Mahler tiltak - Mahler measure

I matematikk er Mahler -målet på et polynom med komplekse koeffisienter definert som ${\ displaystyle M (p)}$ ${\ displaystyle p (z)}$

{\ displaystyle M (p) = | a | \ prod _ {| \ alpha _ {i} | \ geq 1} | \ alpha _ {i} | = | a | \ prod _ {i = 1}^{n } \ max \ {1, | \ alpha _ {i} | \},}

hvor faktoriserer over de komplekse tallene som ${\ displaystyle p (z)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

{\ displaystyle p (z) = a (z- \ alpha _ {1}) (z- \ alpha _ {2}) \ cdots (z- \ alpha _ {n}).}

Mahler -målingen kan sees på som en slags høydefunksjon . Ved å bruke Jensens formel kan det bevises at dette målet også er lik det geometriske gjennomsnittet for for på enhetssirkelen (dvs. ): ${\ displaystyle | p (z) |}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle | z | = 1}$

{\ displaystyle M (p) = \ exp \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0}^{2 \ pi} \ ln (| p (e^{i \ theta} ) |) \, d \ theta \ høyre).}

I utvidet betydning, Mahler mål på et algebraisk tall er definert som Mahler mål på minimal polynom av spissen . Spesielt hvis det er et Pisot -nummer eller et Salem -nummer , er Mahler -målingen ganske enkelt . ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha}$

Mahler-tiltaket er oppkalt etter den tyskfødte australske matematikeren Kurt Mahler .

Eiendommer

Den Mahler tiltaket er multiplikativ: ${\ displaystyle \ forall p, q, \, \, M (p \ cdot q) = M (p) \ cdot M (q).}$
${\ textstyle M (p) = \ lim _ {\ tau \ to 0} \ | p \ | _ {\ tau}}$ hvor er normen for . ${\ textstyle \, \ | p \ | _ {\ tau} = \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0}^{2 \ pi} | p (e^{i \ theta}) |^{\ tau} d \ theta \ right)^{1/\ tau}}$ ${\ displaystyle L _ {\ tau}}$ ${\ displaystyle p}$
Kroneckers teorem : Hvis er et ureduserbart monisk heltallpolynom med , så er enten eller et syklotomisk polynom . ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle M (p) = 1}$ ${\ displaystyle p (z) = z,}$ ${\ displaystyle p}$
( Lehmers formodning ) Det er en konstant slik at hvis er et ureduserbart heltallspolynom, så enten eller . ${\ displaystyle \ mu> 1}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle M (p) = 1}$ ${\ displaystyle M (p)> \ mu}$
Mahler -målet på et monisk heltallspolynom er et Perron -tall .

Høyere dimensjonale Mahler-mål

Mahler-målet på et flervariabelt polynom defineres på samme måte av formelen ${\ displaystyle M (p)}$ ${\ displaystyle p (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$

{\ displaystyle M (p) = \ exp \ left ({\ frac {1} {(2 \ pi)^{n}}} \ int _ {0}^{2 \ pi} \ int _ {0}^ {2 \ pi} \ cdots \ int _ {0}^{2 \ pi} \ log {\ Bigl (} {\ bigl |} p (e^{i \ theta _ {1}}, e^{i \ theta _ {2}}, \ ldots, e^{i \ theta _ {n}}) {\ bigr |} {\ Bigr)} \, d \ theta _ {1} \, d \ theta _ {2} \ cdots d \ theta _ {n} \ right).}

Den arver de tre ovennevnte egenskapene til Mahler-målingen for et en-variabelt polynom.

Det multivariable Mahler-målet har i noen tilfeller vist seg å være relatert til spesielle verdier av zeta-funksjoner og -funksjoner . For eksempel, i 1981, beviste Smyth formlene ${\ displaystyle L}$

{\ displaystyle m (1+x+y) = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {4 \ pi}} L (\ chi _ {-3}, 2)}

hvor er Dirichlet L-funksjon , og ${\ displaystyle L (\ chi _ {-3}, s)}$

{\ displaystyle m (1+x+y+z) = {\ frac {7} {2 \ pi ^{2}}} \ zeta (3),}

hvor er Riemann zeta -funksjonen . Her kalles det logaritmiske Mahler -målet . ${\ displaystyle \ zeta}$ ${\ displaystyle m (P) = \ log M (P)}$

Noen resultater av Lawton og Boyd

Fra definisjonen blir Mahler -målet sett på som de integrerte verdiene til polynomer over torus (se også Lehmers formodning ). Hvis forsvinner på torus , er konvergensen av den integrerte definisjonen ikke åpenbar, men det er kjent at det konvergerer og er lik en grense på en-variabel Mahler-tiltak, som hadde blitt antatt av Boyd . ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle (S^{1})^{n}}$ ${\ displaystyle M (p)}$ ${\ displaystyle M (p)}$

Dette er formulert som følger: La oss angi heltallene og definere . If er et polynom i variabler og definer polynomet til en variabel med ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {+} ^{N} = \ {r = (r_ {1}, \ dots, r_ {N}) \ in \ mathbb {Z} ^{N}: r_ {j } \ geq 0 \ {\ text {for}} \ 1 \ leq j \ leq N \}}$ ${\ displaystyle Q (z_ {1}, \ dots, z_ {N})}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle r = (r_ {1}, \ dots, r_ {N}) \ in \ mathbb {Z} _ {+}^{N}}$ ${\ displaystyle Q_ {r} (z)}$

{\ displaystyle Q_ {r} (z): = Q (z^{r_ {1}}, \ dots, z^{r_ {N}})}

og definere ved ${\ displaystyle q (r)}$

{\ displaystyle q (r): = \ min \ left \ {H (s): s = (s_ {1}, \ dots, s_ {N}) \ in \ mathbb {Z} ^{N}, s \ neq (0, \ dots, 0) ~ {\ text {og}} ~ \ sum _ {j = 1}^{N} s_ {j} r_ {j} = 0 \ right \}}

hvor . ${\ displaystyle H (s) = {\ text {max}} \ {| s_ {j} |: 1 \ leq j \ leq N \}}$

Teorem (Lawton) : La være et polynom i N -variabler med komplekse koeffisienter. Da er følgende grense gyldig (selv om tilstanden som er avslappet): ${\ displaystyle Q (z_ {1}, \ dots, z_ {N})}$ ${\ displaystyle r_ {i} \ geq 0}$

{\ displaystyle \ lim _ {q (r) \ to \ infty} M (Q_ {r}) = M (Q)}

Boyds forslag

Boyd ga mer generelle utsagn enn ovennevnte teorem. Han påpekte at den klassiske Kroneckers teorem , som kjennetegner moniske polynomer med heltallskoeffisienter som alle har røtter inne i enhetsdisken, kan betraktes som karakteriserende de polynomene til en variabel hvis mål er nøyaktig 1, og at dette resultatet strekker seg til polynom i flere variabler.

Definer et utvidet syklotomisk polynom til å være et polynom av formen

{\ displaystyle \ Psi (z) = z_ {1}^{b_ {1}} \ dots z_ {n}^{b_ {n}} \ Phi _ {m} (z_ {1}^{v_ {1} } \ dots z_ {n}^{v_ {n}}),}

hvor er den m -te cyclotomic polynom , den er hele tall, og de er valgt slik at minimalt er et polynom i den . La oss være settet med polynomer som er produkter av monomier og utvidede syklotomiske polynomer. ${\ displaystyle \ Phi _ {m} (z)}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ ${\ displaystyle b_ {i} = \ max (0, -v_ {i} \ deg \ Phi _ {m})}$ ${\ displaystyle \ Psi (z)}$ ${\ displaystyle z_ {i}}$ ${\ displaystyle K_ {n}}$ ${\ displaystyle \ pm z_ {1}^{c_ {1}} \ dots z_ {n}^{c_ {n}}}$

Teorem (Boyd) : La oss være et polynom med heltallskoeffisienter. Så hvis og bare hvis er et element av . ${\ displaystyle F (z_ {1}, \ dots, z_ {n}) \ in \ mathbb {Z} [z_ {1}, \ ldots, z_ {n}]}$ ${\ displaystyle M (F) = 1}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle K_ {n}}$

Dette fikk Boyd til å vurdere verdisettet

{\ displaystyle L_ {n}: = {\ bigl \ {} m (P (z_ {1}, \ dots, z_ {n})): P \ in \ mathbb {Z} [z_ {1}, \ dots , z_ {n}] {\ bigr \}},}

og fagforeningen . Han kom med den vidtrekkende formodningen som settet er en lukket delmengde av . En umiddelbar konsekvens av denne formodningen ville være sannheten om Lehmers formodning, om enn uten en eksplisitt nedre grense. Som Smyths resultat antyder det , antar Boyd det videre ${\ textstyle {L} _ {\ infty} = \ bigcup _ {n = 1}^{\ infty} L_ {n}}$ ${\ displaystyle {L} _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle L_ {1} \ subsetneqq L_ {2}}$

{\ displaystyle L_ {1} \ subsetneqq L_ {2} \ subsetneqq L_ {3} \ subsetneqq \ \ cdots.}

Se også

Merknader

Referanser

Borwein, Peter (2002). Beregningsutflukter i analyse og tallteori . CMS bøker i matematikk. 10 . Springer . s. 3, 15. ISBN 978-0-387-95444-8. Zbl 1020.12001 .

Boyd, David (1981a). "Spekulasjoner angående omfanget av Mahlers mål" . Canadian Mathematical Bulletin . 24 (4): 453–469. doi : 10.4153/cmb-1981-069-5 .

Boyd, David (1981b). "Kroneckers teorem og Lehmers problem for polynomer i flere variabler" . Journal of Number Theory . 13 : 116–121. doi : 10.1016/0022-314x (81) 90033-0 .

Boyd, David (2002a). "Mahlers mål og invarianter av hyperboliske manifolder". I Bennett, MA (red.). Tallteori for årtusenet . AK Peters. s. 127–143.

Boyd, David (2002b). "Mahlers mål, hyperboliske manifolder og dilogaritmen". Canadian Mathematical Society Notes . 34 (2): 3–4, 26–28.

Boyd, David ; Rodriguez Villegas, F. (2002). "Mahlers mål og dilogaritmen, del 1" . Canadian Journal of Mathematics . 54 (3): 468–492. doi : 10.4153/cjm-2002-016-9 . S2CID 10069657 .

"Mahler -mål" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994].
Jensen, JL (1899). "Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions" . Acta Mathematica . 22 : 359–364. doi : 10.1007/BF02417878 . JFM 30.0364.02 .

Knuth, Donald E. (1997). "4.6.2 Faktorisering av polynomer". Seminumeriske algoritmer . The Computer of Computer Programming . 2 (3. utg.). Addison-Wesley. s. 439–461, 678–691. ISBN 978-0-201-89684-8.

Lawton, Wayne M. (1983). "Et problem for Boyd angående geometriske polynommetoder" . Journal of Number Theory . 16 (3): 356–362. doi : 10.1016/0022-314X (83) 90063-X . Zbl 0516.12018 .

Mossinghoff, MJ (1998). "Polynomer med lite Mahler -mål" . Matematikk i beregning . 67 (224): 1697–1706. doi : 10.1090/S0025-5718-98-01006-0 . Zbl 0918.11056 .

Schinzel, Andrzej (2000). Polynomer med spesiell hensyn til reduserbarhet . Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 77 . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-66225-3. Zbl 0956.12001 .

Smyth, Chris (2008). "Mahler -mål på algebraiske tall: en undersøkelse". I McKee, James; Smyth, Chris (red.). Tallteori og polynom . London Mathematical Society Lecture Note Series. 352 . Cambridge University Press . s. 322–349. ISBN 978-0-521-71467-9. Zbl 1334.11081 .

Languages

In other projects