Landau – Squire jetfly - Landau–Squire jet

I fluiddynamikk , Landau-Squire stråle eller Submerged Landau stråle beskriver en rund neddykket stråle utstedt fra en punktkilde for fart inn i en uendelig fluidmedium av samme type. Dette er en eksakt løsning på den ukomprimerbare formen til Navier-Stokes-ligningene, som først ble oppdaget av Lev Landau i 1944 og senere av Herbert Squire i 1951. Den selvlignende ligningen ble faktisk først avledet av NA Slezkin i 1934, men aldri brukt på strålen. Etter Landaus arbeid fikk VI Yatseyev den generelle løsningen av ligningen i 1950.

Matematisk beskrivelse

Landau-Squire jet strømlinjeformer for c = 0,01

Landau-Squire jet strømlinjeformer for c = 0,1

Landau-Squire jet strømlinjeformes for c = 1

Problemet er beskrevet i sfæriske koordinater med hastighetskomponenter . Flyten er aksesymmetrisk, dvs. uavhengig av . Deretter reduseres kontinuitetsligningen og de ukomprimerbare Navier – Stokes-ligningene til ${\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}$ ${\ displaystyle (u, v, 0)}$ ${\ displaystyle \ phi}$

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} (r ^ {2} u) + {\ frac { 1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} (v \ sin \ theta) = 0 \\ [8pt] & u {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} + {\ frac {v} {r}} {\ frac {\ partial u} {\ partial \ theta}} - {\ frac {v ^ {2}} {r}} = - {\ frac { 1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial r}} + \ nu \ left (\ nabla ^ {2} u - {\ frac {2u} {r ^ {2}}} - {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial v} {\ partial \ theta}} - {\ frac {2v \ cot \ theta} {r ^ {2}}} \ right ) \\ [8pt] & u {\ frac {\ partial v} {\ partial r}} + {\ frac {v} {r}} {\ frac {\ partial v} {\ partial \ theta}} + {\ frac {uv} {r}} = - {\ frac {1} {\ rho r}} {\ frac {\ partial p} {\ partial \ theta}} + \ nu \ left (\ nabla ^ {2} v + {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial u} {\ partial \ theta}} - {\ frac {v} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta }} \ høyre) \ end {justert}}}

hvor

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ delvis} {\ partial r}} \ høyre) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ høyre).}

En selvlignende beskrivelse er tilgjengelig for løsningen i følgende form,

{\ displaystyle u = {\ frac {\ nu} {r \ sin \ theta}} f '(\ theta), \ quad v = - {\ frac {\ nu} {r \ sin \ theta}} f (\ theta).}

Ved å erstatte ovennevnte selvlignende form i de styrende ligningene og bruke grensebetingelsene ved uendelig, finner man formen for trykk som ${\ displaystyle u = v = p-p _ {\ infty} = 0}$

{\ displaystyle {\ frac {p-p _ {\ infty}} {\ rho}} = - {\ frac {v ^ {2}} {2}} + {\ frac {\ nu u} {r}} + {\ frac {c_ {1}} {r ^ {2}}}}

hvor er en konstant. Ved å bruke dette trykket finner vi igjen fra momentumligningen, ${\ displaystyle c_ {1}}$

{\ displaystyle - {\ frac {u ^ {2}} {r}} + {\ frac {v} {r}} {\ frac {\ partial u} {\ partial \ theta}} = {\ frac {\ nu} {r ^ {2}}} \ left [2u + {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial u} {\ partial \ theta}} \ right) \ right] + {\ frac {2c_ {1}} {r ^ {3}}}.}

Skifte av som uavhengig variabel, hastighetene blir ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ mu = \ cos \ theta}$

{\ displaystyle u = - {\ frac {\ nu} {r}} f '(\ mu), \ quad v = - {\ frac {\ nu} {r}} {\ frac {f (\ mu)} {\ sqrt {1- \ mu ^ {2}}}}}

(for kortfattethet brukes det samme symbolet til og selv om de er funksjonelt de samme, men tar forskjellige numeriske verdier) og ligningen blir ${\ displaystyle f (\ theta)}$ ${\ displaystyle f (\ mu)}$

{\ displaystyle f '^ {2} + ff' '= 2f' + [(1- \ mu ^ {2}) f ''] '- 2c_ {1}.}

Etter to integrasjoner reduseres ligningen til

{\ displaystyle f ^ {2} = 4 \ mu f + 2 (1- \ mu ^ {2}) f'-2 (c_ {1} \ mu ^ {2} + c_ {2} \ mu + c_ { 3}),}

hvor og er konstanter for integrasjon. Ovennevnte ligning er en Riccati-ligning . Etter noen beregninger kan den generelle løsningen vises ${\ displaystyle c_ {2}}$ ${\ displaystyle c_ {3}}$

{\ displaystyle f = \ alpha (1+ \ mu) + \ beta (1- \ mu) + {\ frac {2 (1- \ mu ^ {2}) (1+ \ mu) ^ {\ beta}} {(1- \ mu) ^ {\ alpha}}} \ left [c- \ int _ {1} ^ {\ mu} {\ frac {(1+ \ mu) ^ {\ beta}} {(1- \ mu) ^ {\ alpha}}} \ høyre] ^ {- 1},}

hvor er konstanter. Den fysisk relevante løsningen på strålen tilsvarer saken (Tilsvarende sier vi det , slik at løsningen er fri for singulariteter på symmetriaksen, bortsett fra ved opprinnelsen). Derfor, ${\ displaystyle \ alpha, \ \ beta, \ c}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = 0}$ ${\ displaystyle c_ {1} = c_ {2} = c_ {3} = 0}$

{\ displaystyle f = {\ frac {2 (1- \ mu ^ {2})} {c + 1- \ mu}} = {\ frac {2 \ sin ^ {2} \ theta} {c + 1- \ cos \ theta}}.}

Funksjonen er relatert til strømmen funksjon som , og dermed konturer for forskjellige verdier av gir strømlinjene. Konstanten beskriver kraften ved opprinnelsen som virker i strålens retning (denne kraften er lik hastigheten på overføring av momentum over en hvilken som helst sfære rundt opprinnelsen pluss kraften i stråleretningen som utøves av sfæren på grunn av trykk og viskøse krefter) , det eksakte forholdet mellom kraften og konstanten er gitt av ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ psi = \ nu rf}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle c}$

{\ displaystyle {\ frac {F} {2 \ pi \ rho \ nu ^ {2}}} = {\ frac {32 (c + 1)} {3c (c + 2)}} + 8 (c + 1 ) -4 (c + 1) ^ {2} \ ln {\ frac {c + 2} {c}}.}

Løsningen beskriver en væskestråle som raskt beveger seg bort fra opprinnelsen og medfører den langsomt bevegende væske utenfor strålen. Kanten av strålen kan defineres som stedet der strømlinjene er i minimum avstand fra aksen, dvs. e kanten er gitt av