Skalerparameter - Scale parameter

I sannsynlighetsteori og statistikk er en skalaparameter en spesiell type numerisk parameter for en parametrisk familie av sannsynlighetsfordelinger . Jo større skalaparameter, jo mer spredt distribusjon.

Definisjon

Hvis en familie med sannsynlighetsfordelinger er slik at det er en parameter s (og andre parametere θ ) som den kumulative fordelingsfunksjonen tilfredsstiller

${\ displaystyle F (x; s, \ theta) = F (x / s; 1, \ theta), \!}$

deretter s kalles en skala parameter , siden dens verdi bestemmer " skalaen " eller statistisk spredning av sannsynlighetsfordelingen. Hvis s er stor, blir fordelingen mer spredt; hvis s er liten, vil den være mer konsentrert.

Animasjon som viser effekten av en skalaparameter på en sannsynlighetsfordeling støttet på den positive reelle linjen.

Effekt av en skalaparameter over en blanding av to normale sannsynlighetsfordelinger

Hvis sannsynlighetstettheten eksisterer for alle verdiene til det komplette parametersettet, tilfredsstiller tettheten (bare som en funksjon av skalaparameteren)

${\ displaystyle f_ {s} (x) = f (x / s) / s, \!}$

hvor f er tettheten av en standardisert versjon av tetthet, dvs . ${\ displaystyle f (x) \ equiv f_ {s = 1} (x)}$

En estimator for en skalaparameter kalles en estimator for skalaen.

Familier med stedsparametere

I tilfelle hvor en parametrisert familie har en plasseringsparameter , brukes en litt annen definisjon ofte som følger. Hvis vi betegner plasseringsparameteren med , og skaleringsparameteren med , krever vi at hvor er cmd for den parametriserte familien. Denne modifiseringen er nødvendig for at standardavviket til en ikke-sentral Gaussian skal være en skalaparameter, siden ellers ville gjennomsnittet endret seg når vi skalerer om . Denne alternative definisjonen brukes imidlertid ikke konsekvent. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle F (x; s, m, \ theta) = F ((xm) / s; 1,0, \ theta)}$${\ displaystyle F (x, s, m, \ theta)}$${\ displaystyle x}$

Enkle manipulasjoner

Vi kan skrive i form av , som følger: ${\ displaystyle f_ {s}}$${\ displaystyle g (x) = x / s}$

${\ displaystyle f_ {s} (x) = f \ left ({\ frac {x} {s}} \ right) \ cdot {\ frac {1} {s}} = f (g (x)) g ' (x).}$

Fordi f er en sannsynlighetstetthetsfunksjon, integreres den i enhet:

${\ displaystyle 1 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, dx = \ int _ {g (- \ infty)} ^ {g (\ infty)} f (x) \ , dx.}$

Ved substitusjonsregelen for integral calculus har vi da

${\ displaystyle 1 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (g (x)) g '(x) \, dx = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {s } (x) \, dx.}$

Så er også ordentlig normalisert. ${\ displaystyle f_ {s}}$

Rate parameter

Noen distribusjonsfamilier bruker en hastighetsparameter (eller " omvendt skala-parameter "), som ganske enkelt er gjensidig av skala-parameteren . Så for eksempel den eksponensielle fordelingen med skalaparameter β og sannsynlighetstetthet

${\ displaystyle f (x; \ beta) = {\ frac {1} {\ beta}} e ^ {- x / \ beta}, \; x \ geq 0}$

kan ekvivalent skrives med hastighetsparameter λ som

${\ displaystyle f (x; \ lambda) = \ lambda e ^ {- \ lambda x}, \; x \ geq 0.}$

Eksempler

• Den jevne fordelingen kan parametriseres med en lokaliseringsparameter av og en skala-parameter .${\ displaystyle (a + b) / 2}$${\ displaystyle | ba |}$
• Den normalfordeling har to parametre: et sted parameter og en skala parameter . I praksis normalfordelingen blir ofte parametriseres i form av squared skalaen , som tilsvarer variansen av fordelingen.${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$
• Den gamma-fordeling blir vanligvis parameterisert i form av en skala parameter eller dens inverse.${\ displaystyle \ theta}$
• Spesielle tilfeller av distribusjoner der skala-parameteren tilsvarer enhet, kan kalles "standard" under visse forhold. For eksempel, hvis posisjonsparameteren er lik null og skalaparameteren er lik en, er normalfordelingen kjent som standard normalfordeling, og Cauchy-fordelingen som standard Cauchy-fordeling.

Anslag

En statistikk kan brukes til å estimere en skalaparameter så lenge den:

• Er sted-invariant,
• Skalerer lineært med skala-parameteren, og
• Konvergerer når prøvestørrelsen vokser.

Ulike mål for statistisk spredning tilfredsstiller disse. For å gjøre statistikken til en konsekvent estimator for skalaparameteren, må man generelt multiplisere statistikken med en konstant skaleringsfaktor . Denne skaleringsfaktoren er definert som den teoretiske verdien av verdien oppnådd ved å dele den nødvendige skaleringsparameteren med den asymptotiske verdien til statistikken. Merk at skaleringsfaktoren avhenger av den aktuelle fordelingen.

For eksempel, for å bruke median absolutt avvik (MAD) til å estimere standardavviket til normalfordelingen , må man multiplisere det med faktoren

${\ displaystyle 1 / \ Phi ^ {- 1} (3/4) \ ca 1.4826,}$

der Φ ⁻¹ er kvantilfunksjonen (invers av den kumulative fordelingsfunksjonen ) for standard normalfordeling. (Se MAD for detaljer.) Det vil si at MAD ikke er en konsistent estimator for standardavviket til en normalfordeling, men 1,4826 ... MAD er en konsekvent estimator. På samme måte må gjennomsnittlig absolutt avvik multipliseres med omtrent 1,2533 for å være en konsekvent estimator for standardavvik. Forskjellige faktorer ville være nødvendige for å estimere standardavviket dersom befolkningen ikke fulgte en normalfordeling.

Se også

• Sentral tendens
• Invariant estimator
• Stedparameter
• Stedskala familie
• Middelsbevarende spredning
• Statistisk spredning
• Skaler blanding

Referanser

Videre lesning

• Humør, AM; Graybill, FA; Boes, DC (1974). "VII.6.2 Skala invarians ". Innføring i teorien om statistikk (3. utgave). New York: McGraw-Hill.