Kryss teori - Intersection theory

I matematikk er krysningsteori en av hovedgrenene i algebraisk geometri , der den gir informasjon om skjæringspunktet mellom to undervarianter av en gitt variasjon. Teorien for varianter er eldre, med røtter i Bézouts teorem om kurver og elimineringsteori . På den annen side nådde den topologiske teorien raskere en endelig form.

Det er ennå en pågående utvikling av krysningsteori. For øyeblikket er hovedfokuset på: virtuelle grunnleggende sykluser, kvantekryssingsringer, Gromov-Witten-teori og utvidelsen av krysningsteorien fra ordninger til stabler .

Topologisk skjæringsskjema

For en tilkoblet orientert manifold M av dimensjon 2 n er skjæringsformen definert på n -th kohomologigruppen (det som vanligvis kalles 'midtre dimensjon') ved evaluering av koppproduktet på den grunnleggende klassen [ M ] i H _{2 n} ( M , ∂ M ) . Oppgitt presist, det er en bilinjær form

${\ displaystyle \ lambda _ {M} \ kolon H^{n} (M, \ delvis M) \ ganger H^{n} (M, \ delvis M) \ til \ mathbf {Z}}$

gitt av

${\ displaystyle \ lambda _ {M} (a, b) = \ langle a \ smile b, [M] \ rangle \ in \ mathbf {Z}}$

med

${\ displaystyle \ lambda _ {M} (a, b) = (-1)^{n} \ lambda _ {M} (b, a) \ in \ mathbf {Z}.}$

Dette er en symmetrisk form for n jevn (så 2 n = 4 k dobbelt jevn ), i hvilket tilfelle signaturen til M er definert som signaturen til skjemaet, og en vekslende form for n oddetall (så 2 n = 4 k + 2 er enkeltvis ). Disse kan omtales jevnt som ε-symmetriske former , der ε = (−1) ⁿ = ± 1 henholdsvis for symmetriske og skjevsymmetriske former. Det er mulig under noen omstendigheter å avgrense dette skjemaet til en ε -kvadratisk form , selv om dette krever ytterligere data, for eksempel en innramming av tangentbunten. Det er mulig å slippe orienterbarhetstilstanden og arbeide med Z /2 Z -koeffisienter i stedet.

Disse formene er viktige topologiske invarianter . For eksempel sier en teorem av Michael Freedman at ganske enkelt tilkoblede kompakte 4-manifolder (nesten) bestemmes av skjæringsformene opp til homeomorfisme .

Ved Poincaré dualitet viser det seg at det er en måte å tenke på dette geometrisk. Hvis mulig, velg representative n -dimensjonale delmanifold A , B for Poincaré -dualene a og b . Da er λ _M  ( a , b ) det orienterte skjæringsnummeret til A og B , som er veldefinert fordi siden dimensjoner av A og B summerer til den totale dimensjonen til M, krysser de generelt på isolerte punkter. Dette forklarer skjæringsskjemaet for terminologi .

Skjæringsteori i algebraisk geometri

William Fulton in Intersection Theory (1984) skriver

... Hvis A og B er subvarieties av en ikke-singulær variasjon X , skjæringspunktet produkt A · B bør være en ekvivalens klasse av algebraiske sykluser nært knyttet til geometrien av hvordan A ∩ B , A og B er lokalisert i X . To ekstreme tilfeller har vært mest kjent. Hvis krysset er riktig , dvs. dim ( A ∩ B ) = dim A + dim B - dim X , så er A · B en lineær kombinasjon av de ureduserbare komponentene i A ∩ B , med koeffisienter skjæringsmultiplikatene. Ved den andre ytterlighet, hvis A = B er en ikke-singulær subvariety, sier det selvskjæringspunktet formel som A · B er representert ved den øverste Chern klasse av normal bunt av A i X .

Å gi en definisjon, i det generelle tilfellet, av kryssmultiplikiteten var den største bekymringen for André Weils bok fra 1946, Foundations of Algebraic Geometry . Arbeid på 1920 -tallet av BL van der Waerden hadde allerede tatt opp spørsmålet; I den italienske skolen for algebraisk geometri var ideene velkjente, men grunnleggende spørsmål ble ikke behandlet i samme ånd.

Sykler i bevegelse

Et godt fungerende maskineri for kryssende algebraiske sykluser V og W krever mer enn å bare ta det settteoretiske krysset V ∩ W for de aktuelle syklusene. Hvis de to syklusene er i "god posisjon", bør skjæringsproduktet , betegnet V · W , bestå av det sett-teoretiske skjæringspunktet mellom de to undervariantene. Imidlertid kan sykluser være i dårlig posisjon, f.eks. To parallelle linjer i planet, eller et plan som inneholder en linje (som krysser hverandre i 3-mellomrom). I begge tilfeller bør krysset være et punkt, for igjen, hvis en syklus flyttes, vil dette være krysset. Skjæringspunktet mellom to sykluser V og W kalles riktig hvis kodimensjonen til (sett-teoretisk) skjæringspunktet V ∩ W er summen av kodimensjonene til henholdsvis V og W , dvs. den "forventede" verdien.

Derfor brukes begrepet å flytte sykluser ved bruk av passende ekvivalensforhold på algebraiske sykluser . Ekvivalensen må være bred nok til at gitt to sykluser V og W , er det ekvivalente sykluser V ′ og W ′ slik at krysset V ′ ∩ W ′ er riktig. Selvfølgelig, på den annen side, for en andre ekvivalent V ′ ′ og W ′ ′ , må V ∩ ∩ W være ekvivalent med V ′ ′ ∩ W ′ ′ .

Når det gjelder krysningsteori, er rasjonell ekvivalens den viktigste. Kort fortalt er to r -dimensjonale sykluser på en variasjon X rasjonelt ekvivalente hvis det er en rasjonell funksjon f på en ( r + 1) -dimensjonal subvariasjon Y , dvs. et element i funksjonsfeltet k ( Y ) eller tilsvarende en funksjon f   : Y → P ¹ , slik at V - W =   f ⁻¹ (0) -   f ⁻¹ (∞) , hvor f ⁻¹ (⋅) telles med multiplikasjoner. Rasjonell ekvivalens oppfyller behovene som er skissert ovenfor.         

Kryssmultiplikasjoner

Det ledende prinsippet i definisjonen av kryssmultiplikiteter av sykluser er kontinuitet i en viss forstand. Tenk på følgende elementære eksempel: skjæringspunktet mellom en parabel y = x ² og en akse y = 0 bør være 2 · (0, 0) , for hvis en av syklusene beveger seg (men i en udefinert forstand), er det nøyaktig to skjæringspunkter som begge konvergerer til (0, 0) når syklusene nærmer seg avbildet posisjon. (Bildet er misvisende så langt det tilsynelatende tomme skjæringspunktet mellom parabolen og linjen y = −3 er tomt, fordi bare de virkelige løsningene til ligningene er avbildet).

Den første fullt tilfredsstillende definisjonen av kryssingsmultiplikasjoner ble gitt av Serre : La omgivelsessorten X være jevn (eller alle lokale ringer vanlige ). La videre V og W være to (ureduserbare reduserte lukkede) undervarianter, slik at krysset deres er riktig. Konstruksjonen er lokal, derfor variantene kan være representert ved to ideal I og J i koordinat ringen av X . La Z være en irreduserbar komponent i det sett-teoretiske krysset V ∩ W og z dets generiske punkt . Mangfoldet av Z i skjæringsproduktet V · W er definert av

${\ displaystyle \ mu (Z; V, W): = \ sum _ {i = 0}^{\ infty} (-1)^{i} {\ text {length}} _ {{\ mathcal {O} } _ {X, z}} {\ text {Tor}} _ {{\ mathcal {O}} _ {X, z}}^{i} ({\ mathcal {O}} _ {X, z}/ I, {\ mathcal {O}} _ {X, z}/J),}$

den vekslende summen over lengden over den lokale ringen av X i z av torsjonsgrupper av faktorringene som tilsvarer undervariasjonene. Dette uttrykket blir noen ganger referert til som Serres Tor-formel .

Merknader:

• Den første summen, lengden på

  ${\ displaystyle \ left ({\ mathcal {O}} _ {X, z}/I \ right) \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {X, z}} \ left ({\ mathcal {O }} _ {X, z}/J \ right) = {\ mathcal {O}} _ {Z, z}}$

  er den "naive" gjetningen om mangfoldet; Som Serre viser, er det imidlertid ikke tilstrekkelig.

• Summen er begrenset, fordi den vanlige lokale ringen har endelig Tor-dimensjon.${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, z}}$
• Hvis skjæringspunktet mellom V og W ikke er riktig, vil multiplisiteten ovenfor være null. Hvis det er riktig, er det strengt positivt. (Begge utsagnene er ikke åpenbare fra definisjonen).
• Ved hjelp av et spektral sekvensargument kan det vises at μ ( Z ; V , W ) = μ ( Z ; W , V ) .

Chow -ringen

Den Chow ring er gruppen av algebraiske sykluser modulo rasjonell ekvivalens sammen med den følgende kommutativ skjærings produkt :

${\ displaystyle V \ cdot W: = \ sum _ {i} \ mu (Z_ {i}; V, W) Z_ {i}}$

når V og W møtes på tvers, hvor er dekomponeringen av det sett-teoretiske krysset til irreduserbare komponenter. ${\ displaystyle V \ cap W = \ cup _ {i} Z_ {i}}$

Selvkryss

Gitt to subvarieties V og W , kan man ta deres krysning V ∩ W , men det er også mulig, skjønt mer subtil, for å definere den selv -intersection av en enkelt subvariety.

Gitt, for eksempel, en kurve C på en flate S , er skjæringspunktet med seg selv (som sett) bare i seg selv: C ∩ C = C . Dette er helt klart riktig, men på den annen side utilfredsstillende: gitt to forskjellige kurver på en overflate (uten noen komponent til felles), krysser de i noen sett med punkter, som man for eksempel kan telle, få et kryssnummer , og vi kan ønske å gjøre det samme for en gitt kurve: analogien er at kryssende distinkte kurver er som å multiplisere to tall: xy , mens selvkryss er som å kvadrere et enkelt tall: x ² . Formelt sett er analogien angitt som en symmetrisk bilinær form (multiplikasjon) og en kvadratisk form (kvadrering).

En geometrisk løsning på dette er å krysse kurven C ikke med seg selv, men med en litt presset versjon av seg selv. I planet betyr dette bare å oversette kurven C i en eller annen retning, men generelt snakker man om å ta en kurve C ′ som er lineært ekvivalent med C , og telle krysset C · C ′ , og dermed få et kryssnummer, betegnet C · C . Legg merke til at i motsetning til forskjellige kurver C og D , er de faktiske skjæringspunktene ikke definert, fordi de er avhengige av et valg av C ′ , men “selvskjæringspunktene til C ′ ′ kan tolkes som k generiske punkter på C , hvor k = C · C . Mer riktig, selv-skjæringspunktet mellom C er den generiske punktet for C , tatt med multiplisitet C · C .

Alternativt kan man “løse” (eller motivere) dette problemet algebraisk ved å dualisere og se på klassen [ C ] ∪ [ C ] - dette gir både et tall og reiser spørsmålet om en geometrisk tolkning. Vær oppmerksom på at overgang til kohomologi -klasser er analogt med å erstatte en kurve med et lineært system.

Vær oppmerksom på at selvkryssingsnummeret kan være negativt, som eksemplet nedenfor illustrerer.

Eksempler

Tenk på en linje L i det projiserende planet P ² : den har selvskjæringsnummer 1 siden alle andre linjer krysser den en gang: man kan skyve L av til L ′ , og L · L ′ = 1 (for ethvert valg) av L ′ , derfor L · L = 1 . Når det gjelder skjæringsformer, sier vi at planet har et av typen x ² (det er bare en klasse av linjer, og de krysser hverandre med hverandre).

Merk at på affine plan , kan man presse av L til en parallell linje, så (tenker geometrisk) antall skjæringspunkter avhenger av valg av fraspark. Den ene sier at "affineplanet ikke har en god skjæringsteori", og skjæringslære om ikke-projektive varianter er mye vanskeligere.

En linje på en P ¹ × P ¹ (som også kan tolkes som den ikke-entall quadric Q i P ³ ) har selvkryss 0 , siden en linje kan flyttes av seg selv. (Det er en styrt overflate .) Når det gjelder skjæringsformer, sier vi at P ¹ × P ¹ har en av typen xy - det er to grunnleggende klasser av linjer, som skjærer hverandre i ett punkt ( xy ), men har null selv -kryss (ingen x ² eller y ² termer).

Sprengninger

Et sentralt eksempel på selvkryssende tall er den eksepsjonelle kurven for et eksplosjon , som er en sentral operasjon i birational geometri . Gitt en algebraisk overflate S , blåser opp ved et punkt for å lage en kurve C . Denne kurven C kan gjenkjennes av slekten, som er 0 , og dens selvskjæringsnummer, som er -1 . (Dette er ikke åpenbart.) Vær oppmerksom på at P ² og P ¹ × P ¹ som følge av dette er minimale overflater (de er ikke oppblåsninger), siden de ikke har noen kurver med negativt selvskjæringspunkt. Faktisk Castelnuovo ‘s sammentrekning teorem sier det motsatte: hver (-1) -curve er eksepsjonell kurven av noen blåser opp (det kan bli‘blåst ned’).

Se også

• Chow -gruppen
• Grothendieck – Riemann – Roch teorem
• Enumerativ geometri

Sitater

Referanser

• Gathman, Andreas, Algebraic Geometry , arkivert fra originalen 2016-05-21 , hentet 2018-05-11
• Tian, ​​Yichao, Kursnotater i veikrysssteori (PDF)

Bibliografi