Levi -Civita -tilkobling - Levi-Civita connection

I Riemannian eller pseudo Riemannian geometri (spesielt den Lorentzian geometri for generell relativitet ), er Levi-Civita-forbindelsen den unike forbindelsen på tangentbunten til en manifold (dvs. affin forbindelse ) som bevarer ( pseudo- ) Riemannian metric og er torsjon -gratis.

Den grunnsetning fra Riemannisk geometri sier at det er en unik forbindelse som tilfredsstiller disse egenskaper.

I teorien om Riemannian og pseudo-Riemannian manifolds brukes begrepet kovariant derivat ofte for Levi-Civita-forbindelsen. Komponentene (strukturskoeffisienter) i denne forbindelsen med hensyn til et system med lokale koordinater kalles Christoffel -symboler .

Historie

Levi-Civita-forbindelsen er oppkalt etter Tullio Levi-Civita , selv om den opprinnelig ble "oppdaget" av Elwin Bruno Christoffel . Levi-Civita, sammen med Gregorio Ricci-Curbastro , brukte Christoffels symboler for å definere begrepet parallell transport og utforske forholdet mellom parallell transport og krumningen , og utviklet dermed den moderne forestillingen om holonomi .

I 1869 oppdaget Christoffel at komponentene i det indre derivatet av et vektorfelt, etter endring av koordinatsystemet, transformeres som komponentene i en kontravariant vektor. Denne oppdagelsen var den virkelige begynnelsen på tensoranalysen.

I 1906 var LEJ Brouwer den første matematikeren som vurderte paralleltransporten av en vektor for et rom med konstant krumning .

I 1917 påpekte Levi-Civita sin betydning for tilfellet med en overflate nedsenket i et euklidisk rom , dvs. for et Riemannian-manifold innebygd i et "større" omgivelsesrom. Han tolket det iboende derivatet når det gjelder en innebygd overflate som den tangensielle komponenten av det vanlige derivatet i det omgivende affinrommet. Levi-Civita-forestillingene om iboende derivater og parallell forskyvning av en vektor langs en kurve er fornuftig på et abstrakt Riemannian-mangfold, selv om den opprinnelige motivasjonen var avhengig av en bestemt innstøping${\ displaystyle M ^{n} \ delsett \ mathbf {R} ^{n (n+1)/2}.}$

I 1918, uavhengig av Levi-Civita, oppnådde Jan Arnoldus Schouten analoge resultater. Samme år generaliserte Hermann Weyl Levi-Civitas resultater.

Notasjon

• ( M , g ) betegner en Riemannian eller pseudo-Riemannian manifold .
• TM er tangentbunten av M .
• g er den Riemannisk eller pseudo-Riemannisk beregning av M .
• X , Y , Z er glatte vektorfelt på M , dvs. glatte deler av TM .
• [ X , Y ] er den Lie brakett av X og Y . Det er igjen et jevnt vektorfelt.

Metrisk g kan ta opptil to vektorer eller vektorfelt X , Y som argumenter. I det førstnevnte tilfelle utgangen er et tall, (pseudo-) indre produkt av X og Y . I det sistnevnte tilfellet den indre produkt av X _p , Y _p er tatt på alle punkter p på manifolden, slik at g ( X , Y ) definerer en glatt funksjon på M . Vektorfelt fungerer (per definisjon) som differensialoperatorer på glatte funksjoner. I lokale koordinater leser handlingen ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

${\ displaystyle X (f) = X^{i} {\ frac {\ partiell} {\ delvis x^{i}}} f = X^{i} \ delvis _ {i} f}$

hvor Einsteins summasjonskonvensjon brukes.

Formell definisjon

En affin tilkobling ∇ kalles en Levi-Civita-tilkobling hvis

1. den beholder det metriske , dvs. ∇ g = 0 .
2. det er torsjon -fritt , dvs. for en hvilken som helst vektorfelt X og Y har vi ∇ _X Y - ∇ _Y X = [ X , Y ] , hvor [ X , Y ] er den Lie brakett av den vektorfelt, X og Y .

Betingelse 1 ovenfor blir noen ganger referert til som kompatibilitet med metriket , og tilstand 2 kalles noen ganger symmetri, jf. Gjør Carmos tekst.

Fundamental theorem of (pseudo) Riemannian Geometry

Teorem Hver pseudo Riemannian manifold har en unik Levi Civita -forbindelse . ${\ displaystyle (M, g)}$${\ displaystyle \ nabla}$

bevis : Hvis det finnes en Levi-Civita-tilkobling, må den være unik. For å se dette, avslør definisjonen av virkningen av en forbindelse på tensorer for å finne

${\ displaystyle X {\ bigl (} g (Y, Z) {\ bigr)} = (\ nabla _ {X} g) (Y, Z)+g (\ nabla _ {X} Y, Z)+g (Y, \ nabla _ {X} Z).}$

Derfor kan vi skrive betingelse 1 som

${\ displaystyle X {\ bigl (} g (Y, Z) {\ bigr)} = g (\ nabla _ {X} Y, Z)+g (Y, \ nabla _ {X} Z).}$

Ved symmetrien til den metriske tensoren finner vi deretter: ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle X {\ bigl (} g (Y, Z) {\ bigr)}+Y {\ bigl (} g (Z, X) {\ bigr)}-Z {\ bigl (} g (Y, X ) {\ bigr)} = g (\ nabla _ {X} Y+\ nabla _ {Y} X, Z)+g (\ nabla _ {X} Z- \ nabla _ {Z} X, Y)+g ( \ nabla _ {Y} Z- \ nabla _ {Z} Y, X).}$

Ved betingelse 2 er derfor høyre side lik

${\ displaystyle 2g (\ nabla _ {X} Y, Z) -g ([X, Y], Z)+g ([X, Z], Y)+g ([Y, Z], X),}$

og vi finner Koszul -formelen

${\ displaystyle g (\ nabla _ {X} Y, Z) = {\ tfrac {1} {2}} {\ Big \ {} X {\ bigl (} g (Y, Z) {\ bigr)}+ Y {\ bigl (} g (Z, X) {\ bigr)}-Z {\ bigl (} g (X, Y) {\ bigr)}+g ([X, Y], Z) -g ([ Y, Z], X) -g ([X, Z], Y) {\ Big \}}.}$

Derfor, hvis det eksisterer en Levi-Civita-forbindelse, må den være unik, fordi den er vilkårlig, er ikke degenerert, og høyre side er ikke avhengig . ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ nabla}$

For å bevise eksistens, vær oppmerksom på at for gitt vektorfelt og høyre side av Koszul-uttrykket er funksjonslinjært i vektorfeltet , ikke bare ekte lineært. Derfor, på grunn av ikke -degenerasjon av , definerer høyre side unikt et nytt vektorfelt som vi antydelig betegner som på venstre side. Ved å erstatte Koszul -formelen, sjekker man nå det for alle vektorfelt og alle funksjoner${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y}$${\ displaystyle X, Y, Z}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle g (\ nabla _ {X} (Y_ {1}+Y_ {2}), Z) = g (\ nabla _ {X} Y_ {1}, Z)+g (\ nabla _ {X} Y_ {2}, Z)}$

${\ displaystyle g (\ nabla _ {X} (fY), Z) = X (f) g (Y, Z)+fg (\ nabla _ {X} Y, Z)}$

${\ displaystyle g (\ nabla _ {X} Y, Z)+g (\ nabla _ {X} Z, Y) = X {\ bigl (} g (Y, Z) {\ bigr)}}$

${\ displaystyle g (\ nabla _ {X} Y, Z) -g (\ nabla _ {Y} X, Z) = g ([X, Y], Z).}$

Derfor definerer Koszul-uttrykket faktisk en forbindelse, og denne forbindelsen er kompatibel med metrisk og er vridningsfri, dvs. er en (derav) Levi-Civita-forbindelse.

Vær oppmerksom på at med mindre variasjoner viser det samme beviset at det er en unik forbindelse som er kompatibel med metriken og har foreskrevet torsjon.

Christoffel -symboler

La være en affin tilkobling på tangentbunten. Velg lokale koordinater med koordinatbasisvektorfelt og skriv for . De Christoffel symboler av med hensyn til disse koordinatene er definert som ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle x^{1}, \ ldots, x^{n}}$${\ displaystyle \ delvis _ {1}, \ ldots, \ delvis _ {n}}$${\ displaystyle \ nabla _ {j}}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ delvis _ {j}}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {jk}^{l}}$${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle \ nabla _ {j} \ partiell _ {k} = \ Gamma _ {jk}^{l} \ delvis _ {l}}$

Christoffelsymbolene definerer omvendt forbindelsen på koordinatnabolaget fordi ${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y = \ nabla _ {X^{j} \ partiell _ {j}} Y = X^{j} \ nabla _ {j} Y = X^{j} \ nabla _ {j} (Y^{k} \ partiell _ {k}) = X^{j} {\ bigl (} \ delvis _ {j} (Y^{k}) \ delvis _ {k}+Y^{ k} \ nabla _ {j} \ partiell _ {k} {\ bigr)} = X^{j} {\ bigl (} \ delvis _ {j} (Y^{k}) \ delvis _ {k}+ Y^{k} \ Gamma _ {jk}^{l} \ partiell _ {l} {\ bigr)} = X^{j} {\ bigl (} \ delvis _ {j} (Y^{l}) +Y^{k} \ Gamma _ {jk}^{l} {\ bigr)} \ delvis _ {l}}$

det er,

${\ displaystyle (\ nabla _ {j} Y)^{l} = \ delvis _ {j} Y^{l}+\ Gamma _ {jk}^{l} Y^{k}}$

En affin tilkobling er kompatibel med en metrisk iff ${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle \ partiell _ {i} {\ bigl (} g (\ delvis _ {j}, \ delvis _ {k}) {\ bigr)} = g (\ nabla _ {i} \ delvis _ {j} , \ delvis _ {k})+g (\ delvis _ {j}, \ nabla _ {i} \ delvis _ {k}) = g (\ Gamma _ {ij}^{l} \ delvis _ {l} , \ delvis _ {k})+g (\ delvis _ {j}, \ Gamma _ {ik}^{l} \ delvis _ {l})}$

dvs. hvis og bare hvis

${\ displaystyle \ partial _ {i} g_ {jk} = \ Gamma _ {ij}^{l} g_ {lk}+\ Gamma _ {ik}^{l} g_ {jl}.}$

En affin forbindelse ∇ er vridningsfri iff

${\ displaystyle \ nabla _ {i} \ partiell _ {j}-\ nabla _ {j} \ delvis _ {i} = (\ Gamma _ {jk}^{l}-\ Gamma _ {kj}^{l }) \ delvis _ {l} = [\ delvis _ {i}, \ delvis _ {j}] = 0.}$

dvs. hvis og bare hvis

${\ displaystyle \ Gamma _ {jk}^{l} = \ Gamma _ {kj}^{l}}$

er symmetrisk i de to nedre indeksene.

Når man sjekker ved å ta for , koordinere vektorfelt (eller beregne direkte), tilsvarer Koszul-uttrykket for Levi-Civita-tilkoblingen som er avledet ovenfor, med en definisjon av Christoffelsymbolene når det gjelder metrisk som ${\ displaystyle X, Y, Z}$${\ displaystyle \ partiell _ {j}, \ delvis _ {k}, \ delvis _ {l}}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {jk}^{l} = {\ tfrac {1} {2}} g^{lr} \ venstre (\ delvis _ {k} g_ {rj}+\ delvis _ {j} g_ {rk}-\ delvis _ {r} g_ {jk} \ høyre)}$

der som vanlig er koeffisientene til den dobbelmetriske tensoren, dvs. oppføringene til inversen av matrisen . ${\ displaystyle g^{ij}}$${\ displaystyle g_ {kl}}$

Derivat langs kurven

Levi-Civita forbindelse (som alle affine forbindelse) avgrenser også et derivat langs kurver , av og til betegnet med D .

Gitt en jevn kurve γ på ( M , g ) og et vektorfelt V langs γ er dets derivat definert av

${\ displaystyle D_ {t} V = \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} V.}$

Formelt, D er pullback forbindelse γ * ∇ på pullback bundle γ * TM .

Spesielt er et vektorfelt langs kurven γ selv. Hvis den forsvinner, kalles kurven en geodesikk for kovariansderivatet. Formelt kan tilstanden omarbeides som forsvinningen av tilbaketrekkingsforbindelsen som gjelder for : ${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$

${\ displaystyle \ left (\ gamma ^{*} \ nabla \ right) {\ dot {\ gamma}} \ equiv 0.}$

Hvis kovariansderivatet er Levi-Civita-tilkoblingen til en bestemt metrisk, så er geodesikkene for forbindelsen nettopp de geodesikkene i metriken som er parametrert proporsjonalt med buelengden.

Parallell transport

Generelt definerer parallell transport langs en kurve med hensyn til en forbindelse isomorfismer mellom tangensrommene på kurvens punkter. Hvis forbindelsen er en Levi-Civita-forbindelse, så er disse isomorfismene ortogonale -det vil si at de bevarer de indre produktene på de forskjellige tangensrommene.

Bildene nedenfor viser parallell transport av Levi-Civita-forbindelsen knyttet til to forskjellige Riemannian-beregninger på flyet, uttrykt i polære koordinater . Metriken til venstre bilde tilsvarer den standard euklidiske metriken , mens metriken til høyre har standardform i polære koordinater, og bevarer dermed vektoren som tangerer sirkelen. Denne andre metrikken har en singularitet ved opprinnelsen, som det kan sees ved å uttrykke den i kartesiske koordinater: ${\ displaystyle ds^{2} = dx^{2}+dy^{2} = dr^{2}+r^{2} d \ theta^{2}}$${\ displaystyle {\ delvis \ over \ delvis \ theta}}$

${\ displaystyle dr = {\ frac {xdx+ydy} {\ sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$

${\ displaystyle d \ theta = {\ frac {xdy-ydx} {x^{2}+y^{2}}}}$

${\ displaystyle dr^{2}+d \ theta^{2} = {\ frac {(xdx+ydy)^{2}} {x^{2}+y^{2}}}+{\ frac { (xdy-ydx)^{2}} {(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$

Eksempel: enhetssfæren i R ³

La ⟨,⟩ være det vanlige skalarproduktet på R ³ . La S ² være enhetssfæren i R ³ . Tangenten plass til S ² i et punkt m er naturligvis identifisert med vektoren underrom av R- ³ som består av alle vektorer ortogonal til m . Det følger at et vektorfelt Y på S ² kan sees på som et kart Y  : S ² → R ³ , som tilfredsstiller

${\ displaystyle {\ bigl \ langle} Y (m), m {\ bigr \ rangle} = 0, \ qquad \ forall m \ in \ mathbf {S} ^{2}.}$

Betegn som D _m Y ( X ) den kovariante derivat av kartet Y i retning av vektoren X . Så har vi:

Lemma: Formelen

${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {X} Y \ right) (m) = d_ {m} Y (X)+\ langle X (m), Y (m) \ rangle m}$

definerer en affin forbindelse på S ² med forsvinnende vridning.

Bevis: Det er enkelt å bevise at ∇ tilfredsstiller Leibniz -identiteten og er C ^∞ ( S ² ) lineær i den første variabelen. Det er også en enkel beregning som viser at denne forbindelsen er vridningsfri. Så alt som må bevises her er at formelen ovenfor faktisk definerer et vektorfelt. Det vil si at vi må bevise at for alle m i S ²

${\ displaystyle {\ bigl \ langle} \ venstre (\ nabla _ {X} Y \ høyre) (m), m {\ bigr \ rangle} = 0 \ qquad (1).}$

Betrakt kartet f som sender hver m i S ² til ⟨ Y ( m ), m ⟩ , som alltid er 0. Kartet f er konstant, og har derfor en differensial borte. Spesielt

${\ displaystyle d_ {m} f (X) = {\ bigl \ langle} d_ {m} Y (X), m {\ bigr \ rangle}+{\ bigl \ langle} Y (m), X (m) {\ bigr \ rangle} = 0.}$

Ligningen (1) ovenfor følger. QED

Faktisk er denne forbindelsen Levi-Civita-tilkoblingen for beregningen på S ^{2 som er} arvet fra R ³ . Faktisk kan man kontrollere at denne tilkoblingen beholder beregningen.

Se også

• Weitzenböck -tilkobling

Merknader

Referanser

• Boothby, William M. (1986). En introduksjon til differensierbare manifolder og Riemannian geometri . Academic Press. ISBN 0-12-116052-1.
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1963). Grunnlag for differensialgeometri . John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9.Se bind I s. 158

Eksterne linker

• "Levi-Civita-tilkobling" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld: Levi-Civita Connection
• PlanetMath: Levi-Civita Connection
• Levi-Civita-forbindelse på manifoldatlaset