \} _ {\ mathbb {Z} _ {2}}}$,

et element i den stabile- ekvivalente homotopigruppen med kart fra til . Her betyr "stabil" "stabil under suspensjon", dvs. den direkte grensen over (eller , hvis du vil) av de ordinære, ekvivalente homotopigruppene; og handlingen er den bagatellmessige handlingen og flippingen av de to faktorene på . Hvis vi lar ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y \ wedge Y}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y \ wedge Y}$

${\ displaystyle \ Delta _ {X} \ kolon X \ til X \ kile X}$

betegner det kanoniske diagonalkartet og identiteten, deretter er Hopf-invarianten definert av følgende: ${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle h (F): = (F \ kil F) (I \ kil \ Delta _ {X}) - (I \ kile \ Delta _ {Y}) (I \ kil F).}$

Dette kartet er i utgangspunktet et kart fra

${\ displaystyle V ^ {\ infty} \ kil V ^ {\ infty} \ kil X$å ,${\ displaystyle V ^ {\ infty} \ kil V ^ {\ infty} \ kil Y \ kil Y$

men under den direkte grensen blir det det annonserte elementet i den stabile homotopi- ekvivalente gruppen av kart. Det finnes også en ustabil versjon av Hopf-invarianten , som man må følge med på vektorområdet . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle h_ {V} (F)}$${\ displaystyle V}$

referanser

• Adams, J. Frank (1960), "Om ikke-eksistensen av elementer av Hopf invariant en", Annals of Mathematics , 72 (1): 20–104, CiteSeerX  10.1.1.299.4490 , doi : 10.2307 / 1970147 , JSTOR  1970147 , MR  0141119
• Adams, J. Frank ; Atiyah, Michael F. (1966), "K-Theory and the Hopf Invariant", Quarterly Journal of Mathematics , 17 (1): 31–38, doi : 10.1093 / qmath / 17.1.31 , MR  0198460
• Crabb, Michael; Ranicki, Andrew (2006). "Den geometriske Hopf-invarianten" (PDF) .
• Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen , 104 : 637–665, doi : 10.1007 / BF01457962 , ISSN  0025-5831
• Shokurov, AV (2001) [1994], "Hopf invariant" , i Hazewinkel, Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publisher, ISBN  978-1-55608-010-4