Logaritmisk spiral -Logarithmic spiral
En logaritmisk spiral , likekantet spiral eller vekstspiral er en selvlignende spiralkurve som ofte vises i naturen. Den første som beskrev en logaritmisk spiral var Albrecht Dürer (1525) som kalte den en "evig linje" ("ewige lini"). Mer enn et århundre senere ble kurven diskutert av Descartes (1638), og senere grundig undersøkt av Jacob Bernoulli , som kalte den Spira mirabilis , "den vidunderlige spiralen".
Den logaritmiske spiralen kan skilles fra den arkimedeiske spiralen ved at avstandene mellom svingene til en logaritmisk spiral øker i geometrisk progresjon , mens i en arkimedesk spiral er disse avstandene konstante.
Definisjon
I polare koordinater kan den logaritmiske spiralen skrives som
I kartesiske koordinater
Den logaritmiske spiralen med den polare ligningen
Spira mirabilis og Jacob Bernoulli
Spira mirabilis , latin for "mirakuløs spiral", er et annet navn for den logaritmiske spiralen. Selv om denne kurven allerede hadde blitt navngitt av andre matematikere, ble det spesifikke navnet ("mirakuløs" eller "fantastisk" spiral) gitt til denne kurven av Jacob Bernoulli , fordi han var fascinert av en av dens unike matematiske egenskaper: størrelsen på spiralen. øker, men formen er uendret med hver påfølgende kurve, en egenskap kjent som selvlikhet . Muligens som et resultat av denne unike egenskapen, har spira mirabilis utviklet seg i naturen, og dukket opp i visse voksende former som nautilusskjell og solsikkehoder . Jacob Bernoulli ønsket en slik spiral inngravert på gravsteinen hans sammen med uttrykket " Eadem mutata resurgo " ("Selv om det er endret, skal jeg oppstå det samme."), men ved en feil ble en arkimedesk spiral plassert der i stedet.
Egenskaper
Den logaritmiske spiralen har følgende egenskaper (se
spiral ):- Polarskråning : med polar skråningsvinkel (se diagram).(I tilfelle av vinkel vil være 0 og kurven en sirkel med radius .)
- Krumning :
- Buelengde :Spesielt: , hvis .Denne egenskapen ble først realisert av Evangelista Torricelli selv før kalkulus ble oppfunnet.
- Sektorområde:
- Inversjon: Sirkelinversjon ( ) tilordner den logaritmiske spiralen til den logaritmiske spiralen
- Rotering, skalering : Rotering av spiralen etter vinkel gir spiralen , som er den opprinnelige spiralen jevnt skalert (ved opprinnelsen) med .Skalering etter gir
Spesielle tilfeller og tilnærminger
Den gyldne spiral er en logaritmisk spiral som vokser utover med en faktor av det gylne snitt for hver 90 graders rotasjon (polar skråningsvinkel ca. 17,03239 grader). Det kan tilnærmes med en "Fibonacci-spiral", laget av en sekvens av kvartsirkler med radier proporsjonale med Fibonacci-tall .
I naturen
I flere naturfenomener kan man finne kurver som er i nærheten av å være logaritmiske spiraler. Her følger noen eksempler og årsaker:
- En hauks tilnærming til byttet sitt i klassisk forfølgelse , forutsatt at byttet reiser i en rett linje. Deres skarpeste syn er i en vinkel i forhold til flyretningen; denne vinkelen er den samme som spiralens stigning.
- Et insekts tilnærming til en lyskilde. De er vant til å ha lyskilden i en konstant vinkel til flyveien. Vanligvis er solen (eller månen for nattaktive arter) den eneste lyskilden, og å fly den veien vil resultere i en praktisk talt rett linje.
- Armene til spiralgalakser . Vår egen galakse, Melkeveien , har flere spiralarmer, som hver er omtrent en logaritmisk spiral med en stigning på rundt 12 grader.
- Hornhinnens nerver (dvs. hornhinnenerver i subepitellaget avsluttes nær overfladisk epitellag av hornhinnen i et logaritmisk spiralmønster).
- Bandene av
I ingeniørapplikasjoner
- Logaritmiske spiralantenner er frekvensuavhengige antenner, det vil si antenner hvis strålingsmønster, impedans og polarisering stort sett forblir umodifisert over en bred båndbredde.
- Ved produksjon av mekanismer med subtraktive fabrikasjonsmaskiner (som laserskjærere ), kan det oppstå et tap av presisjon når mekanismen produseres på en annen maskin på grunn av forskjellen mellom materiale som fjernes (det vil si snittet) av hver maskin i skjæringen. prosess. For å justere for denne variasjonen av snittet, har den selvtilsvarende egenskapen til den logaritmiske spiralen blitt brukt til å designe en skjærefjerningsmekanisme for laserskjærere.
- Logaritmiske koniske spiralgir er en type spiralfasede gir hvis tannhjuls senterlinje er en logaritmisk spiral. En logaritmisk spiral har fordelen av å gi like vinkler mellom tannens senterlinje og de radielle linjene, noe som gir den meshende transmisjonen mer stabilitet.
Se også
Referanser
- Weisstein, Eric W. "Logarithmic Spiral" . MathWorld .
- Jim Wilson, Equiangular Spiral (eller Logaritmisk Spiral) and Its Related Curves , University of Georgia (1999)
- Alexander Bogomolny , Spira Mirabilis - Wonderful Spiral , at cut-the-knot
Eksterne linker
- Spira mirabilis historie og matematikk
- NASA Astronomy Picture of the Day: Orkanen Isabel vs. Whirlpool Galaxy (25. september 2003)
- NASA Astronomy Picture of the Day: Typhoon Rammasun vs. Pinwheel Galaxy (17. mai 2008)
- SpiralZoom.com , et pedagogisk nettsted om vitenskapen om mønsterdannelse, spiraler i naturen og spiraler i den mytiske fantasien.
- Online utforskning med JSXGraph (JavaScript)
- YouTube-foredrag om Zenos museproblem og logaritmiske spiraler