Interpolasjonsrom - Interpolation space

Innen matematisk analyse er et interpoleringsrom et mellomrom som ligger "mellom" to andre Banach -mellomrom . Hovedapplikasjonene er i Sobolev -mellomrom , der mellomrom av funksjoner som har et ikke -helhetlig antall derivater, blir interpolert fra funksjonsrommene med heltall derivater.

Historie

Teorien om interpolering av vektorrom begynte med en observasjon av Józef Marcinkiewicz , senere generalisert og nå kjent som Riesz-Thorin-setningen . Enkelt sagt, hvis en lineær funksjon er kontinuerlig på et bestemt mellomrom L ^p og også på et bestemt mellomrom L ^q , så er det også kontinuerlig på mellomrommet L ^r , for enhver mellomliggende r mellom p og q . Med andre ord, L ^r er et område som ligger mellom l ^p og L ^q .

I utviklingen av Sobolev-mellomrom ble det klart at sporrommene ikke var noen av de vanlige funksjonsrommene (med heltall derivater), og Jacques-Louis Lions oppdaget at disse sporrommene faktisk var sammensatt av funksjoner som har en ikke-helhetsgrad av differensiering.

Mange metoder ble designet for å generere slike funksjonsrom, inkludert Fourier -transformasjonen , kompleks interpolasjon, reell interpolasjon, så vel som andre verktøy (se f.eks. Fraksjonert derivat ).

Innstillingen for interpolasjon

Et Banach -rom X sies å være kontinuerlig innebygd i et Hausdorff topologisk vektorrom Z når X er et lineært underrom av Z slik at inkluderingskartet fra X til Z er kontinuerlig. Et kompatibelt par ( X ₀ , X ₁ ) av banachrom består av to banachrom X ₀ og X ₁ som kontinuerlig innleiret i den samme Hausdorff topologiske vektorrom Z . Innbyggingen i et lineært rom Z gjør det mulig å vurdere de to lineære delområdene

${\ displaystyle X_ {0} \ cap X_ {1}}$

og

${\ displaystyle X_ {0}+X_ {1} = \ venstre \ {z \ i Z: z = x_ {0}+x_ {1}, \ x_ {0} \ i X_ {0}, \, x_ { 1} \ i X_ {1} \ høyre \}.}$

Interpolasjon avhenger ikke bare av de isomorfe (eller isometriske) ekvivalensklassene X ₀ og X ₁ . Det kommer an på en vesentlig måte fra den bestemte relative stilling at X ₀ og X ₁ opptar i et større område Z .

Man kan definere normer på X ₀ ∩ X ₁ og X ₀ + X ₁ ved

${\ displaystyle \ | x \ | _ {X_ {0} \ cap X_ {1}}: = \ max \ left (\ left \ | x \ right \ | _ {X_ {0}}, \ left \ | x \ right \ | _ {X_ {1}} \ right),}$

${\ displaystyle \ | x \ | _ {X_ {0}+X_ {1}}: = \ inf \ left \ {\ left \ | x_ {0} \ right \ | _ {X_ {0}}+\ left \ | x_ {1} \ right \ | _ {X_ {1}} \: \ x = x_ {0}+x_ {1}, \; x_ {0} \ i X_ {0}, \; x_ {1 } \ i X_ {1} \ høyre \}.}$

Krysset og summen er utstyrt med disse normene, og er Banach -mellomrom. Følgende inkluderinger er alle kontinuerlige:

${\ displaystyle X_ {0} \ cap X_ {1} \ delsett X_ {0}, \ X_ {1} \ delsett X_ {0}+X_ {1}.}$

Interpolasjon studerer romfamilien X som er mellomrom mellom X ₀ og X ₁ i den forstand at

${\ displaystyle X_ {0} \ cap X_ {1} \ delsett X \ delsett X_ {0}+X_ {1},}$

der de to inneslutningskartene er kontinuerlige.

Et eksempel på denne situasjonen er paret ( L ¹ ( R ), L ^∞ ( R )) , hvor de to Banach -mellomromene kontinuerlig er innebygd i rommet Z av målbare funksjoner på den virkelige linjen, utstyrt med konvergens -topologi i mål . I denne situasjonen er mellomrommene L ^p ( R ) , for 1 ≤ p ≤ ∞ mellomliggende mellom L ¹ ( R ) og L ^∞ ( R ) . Mer generelt,

${\ displaystyle L^{p_ {0}} (\ mathbf {R}) \ cap L^{p_ {1}} (\ mathbf {R}) \ delsett L^{p} (\ mathbf {R}) \ delsett L^{p_ {0}} (\ mathbf {R})+L^{p_ {1}} (\ mathbf {R}), \ \ {\ text {når}} \ \ 1 \ leq p_ {0 } \ leq p \ leq p_ {1} \ leq \ infty,}$

med kontinuerlige injeksjoner, slik at under den gitte tilstanden er L ^p ( R ) mellomliggende mellom L ^{p ₀} ( R ) og L ^{p ₁} ( R ) .

Definisjon. Gitt to kompatible par ( X ₀ , X ₁ ) og ( Y ₀ , Y ₁ ) , er et interpoleringspar et par ( X , Y ) Banach -mellomrom med de to følgende egenskapene:

• Mellomrommet X er mellomliggende mellom X ₀ og X ₁ , og Y er mellomliggende mellom Y ₀ og Y ₁ .
• Hvis L er en hvilken som helst lineær operator fra X ₀ + X ₁ til Y ₀ + Y ₁ som kart kontinuerlig X ₀ til Y ₀ og X ₁ til Y- _en , da det kartene også kontinuerlig X til Y .

Interpolasjonsparet ( X , Y ) sies å ha eksponent θ (med 0 < θ <1 ) hvis det eksisterer en konstant C slik at

${\ displaystyle \ | L \ | _ {X, Y} \ leq C \ | L \ | _ {X_ {0}, Y_ {0}}^{1- \ theta} \; \ | L \ | _ { X_ {1}, Y_ {1}}^{\ theta}}$

for alle operatører L som ovenfor. Notasjonen || L || _{X , Y} er for normen av L som et kart fra X til Y . Hvis C  = 1 , sier vi at ( X , Y ) er et eksakt interpolasjonspar av eksponent θ .

Kompleks interpolasjon

Hvis skalarene er komplekse tall , brukes egenskaper til komplekse analytiske funksjoner for å definere et interpoleringsrom. Gitt et kompatibelt par ( X ₀ , X ₁ ) Banach -mellomrom, består det lineære rommet av alle funksjonene f   : C → X ₀ + X ₁ , som er analytiske på S = { z  : 0 <Re ( z ) <1} , kontinuerlig på S = { z  : 0 ≤ Re ( z ) ≤ 1}, og som alle følgende delsett er begrenset til: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X_ {0}, X_ {1})}$ 

{  f  ( z ): z ∈ S } ⊂ X ₀ + X ₁ ,

{  f  ( it ): t ∈ R } ⊂ X ₀ ,

{  f  (1 + it ): t ∈ R } ⊂ X ₁ .

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X_ {0}, X_ {1})}$ er et banachrom under normen

${\ displaystyle \ | f \ | _ {{\ mathcal {F}} (X_ {0}, X_ {1})} = \ max \ left \ {\ sup _ {t \ in \ mathbf {R}} \ | f (it) \ | _ {X_ {0}}, \; \ sup _ {t \ in \ mathbf {R}} \ | f (1+it) \ | _ {X_ {1}} \ right \ }.}$

Definisjon. For 0 < θ <1 , den komplekse interpole plass ( X ₀ , X ₁ ) _θ er den lineære underrom av X ₀ + X ₁ som består av alle verdier f ( θ ) når f varierer i det foregående plass av funksjoner,

${\ displaystyle (X_ {0}, X_ {1}) _ {\ theta} = \ venstre \ {x \ i X_ {0}+X_ {1}: x = f (\ theta), \; f \ in {\ mathcal {F}} (X_ {0}, X_ {1}) \ høyre \}.}$

Normen for det komplekse interpoleringsrommet ( X ₀ , X ₁ ) _θ er definert av

${\ displaystyle \ \ | x \ | _ {\ theta} = \ inf \ left \ {\ | f \ | _ {{\ mathcal {F}} (X_ {0}, X_ {1})} \: \ f (\ theta) = x, \; f \ i {\ mathcal {F}} (X_ {0}, X_ {1}) \ høyre \}.}$

Utstyrt med denne norm, den komplekse interpole plass ( X ₀ , X ₁ ) _θ er en Banachrom.

Teorem. Gitt to kompatible par Banach -mellomrom ( X ₀ , X ₁ ) og ( Y ₀ , Y ₁ ) , er paret (( X ₀ , X ₁ ) _θ , ( Y ₀ , Y ₁ ) _θ ) et nøyaktig interpolasjonspar av eksponent θ , dvs. hvis T  : X ₀ + X ₁ → Y ₀ + Y ₁ , er en lineær operator begrenset fra X _j til Y _j , j = 0, 1 , så er T begrenset fra ( X ₀ , X ₁ ) _θ til ( Y ₀ , Y ₁ ) _θ og

${\ displaystyle \ | T \ | _ {\ theta} \ leq \ | T \ | _ {0}^{1- \ theta} \ | T \ | _ {1}^{\ theta}.}$

Familien av L ^p -mellomrom (bestående av komplekse verdifulle funksjoner) oppfører seg godt under kompleks interpolasjon. Hvis ( R , Σ, μ ) er et vilkårlig målerom , hvis 1 ≤ p ₀ , p ₁ ≤ ∞ og 0 < θ <1 , så

${\ displaystyle \ left (L^{p_ {0}} (R, \ Sigma, \ mu), L^{p_ {1}} (R, \ Sigma, \ mu) \ right) _ {\ theta} = L^{p} (R, \ Sigma, \ mu), \ qquad {\ frac {1} {p}} = {\ frac {1- \ theta} {p_ {0}}}+{\ frac {\ theta} {p_ {1}}},}$

med likestilling av normer. Dette faktum er nært knyttet til Riesz - Thorin -setningen .

Ekte interpolasjon

Det er to måter å introdusere den virkelige interpoleringsmetoden . Den første og mest brukte når man faktisk identifiserer eksempler på interpoleringsrom er K-metoden. Den andre metoden, J-metoden, gir de samme interpolasjonsrommene som K-metoden når parameteren θ er i (0, 1) . At J- og K-metodene er enige er viktig for studiet av dueller i interpoleringsrom: I utgangspunktet ser det ut til at dual av et interpolasjonsrom konstruert av K-metoden er et rom konstruert av dobbeltparet med J-metoden; se nedenfor .

K-metode

K-metoden for reell interpolasjon kan brukes for Banach-mellomrom over feltet R for reelle tall .

Definisjon. La ( X ₀ , X ₁ ) være et kompatibelt par Banach -mellomrom. For t > 0 og hver x ∈ X ₀ + X ₁ , la

${\ displaystyle K (x, t; X_ {0}, X_ {1}) = \ inf \ left \ {\ left \ | x_ {0} \ right \ | _ {X_ {0}}+t \ left \ | x_ {1} \ høyre \ | _ {X_ {1}} \: \ x = x_ {0}+x_ {1}, \; x_ {0} \ i X_ {0}, \, x_ {1} \ i X_ {1} \ høyre \}.}$

Endring av rekkefølgen på de to mellomrommene resulterer i:

${\ displaystyle K (x, t; X_ {0}, X_ {1}) = tK \ venstre (x, t^{-1}; X_ {1}, X_ {0} \ høyre).}$

La

${\ displaystyle {\ begin {align} \ | x \ | _ {\ theta, q; K} & = \ left (\ int _ {0}^{\ infty} \ left (t^{-\ theta} K (x, t; X_ {0}, X_ {1}) \ right)^{q} \, {\ tfrac {dt} {t}} \ right)^{\ frac {1} {q}}, && 0 <\ theta <1,1 \ leq q <\ infty, \\\ | x \ | _ {\ theta, \ infty; K} & = \ sup _ {t> 0} \; t^{-\ theta} K (x, t; X_ {0}, X_ {1}), && 0 \ leq \ theta \ leq 1. \ end {align}}}$

K-metoden for reell interpolasjon består i å ta K _{θ , q} ( X ₀ , X ₁ ) til å være det lineære underrommet til X ₀ + X _{1 som} består av alle x slik at || x || _{θ , q ; K} <∞ .

Eksempel

Et viktig eksempel er parets ( L ¹ ( R , Σ, μ ), L ^∞ ( R , Σ, μ )) , hvor den funksjonelle K ( t , f  ; L ¹ , L ^∞ ) kan beregnes eksplisitt. Tiltaket μ er antatt σ -begrenset . I denne sammenhengen er den beste måten å kutte funksjonen f   ∈ L ¹ + L ^∞ som summen av to funksjoner f ₀ ∈ L ¹ og f ₁ ∈ L ^∞ , for at noen s > 0 skal velges som funksjon av t , til la f ₁ ( x ) gis for alle x ∈ R med       

${\ displaystyle f_ {1} (x) = {\ begin {cases} f (x) & | f (x) | <s, \\ {\ frac {sf (x)} {| f (x) |} } og {\ tekst {ellers}} \ slutt {saker}}}$

Det optimale valget av s fører til formelen

${\ displaystyle K \ left (f, t; L^{1}, L^{\ infty} \ right) = \ int _ {0}^{t} f^{*} (u) \, du,}$

hvor f  ^∗ er den avtagende omorganiseringen av f .    

J-metode

Som med K-metoden, kan J-metoden brukes for ekte Banach-mellomrom.

Definisjon. La ( X ₀ , X ₁ ) være et kompatibelt par Banach -mellomrom. For t > 0 og for hver vektor x ∈ X ₀ ∩ X ₁ , la

${\ displaystyle J (x, t; X_ {0}, X_ {1}) = \ max \ left (\ | x \ | _ {X_ {0}}, t \ | x \ | _ {X_ {1} }\Ikke sant).}$

En vektor x i X ₀ + X ₁ tilhører interpoleringsrommet J _{θ , q} ( X ₀ , X ₁ ) hvis og bare hvis den kan skrives som

${\ displaystyle x = \ int _ {0}^{\ infty} v (t) \, {\ frac {dt} {t}},}$

hvor v ( t ) er målbar med verdier i X ₀ ∩ X ₁ og slik at

${\ displaystyle \ Phi (v) = \ left (\ int _ {0}^{\ infty} \ left (t^{-\ theta} J (v (t), t; X_ {0}, X_ {1 }) \ right)^{q} \, {\ tfrac {dt} {t}} \ right)^{\ frac {1} {q}} <\ infty.}$

Normen for x i J _{θ , q} ( X ₀ , X ₁ ) er gitt av formelen

${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ theta, q; J}: = \ inf _ {v} \ left \ {\ Phi (v) \: \ x = \ int _ {0}^{\ infty} v (t) \, {\ tfrac {dt} {t}} \ right \}.}$

Forholdet mellom interpoleringsmetodene

De to virkelige interpoleringsmetodene er ekvivalente når 0 < θ <1 .

Teorem. La ( X ₀ , X ₁ ) være et kompatibelt par Banach -mellomrom. Hvis 0 < θ <1 og 1 ≤ q ≤ ∞ , så

${\ displaystyle J _ {\ theta, q} (X_ {0}, X_ {1}) = K _ {\ theta, q} (X_ {0}, X_ {1}),}$

med ekvivalens av normer .

Teoremet dekker degenererte tilfeller som ikke er ekskludert: for eksempel hvis X ₀ og X ₁ danner en direkte sum, så er krysset og J-mellomrom nullrommet, og en enkel beregning viser at K-mellomrommene også er null .

Når 0 < θ <1 , kan man si, opp til en tilsvarende renorming, om den Banachrom oppnådd ved den virkelige interpoleringsmetode med parametere q og q . Notasjonen for dette virkelige interpoleringsrommet er ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} . Man har det

${\ displaystyle (X_ {0}, X_ {1}) _ {\ theta, q} = (X_ {1}, X_ {0}) _ {1- \ theta, q}, \ qquad 0 <\ theta < 1,1 \ leq q \ leq \ infty.}$

For en gitt verdi på θ øker de virkelige interpoleringsrommene med q : hvis 0 < θ <1 og 1 ≤ q ≤ r ≤ ∞ , gjelder følgende kontinuerlige inkludering:

${\ displaystyle (X_ {0}, X_ {1}) _ {\ theta, q} \ delsett (X_ {0}, X_ {1}) _ {\ theta, r}.}$

Teorem. Gitt 0 < θ <1 , 1 ≤ q ≤ ∞ og to kompatible par ( X ₀ , X ₁ ) og ( Y ₀ , Y ₁ ) , paret (( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} , ( Y ₀ , Y ₁ ) _{θ , q} ) er et eksakt interpolasjonspar av eksponent θ .

Et komplekst interpoleringsrom er vanligvis ikke isomorft i forhold til et av mellomrommene gitt av den virkelige interpoleringsmetoden. Imidlertid er det et generelt forhold.

Teorem. La ( X ₀ , X ₁ ) være et kompatibelt par Banach -mellomrom. Hvis 0 < θ <1 , så

${\ displaystyle (X_ {0}, X_ {1}) _ {\ theta, 1} \ delsett (X_ {0}, X_ {1}) _ {\ theta} \ delsett (X_ {0}, X_ {1 }) _ {\ theta, \ infty}.}$

Eksempler

Når X ₀ = C ([0, 1]) og X ₁ = C ¹ ([0, 1]) , vil rommet for kontinuerlig differensierbare funksjoner på [0, 1] , ( θ , ∞) interpoleringsmetoden, for 0 < θ <1 , gir Hölder -rommet C ^{0, θ} for eksponenten θ . Dette er fordi K-funksjonelle K ( f , t ; X ₀ , X ₁ ) til dette paret tilsvarer

${\ displaystyle \ sup \ left \ {| f (u) |, \, {\ frac {| f (u) -f (v) |} {1+t^{-1} | uv |}} \: \ u, v \ i [0,1] \ høyre \}.}$

Bare verdier 0 < t <1 er interessante her.

Ekte interpolasjon mellom L ^p mellomrom gir familien Lorentz mellomrom . Forutsatt 0 < θ <1 og 1 ≤ q ≤ ∞ , har en:

${\ displaystyle \ left (L^{1} (\ mathbf {R}, \ Sigma, \ mu), L^{\ infty} (\ mathbf {R}, \ Sigma, \ mu) \ right) _ {\ theta, q} = L^{p, q} (\ mathbf {R}, \ Sigma, \ mu), \ qquad {\ text {hvor}} {\ tfrac {1} {p}} = 1- \ theta ,}$

med tilsvarende normer. Dette følger av en ulikhet hos Hardy og av verdien ovenfor gitt av K-funksjonaliteten for dette kompatible paret. Når q = p , er Lorentz -rommet L ^{p , p} lik L ^p , opp til renorming. Når q = ∞ er Lorentz-rommet L ^{p , ∞} lik svak- L ^p .

Gjentagelsessetningen

Et mellomrom X for det kompatible paret ( X ₀ , X ₁ ) sies å være av klasse θ if

${\ displaystyle (X_ {0}, X_ {1}) _ {\ theta, 1} \ delsett X \ delsett (X_ {0}, X_ {1}) _ {\ theta, \ infty},}$

med kontinuerlige injeksjoner. Ved siden av alle virkelige interpoleringsrom ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} med parameter θ og 1 ≤ q ≤ ∞ , er det komplekse interpoleringsrommet ( X ₀ , X ₁ ) _θ et mellomrom i klasse θ til det kompatible paret ( X ₀ , X ₁ ) .

Gjentagelsessetningene sier i hovedsak at interpolering med en parameter θ på en eller annen måte oppfører seg som å danne en konveks kombinasjon a = (1 - θ ) x ₀ + θx ₁ : å ta en ytterligere konveks kombinasjon av to konvekse kombinasjoner gir en annen konveks kombinasjon.

Teorem. La A ₀ , A ₁ være mellomrom for det kompatible paret ( X ₀ , X ₁ ) , i henholdsvis klasse θ ₀ og θ ₁ , med 0 < θ ₀ ≠ θ ₁ <1 . Når 0 < θ <1 og 1 ≤ q ≤ ∞ , har en

${\ displaystyle (A_ {0}, A_ {1}) _ {\ theta, q} = (X_ {0}, X_ {1}) _ {\ eta, q}, \ qquad \ eta = (1- \ theta) \ theta _ {0}+\ theta \ theta _ {1}.}$

Det er bemerkelsesverdig at ved interpolering med den virkelige metoden mellom A ₀ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 0 , q 0} og A ₁ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 1 , q 1} , bare verdiene til θ ₀ og θ ₁ sak. Også A ₀ og A ₁ kan være komplekse interpole mellomrom mellom X ₀ og X ₁ , med parametere q ₀ og q ₁ henholdsvis.

Det er også en gjentakelsesteorem for den komplekse metoden.

Teorem. La ( X ₀ , X ₁ ) være et kompatibelt par komplekse Banach -mellomrom, og anta at X ₀ ∩ X ₁ er tett i X ₀ og i X ₁ . La A ₀ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 0} og A ₁ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 1} , hvor 0 ≤ θ ₀ ≤ θ ₁ ≤ 1 . Anta videre at X ₀ ∩ X ₁ er tett i A ₀ ∩ A ₁ . Deretter, for hver 0 ≤ θ ≤ 1 ,

${\ displaystyle \ left (\ left (X_ {0}, X_ {1} \ right) _ {\ theta _ {0}}, \ left (X_ {0}, X_ {1} \ right) _ {\ theta _ {1}} \ høyre) _ {\ theta} = (X_ {0}, X_ {1}) _ {\ eta}, \ qquad \ eta = (1- \ theta) \ theta _ {0}+\ theta \ theta _ {1}.}$

Tetthetstilstanden er alltid tilfredsstilt når X ₀ ⊂ X ₁ eller X ₁ ⊂ X ₀ .

Dualitet

La ( X ₀ , X ₁ ) være et kompatibelt par, og anta at X ₀ ∩ X ₁ er tett i X ₀ og i X ₁ . I dette tilfellet er begrensningskartet fra (kontinuerlig) dual av X _j , j = 0, 1, til dual av X ₀ ∩ X ₁ en-til-en. Det følger at dualparet er et kompatibelt par som kontinuerlig er innebygd i det dobbelte ( X ₀ ∩ X ₁ ) ′ . ${\ displaystyle X '_ {j}}$${\ displaystyle \ left (X '_ {0}, X' _ {1} \ right)}$

For den komplekse interpoleringsmetoden gjelder følgende dualitetsresultat:

Teorem. La ( X ₀ , X ₁ ) være et kompatibelt par komplekse Banach -mellomrom, og anta at X ₀ ∩ X ₁ er tett i X ₀ og i X ₁ . Hvis X ₀ og X ₁ er refleksive , oppnås dobbelten av det komplekse interpoleringsrommet ved å interpolere dualene,

${\ displaystyle ((X_ {0}, X_ {1}) _ {\ theta}) '= \ venstre (X' _ {0}, X '_ {1} \ høyre) _ {\ theta}, \ qquad 0 <\ theta <1.}$

Generelt er den dobbelte av mellomrommet ( X ₀ , X ₁ ) _θ er lik et rom som avgrenses av en variant av komplekset metode. De øvre θ og nedre θ metodene faller generelt ikke sammen, men de gjør det hvis minst en av X ₀ , X ₁ er et refleksivt mellomrom. ${\ displaystyle \ left (X '_ {0}, X' _ {1} \ right)^{\ theta},}$

For den virkelige interpoleringsmetoden holder dualiteten forutsatt at parameteren  q er endelig:

Teorem. La 0 < θ <1, 1 ≤ q <∞ og ( X ₀ , X ₁ ) et kompatibelt par ekte Banach -mellomrom. Anta at X ₀ ∩ X ₁ er tett i X ₀ og i X ₁ . Deretter

${\ displaystyle \ left (\ left (X_ {0}, X_ {1} \ right) _ {\ theta, q} \ right) '= \ left (X' _ {0}, X '_ {1} \ til høyre) _ {\ theta, q '},}$

hvor ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {q '}} = 1-{\ tfrac {1} {q}}.}$

Diskrete definisjoner

Siden funksjonen t → K ( x , t ) varierer jevnlig (den øker, men 1/tK ( x , t ) avtar), definisjonen av K _{θ , q} -normen til en vektor n , tidligere gitt av et integral, tilsvarer en definisjon gitt av en serie. Denne serien oppnås ved å bryte (0, ∞) i stykker (2 ⁿ , 2 ^{n +1} ) med lik masse for måletd t/t,

${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ theta, q; K} \ simeq \ left (\ sum _ {n \ in \ mathbf {Z}} \ left (2^{-\ theta n} K \ left ( x, 2^{n}; X_ {0}, X_ {1} \ right) \ right)^{q} \ right)^{\ frac {1} {q}}.}$

I det spesielle tilfellet der X ₀ kontinuerlig er innebygd i X ₁ , kan man utelate delen av serien med negative indekser n . I dette tilfellet definerer hver av funksjonene x → K ( x , 2 ⁿ ; X ₀ , X ₁ ) en ekvivalent norm på X ₁ .

Interpoleringsrommet ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} er et "diagonal delrom" av en ℓ ^q -sum av en sekvens av banachrom (hver av dem er isomorfe til X ₀ + X ₁ ). Derfor, når q er endelig, er det dobbelte av ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} en kvotient av ℓ ^p -summen til dualene,1/s + 1/q= 1 , som fører til følgende formel for den diskrete J _{θ , p} -normen til en funksjonell x ' i dobbelten av ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} :

${\ displaystyle \ | x '\ | _ {\ theta, p; J} \ simeq \ inf \ left \ {\ left (\ sum _ {n \ in \ mathbf {Z}} \ left (2^{\ theta n} \ max \ left (\ left \ | x '_ {n} \ right \ | _ {X' _ {0}}, 2^{-n} \ left \ | x '_ {n} \ right \ | _ {X '_ {1}} \ right) \ right)^{p} \ right)^{\ frac {1} {p}} \: \ x' = \ sum _ {n \ in \ mathbf { Z}} x '_ {n} \ høyre \}.}$

Den vanlige formel for den diskrete J _{θ , p} er -norm oppnås ved å forandre n til - n .

Den diskrete definisjonen gjør flere spørsmål lettere å studere, blant annet den allerede nevnte identifikasjonen av den dobbelte. Andre slike spørsmål er kompakthet eller svak-kompakthet av lineære operatører. Lions og Peetre har bevist at:

Teorem. Hvis den lineære operatøren T er kompakt fra X ₀ til et banachrom Y og avgrenset fra X ₁ til Y , så er T kompakt fra ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} til Y når 0 < θ <1 , 1 ≤ q ≤ ∞ .

Davis, Figiel, Johnson og Pełczyński har brukt interpolasjon i sitt bevis på følgende resultat:

Teorem. En begrenset lineær operatør mellom to Banach -mellomrom er svakt kompakt hvis og bare hvis den påvirker et refleksivt rom .

En generell interpolasjonsmetode

Plassen ℓ ^{q som} brukes for den diskrete definisjonen kan erstattes av et vilkårlig sekvensrom Y med ubetinget grunnlag , og vektene a _n = 2 ^{- θn} , b _n = 2 ^{(1− θ ) n} , som brukes for K _{θ , q} -norm, kan erstattes av generelle vekter

${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n}> 0, \ \ \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ min (a_ {n}, b_ {n}) <\ infty.}$

Interpoleringsrommet K ( X ₀ , X ₁ , Y , { a _n }, { b _n }) består av vektorene x i X ₀ + X ₁ slik at

${\ displaystyle \ | x \ | _ {K (X_ {0}, X_ {1})} = \ sup _ {m \ geq 1} \ left \ | \ sum _ {n = 1}^{m} a_ {n} K \ venstre (x, {\ tfrac {b_ {n}} {a_ {n}}}; X_ {0}, X_ {1} \ høyre) \, y_ {n} \ høyre \ | _ { Y} <\ infty,}$

hvor { y _n } er det ubetinget basis av Y . Denne abstrakte metoden kan for eksempel brukes for å bevise følgende resultat:

Teorem. Et banachrom med ubetinget grunnlag er isomorf til et komplementert underrom av et rom med symmetrisk grunnlag .

Interpolering av mellomrom Sobolev og Besov

Flere interpoleringsresultater er tilgjengelige for Sobolev -mellomrom og Besov -mellomrom på R ⁿ ,

${\ displaystyle {\ begin {align} & H_ {p}^{s} && s \ in \ mathbf {R}, 1 \ leq p \ leq \ infty \\ & B_ {p, q}^{s} && s \ in \ mathbf {R}, 1 \ leq p, q \ leq \ infty \ end {align}}}$

Disse mellomrommene er mellomrom med målbare funksjoner på R ⁿ når s ≥ 0 , og av herdede fordelinger på R ⁿ når s <0 . For resten av seksjonen vil følgende innstilling og notasjon bli brukt:

${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & <\ theta <1, \\ 1 & \ leq p, p_ {0}, p_ {1}, q, q_ {0}, q_ {1} \ leq \ infty, \ \ s, & s_ {0}, s_ {1} \ in \ mathbf {R}, \\ s _ {\ theta} & = (1- \ theta) s_ {0}+\ theta s_ {1}, \\ [ 4pt] {\ frac {1} {p _ {\ theta}}} & = {\ frac {1- \ theta} {p_ {0}}}+{\ frac {\ theta} {p_ {1}}}, \\ [4pt] {\ frac {1} {q _ {\ theta}}} & = {\ frac {1- \ theta} {q_ {0}}}+{\ frac {\ theta} {q_ {1} }}. \ end {align}}}$

Kompleks interpolasjon fungerer godt på klassen Sobolev -mellomrom ( Bessel -potensielle mellomrom ) samt Besov -mellomrom: ${\ displaystyle H_ {p}^{s}}$

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ venstre (H_ {p_ {0}}^{s_ {0}}, H_ {p_ {1}}^{s_ {1}} \ høyre) _ {\ theta} & = H_ {p _ {\ theta}}^{s _ {\ theta}}, && s_ {0} \ neq s_ {1}, 1 <p_ {0}, p_ {1} <\ infty. \\\ venstre (B_ {p_ {0}, q_ {0}}^{s_ {0}}, B_ {p_ {1}, q_ {1}}^{s_ {1}} \ høyre) _ {\ theta} & = B_ { p _ {\ theta}, q _ {\ theta}}^{s _ {\ theta}} && s_ {0} \ neq s_ {1}. \ end {align}}}$

Ekte interpolasjon mellom Sobolev -mellomrom kan gi Besov -mellomrom, bortsett fra når s ₀ = s ₁ ,

${\ displaystyle \ left (H_ {p_ {0}}^{s}, H_ {p_ {1}}^{s} \ right) _ {\ theta, p _ {\ theta}} = H_ {p _ {\ theta }}^{s}.}$

Når s ₀ ≠ s ₁ men p ₀ = p ₁ , gir ekte interpolasjon mellom Sobolev -mellomrom et Besov -rom:

${\ displaystyle \ left (H_ {p}^{s_ {0}}, H_ {p}^{s_ {1}} \ right) _ {\ theta, q} = B_ {p, q}^{s_ { \ theta}}, \ qquad s_ {0} \ neq s_ {1}.}$

Også,

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ venstre (B_ {p, q_ {0}}^{s_ {0}}, B_ {p, q_ {1}}^{s_ {1}} \ høyre) _ { \ theta, q} & = B_ {p, q}^{s _ {\ theta}}, && s_ {0} \ neq s_ {1}. \\\ venstre (B_ {p, q_ {0}}^{s }, B_ {p, q_ {1}}^{s} \ høyre) _ {\ theta, q} & = B_ {p, q _ {\ theta}}^{s}. \\\ venstre (B_ {p_ {0}, q_ {0}}^{s_ {0}}, B_ {p_ {1}, q_ {1}}^{s_ {1}} \ høyre) _ {\ theta, q _ {\ theta}} & = B_ {p _ {\ theta}, q _ {\ theta}}^{s _ {\ theta}}, && s_ {0} \ neq s_ {1}, p _ {\ theta} = q _ {\ theta}. \ End {justert}}}$

Se også

• Riesz - Thorin -setning
• Marcinkiewicz interpolasjonsteorem

Merknader

Referanser

• Calderón, Alberto P. (1964), "Mellomrom og interpolasjon, den komplekse metoden", Studia Math. , 24 (2): 113–190, doi : 10.4064/sm-24-2-113-190.
• Løver, Jacques-Louis. ; Peetre, Jaak (1964), "Sur une classe d'espaces d'interpolation" , Inst. Hautes Études Sci. Publ. Matte. (på fransk), 19 : 5–68, doi : 10.1007/bf02684796.
• Bennett, Colin; Sharpley, Robert (1988), Interpolation of operators , Pure and Applied Mathematics, 129 , Academic Press, Inc., Boston, MA, s. Xiv+469, ISBN 978-0-12-088730-9.
• Bergh, Jöran; Löfström, Jörgen (1976), Interpolasjonsrom. En introduksjon , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 223 , Berlin-New York: Springer-Verlag, s. X+207, ISBN 978-3-540-07875-3.
• Leoni, Giovanni (2017). Et første kurs i Sobolev -rom: andre utgave . Graduate Studies in Mathematics . 181 . American Mathematical Society. s. 734. ISBN  978-1-4704-2921-8 .
• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (1979), Classical Banach spaces. II. Funksjonsrom , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Resultater i matematikk og relaterte områder], 97 , Berlin-New York: Springer-Verlag, s. X+243, ISBN 978-3-540-08888-2.
• Tartar, Luc (2007), An Introduction to Sobolev Spaces and Interpolation , Springer, ISBN 978-3-540-71482-8.