Hyperbolisk partiell differensialligning - Hyperbolic partial differential equation

I matematikk , en hyperbolsk partiell differensialligning av orden er en partiell differensialligning (PDE) som, grovt sett, har en godt utgjøres initielle verdien problem for de første derivater. Mer presist kan Cauchy-problemet løses lokalt for vilkårlige innledende data langs enhver ikke-karakteristisk hypersurface . Mange av mekanikkens ligninger er hyperbolske, og derfor er studiet av hyperboliske ligninger av betydelig samtidsinteresse. Modellens hyperboliske ligning er bølgelegningen . I en romlig dimensjon er dette ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n-1}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partiell^{2} u} {\ delvis t^{2}}} = c^{2} {\ frac {\ delvis^{2} u} {\ delvis x^{2 }}}}

Ligningen har den egenskapen at hvis u og dets første gangs derivat er vilkårlig spesifiserte startdata på linjen t = 0 (med tilstrekkelig glatthetsegenskaper), så eksisterer det en løsning for all tid t .

Løsningene til hyperboliske ligninger er "bølgelignende". Hvis det oppstår en forstyrrelse i de opprinnelige dataene for en hyperbolsk differensialligning, så føler ikke hvert rom i plassen forstyrrelsen på en gang. I forhold til en fast tidskoordinat har forstyrrelser en begrenset forplantningshastighet . De reiser langs egenskapene til ligningen. Denne funksjonen skiller kvalitativt hyperboliske ligninger fra elliptiske partielle differensialligninger og parabolske partielle differensialligninger . En forstyrrelse av de innledende (eller grense) dataene til en elliptisk eller parabolisk ligning føles på en gang av i hovedsak alle punkter i domenet.

Selv om definisjonen av hyperbolisitet i utgangspunktet er en kvalitativ, er det presise kriterier som avhenger av den spesifikke typen differensialligning som vurderes. Det er en godt utviklet teori for lineære differensialoperatorer , på grunn av Lars Gårding , i sammenheng med mikrolokal analyse . Ikke -lineære differensialligninger er hyperboliske hvis deres linearisering er hyperbolsk i betydningen Gårding. Det er en litt annen teori for første ordens ligningssystemer som kommer fra systemer for bevaringslover .

Definisjon

En delvis differensialligning er hyperbolsk på et tidspunkt forutsatt at Cauchy-problemet er unikt løselig i et nabolag for alle innledende data gitt på en ikke-karakteristisk hypersurface som passerer gjennom . Her består de foreskrevne initialdataene av alle (tverrgående) derivater av funksjonen på overflaten opptil en mindre enn rekkefølgen på differensiallikningen. ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$

Eksempler

Ved en lineær endring av variabler, hvilken som helst form for ligning

{\ displaystyle A {\ frac {\ partiell ^{2} u} {\ delvis x ^{2}}}+2B {\ frac {\ delvis ^{2} u} {\ delvis x \ delvis y}}+ C {\ frac {\ partiell ^{2} u} {\ delvis y ^{2}}}+{\ tekst {(lavere ordre for derivater)}} = 0}

med

{\ displaystyle B^{2} -AC> 0}

kan transformeres til bølgelikningen , bortsett fra lavere ordens vilkår som er uvesentlige for den kvalitative forståelsen av ligningen. Denne definisjonen er analog med definisjonen av en plan hyperbola .

Den endimensjonale bølgelegningen :

{\ displaystyle {\ frac {\ partiell^{2} u} {\ delvis t^{2}}}-c^{2} {\ frac {\ delvis^{2} u} {\ delvis x^{2 }}} = 0}

er et eksempel på en hyperbolsk ligning. De todimensjonale og tredimensjonale bølgeligningene faller også inn i kategorien hyperbolsk PDE. Denne typen andreordens hyperbolske partielle differensialligninger kan transformeres til et hyperbolsystem av differensialligninger av første orden.

Hyperbolisk system med partielle differensialligninger

Det følgende er et system av første ordens partielle differensialligninger for ukjente funksjoner , hvor : ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} = (u_ {1}, \ ldots, u_ {s})}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {u}} ({\ vec {x}}, t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} \ in \ mathbb {R} ^{d}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partiell {\ vec {u}}} {\ delvis t}}+\ sum _ {j = 1}^{d} {\ frac {\ partial} {\ delvis x_ {j} }} {\ vec {f^{j}}} ({\ vec {u}}) = 0,}

( ∗ )

hvor er en gang kontinuerlig differensierbare funksjoner, ikke -lineære generelt. ${\ displaystyle {\ vec {f ^{j}}} \ i C ^{1} (\ mathbb {R} ^{s}, \ mathbb {R} ^{s}), j = 1, \ ldots, d}$

Deretter definerer du den jakobiske matrisen for hver ${\ displaystyle {\ vec {f^{j}}}}$ ${\ displaystyle s \ times s}$

{\ displaystyle A^{j}: = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partiell f_ {1}^{j}} {\ delvis u_ {1}}} & \ cdots & {\ frac {\ partiell f_ {1}^{j}} {\ delvis u_ {s}}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ delvis f_ {s}^{j}} {\ delvis u_ { 1}}} & \ cdots & {\ frac {\ partiell f_ {s}^{j}} {\ delvis u_ {s}}} \ end {pmatrix}}, {\ text {for}} j = 1, \ ldots, d.}

Systemet ( ∗ ) er hyperbolsk hvis matrisen bare har reelle egenverdier og er diagonaliserbar . ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {d} \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle A: = \ alpha _ {1} A^{1} +\ cdots +\ alpha _ {d} A^{d}}$

Hvis matrisen har s distinkte reelle egenverdier, følger det at det er diagonaliserbar. I dette tilfellet kalles systemet ( ∗ ) strengt hyperbolsk . ${\ displaystyle A}$

Hvis matrisen er symmetrisk, følger det at den er diagonaliserbar og egenverdiene er reelle. I dette tilfellet kalles systemet ( ∗ ) symmetrisk hyperbolsk . ${\ displaystyle A}$

Hyperbolisk system og bevaringslover

Det er en sammenheng mellom et hyperbolsk system og en bevaringslov . Tenk på et hyperbolsk system med en partiell differensialligning for en ukjent funksjon . Da har systemet ( ∗ ) formen ${\ displaystyle u = u ({\ vec {x}}, t)}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partiell u} {\ delvis t}}+\ sum _ {j = 1}^{d} {\ frac {\ partiell} {\ delvis x_ {j}}} {f^{ j}} (u) = 0.}

( ∗∗ )

Her kan tolkes som en mengde som beveger seg i henhold til fluksen gitt av . For å se at mengden er bevart, integrerer du ( ∗∗ ) over et domene ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}} = (f^{1}, \ ldots, f^{d})}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ partiell u} {\ delvis t}} \, d \ Omega +\ int _ {\ Omega} \ nabla \ cdot {\ vec {f}} (u ) \, d \ Omega = 0.}

Hvis og er tilstrekkelig jevne funksjoner, kan vi bruke divergenssetningen og endre rekkefølgen på integrasjonen og for å få en bevaringslov for mengden i den generelle formen ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}}}$ ${\ displaystyle \ delvis /\ delvis t}$ ${\ displaystyle u}$

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Omega} u \, d \ Omega +\ int _ {\ partiell \ Omega} {\ vec {f}} (u) \ cdot {\ vec {n}} \, d \ Gamma = 0,}

noe som betyr at endringshastigheten for i domenet er lik nettofluxen gjennom dens grense . Siden dette er en likhet, kan det konkluderes med at det er bevart innenfor . ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ partial \ Omega}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

Se også

Referanser

Videre lesning

AD Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Eksterne linker

"Hyperbolisk partiell differensialligning, numeriske metoder" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Lineære hyperboliske ligninger på EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Ikke -lineære hyperboliske ligninger på EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Languages

In other projects