Stedsparameter - Location parameter

I statistikk er en lokaliseringsparameter for en sannsynlighetsfordeling en skalar- eller vektorverdiert parameter , som bestemmer "plasseringen" eller forskyvningen av fordelingen. I litteraturen om estimering av lokaliseringsparametere er det funnet at sannsynlighetsfordelingene med en slik parameter formelt er definert på en av følgende ekvivalente måter: ${\ displaystyle x_ {0}}$

• enten som å ha en sannsynlighetstetthetsfunksjon eller sannsynlighetsmassefunksjon ; eller${\ displaystyle f (x-x_ {0})}$
• å ha en kumulativ distribusjonsfunksjon ; eller${\ displaystyle F (x-x_ {0})}$
• blir definert som følge av den tilfeldige variabeltransformasjonen , hvor er en tilfeldig variabel med en viss, muligens ukjent, fordeling (Se også #Additive_noise ).${\ displaystyle x_ {0}+X}$${\ displaystyle X}$

Et direkte eksempel på en lokaliseringsparameter er parameteren for normalfordelingen . For å se dette, vær oppmerksom på at sannsynlighetstetthetsfunksjonen til en normalfordeling kan få parameteren fakturert ut og skrives som: ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f (x | \ mu, \ sigma)}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^{2})}$${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle g (y- \ mu | \ sigma) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e^{-{\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ frac {y} {\ sigma}} \ høyre)^{2}}}$

og dermed oppfylle den første av definisjonene gitt ovenfor.

Ovennevnte definisjon indikerer i det endimensjonale tilfellet at sannsynlighetstettheten eller massefunksjonen skifter stivt til høyre hvis den økes, og opprettholder sin eksakte form. ${\ displaystyle x_ {0}}$

En lokaliseringsparameter kan også finnes i familier som har mer enn én parameter, for eksempel stedsskala -familier . I dette tilfellet vil sannsynlighetstetthetsfunksjonen eller sannsynlighetsmassefunksjonen være et spesialtilfelle av den mer generelle formen

${\ displaystyle f_ {x_ {0}, \ theta} (x) = f _ {\ theta} (x-x_ {0})}$

hvor er plasseringsparameteren, θ representerer flere parametere, og er en funksjon som er parametrisert på tilleggsparametrene. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f _ {\ theta}}$

Additiv støy

En alternativ måte å tenke stedfamilier på er gjennom begrepet additiv støy . Dersom er en konstant og W er tilfeldig støy med sannsynlighetstetthet så har sannsynlighetstetthet , og dens fordeling er derfor en del av en familie sted. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f_ {W} (w),}$${\ displaystyle X = x_ {0}+W}$${\ displaystyle f_ {x_ {0}} (x) = f_ {W} (x-x_ {0})}$

Bevis

For det kontinuerlige univariate tilfellet, vurdere en sannsynlighetstetthetsfunksjon , hvor er en vektor med parametere. En posisjonsparameter kan legges til ved å definere: ${\ displaystyle f (x | \ theta), x \ in [a, b] \ delsett \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle g (x | \ theta, x_ {0}) = f (x-x_ {0} | \ theta), \; x \ i [a-x_ {0}, b-x_ {0}]}}$

Det kan bevises at det er en pdf ved å kontrollere om den overholder de to betingelsene og . integreres til 1 fordi: ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g (x | \ theta, x_ {0}) \ geq 0}$${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = 1}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = \ int _ {a-x_ {0}}^{b-x_ {0}} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = \ int _ {a-x_ {0}}^{b-x_ {0}} f (x-x_ {0} | \ theta) dx}$

nå gjør variabelen endring og oppdaterer integrasjonsintervallet tilsvarende: ${\ displaystyle u = x-x_ {0}}$

${\ displaystyle \ int _ {a}^{b} f (u | \ theta) du = 1}$

fordi er en pdf ved hypotese. følger av å dele det samme bildet av , som er en pdf, så bildet er inneholdt i . ${\ displaystyle f (x | \ theta)}$${\ displaystyle g (x | \ theta, x_ {0}) \ geq 0}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [0,1]}$

Se også

• Sentral tendens
• Plasseringstest
• Uforanderlig estimator
• Skala parameter
• To-øyeblikks beslutningsmodeller

Referanser