Enkelt og dobbelt jevnt - Singly and doubly even
I matematikk kalles et heltall , det vil si et tall som kan deles med 2, jevnt like eller dobbelt, selv om det er et multiplum av 4, og merkelig jevnt eller enkelt, selv om det ikke er det. (De tidligere navnene er tradisjonelle, avledet av den gamle greske; sistnevnte har blitt vanlige de siste tiårene.
Disse navnene gjenspeiler et grunnleggende konsept i tallteorien , 2-rekkefølgen på et heltall: hvor mange ganger heltallet kan deles med 2. Dette tilsvarer mangfoldet av 2 i primfaktoriseringen . Et enkelt antall kan bare deles med 2 en gang; det er jevnt, men kvotienten med 2 er merkelig. Et dobbelt partall er et helt tall som kan deles mer enn en gang med 2; den er jevn og dens kvotient med 2 er også jevn.
Den separate betraktningen av merkelig og jevnt like tall er nyttig i mange deler av matematikken, spesielt i tallteori, kombinatorikk , kodingsteori (se til og med koder ), blant andre.
Definisjoner
De gamle greske begrepene "jevn-selv-jevn" og "jevn-ganger-merkelig" fikk forskjellige ulikverdige definisjoner av Euklid og senere forfattere som Nikomachus . I dag er det en standardutvikling av konseptene. 2-orden eller 2-adic orden er ganske enkelt et spesielt tilfelle av p -adic orden med et generelt primtall p ; se p -adisk tall for mer om dette brede området matematikk. Mange av følgende definisjoner generaliserer direkte til andre primtall.
For et helt tall n er 2-rekkefølgen av n (også kalt verdsettelse ) det største naturlige tallet ν slik at 2 ν deler n . Denne definisjonen gjelder positive og negative tall n , selv om noen forfattere begrenser den til positive n ; og man kan definere 2-rekkefølgen på 0 til å være uendelig (se også paritet på null ). 2-rekkefølgen på n er skrevet v 2 ( n ) eller ord 2 ( n ). Det er ikke å forveksles med multiplikativ orden modulo 2 .
2-ordren gir en enhetlig beskrivelse av forskjellige klasser av heltall definert av jevnhet:
- Oddetall er de med ν 2 ( n ) = 0, dvs. heltall av formen 2 m + 1 .
- Jevne tall er de med ν 2 ( n )> 0, dvs. heltall av formen 2 m . Spesielt:
- Enkelt like tall er de med ν 2 ( n ) = 1, dvs. heltall av formen 4 m + 2 .
- Dobbelt like tall er de med ν 2 ( n )> 1, dvs. heltall av formen 4 m .
- I denne terminologien kan et dobbelt partall være delbart med 8, så det er ingen spesiell terminologi for "tredobbelte" tall i ren matematikk, selv om det brukes i barns undervisningsmateriale, inkludert høyere multipler som "firdobbelt. "
Man kan også utvide 2-rekkefølgen til rasjonelle tall ved å definere ν 2 ( q ) for å være det unike heltallet ν hvor
og a og b er begge rare. For eksempel har halve heltall en negativ 2-rekkefølge, nemlig −1. Til slutt, ved å definere den 2-adiske normen,
man er godt på vei til å konstruere 2-adic-tallene .
applikasjoner
Tryggere outs i dart
Målet med dartspillet er å nå en poengsum på 0, så spilleren med mindre poengsum er i en bedre posisjon for å vinne. I begynnelsen av et ben har "mindre" den vanlige betydningen av absolutt verdi , og den grunnleggende strategien er å sikte mot høyverdige områder på darttavlen og score så mange poeng som mulig. På slutten av et bein, siden man trenger å doble ut for å vinne, blir 2-adic-normen det aktuelle tiltaket. Uansett hvor liten poeng det er, uansett hvor liten i absolutt verdi, tar det minst to piler for å vinne. Enhver jevn score mellom 2 og 40 kan være fornøyd med en enkelt pil, og 40 er en mye mer ønskelig poengsum enn 2, på grunn av effekten av manglende.
En vanlig glipp når du sikter mot dobbeltringen er å treffe en singel i stedet og ved et uhell halvere poengsummen. Gitt en poengsum på 22 - et enkelt partall - har en et skudd for dobbelt 11. Hvis man treffer singel 11, er den nye poengsummen 11, noe som er rart, og det vil ta minst to piler til å komme seg. Derimot, når man skyter for dobbel 12, kan man gjøre den samme feilen, men fortsatt ha 3 spillskudd på rad: D12, D6 og D3. Vanligvis, med en poengsum på n <42 , har man ν 2 ( n ) slike spillskudd. Dette er grunnen til at 32 = 2 5 er en så ønskelig poengsum: den deler seg 5 ganger.
Irrasjonalitet av kvadratroten på 2
Det klassiske beviset på at kvadratroten til 2 er irrasjonell, fungerer ved uendelig nedstigning . Vanligvis blir nedstigningsdelen av beviset abstrahert ved å anta (eller bevise) eksistensen av irredusible representasjoner av rasjonelle tall . En alternativ tilnærming er å utnytte eksistensen av ν 2- operatøren.
hvor a og b ikke er naturlige tall. Firkant begge sider av likheten og bruk 2-ordres verdivurderingsoperatør ν 2 til 2 b 2 = a 2 :
Siden verdier i to ordrer er heltall, kan ikke forskjellen være lik den rasjonelle . Ved motsetning er √ 2 derfor ikke en rasjonell.
Mer konkret, siden verdsettelsen av 2 b 2 er merkelig, mens verdsettelsen av en 2 er jevn, må de være forskjellige heltall, slik at . En enkel beregning gir deretter en nedre grense av for forskjellen , og gir et direkte bevis på irrasjonalitet som ikke er avhengig av loven om ekskludert midt .
Geometrisk topologi
I geometrisk topologi avhenger mange egenskaper av manifoldene bare av dimensjonen mod 4 eller mod 8; dermed studerer man ofte mangfold av enkelt og dobbelt jevn dimensjon (4 k +2 og 4 k ) som klasser. For eksempel har dobbelt jevne dimensjonale manifolder en symmetrisk ikke- degenerert bilinær form på deres midtdimensjon kohomologigruppe , som dermed har en heltallsignert signatur . Omvendt har enkelt, ensdimensjonale manifolder en skjev -symmetrisk ikke- degenerert bilinær form på den midterste dimensjonen; hvis man definerer en kvadratisk forbedring av dette til en kvadratisk form (som på en innrammet manifold ), får man Arf-invarianten som en mod 2-invariant. Odd-dimensjonelle manifolder har derimot ikke disse invarianter, men i algebraisk kirurgisk teori kan man definere mer kompliserte invarianter. Denne 4-fold og 8-fold periodisiteten i strukturen til manifoldene er relatert til den 4-fold periodiciteten til L-teorien og den 8-fold periodiciteten til reell topologisk K-teori , som er kjent som Bott periodicitet .
Hvis en kompakt orientert glatt sentrifugeringsmanifold har dimensjonen n ≡ 4 mod 8 , eller ν 2 ( n ) = 2 nøyaktig, er signaturen et heltall på 16.
Andre opptredener
Et enkelt tall kan ikke være et kraftig tall . Det kan ikke vises som en forskjell på to firkanter . Imidlertid kan et enkelt partall representeres som forskjellen mellom to proniske tall eller to kraftige tall.
I gruppeteori er det relativt enkelt å vise at rekkefølgen til en ikke -abelisk endelig enkel gruppe ikke kan være et enkelt partall. Faktisk, ved Feit – Thompson-teoremet , kan det ikke være rart heller, så hver slik gruppe har dobbelt jevn rekkefølge.
Lamberts fortsatte brøkdel for tangentfunksjonen gir følgende fortsatte brøk som involverer de positive, jevne tallene:
Dette uttrykket fører til lignende fremstillinger av e .
I organisk kjemi , Hückel regel , også kjent som den 4n + 2 regel, forutsier at en cyklisk π-binding system inneholdende et enkeltvis jevnt antall p elektroner vil være aromatisk .
Relaterte klassifiseringer
Selv om 2-ordren kan oppdage når et helt tall er kongruent til 0 (mod 4) eller 2 (mod 4), kan den ikke se forskjellen mellom 1 (mod 4) eller 3 (mod 4). Dette skillet har noen interessante konsekvenser, for eksempel Fermats setning om sum av to firkanter .