Oscillasjon (matematikk) - Oscillation (mathematics)

Oscillasjon av en sekvens (vist i blått) er forskjellen mellom grensen overordnet og grensen underordnet for sekvensen.

I matematikk er svingningen av en funksjon eller en sekvens et tall som kvantifiserer hvor mye den sekvensen eller funksjonen varierer mellom dens ekstreme verdier når den nærmer seg uendelig eller et punkt. Som det er tilfelle med grenser , er det flere definisjoner som setter det intuitive konseptet i en form som er egnet for en matematisk behandling: oscillasjon av en sekvens av reelle tall , oscillasjon av en virkelig verdifull funksjon på et punkt og oscillasjon av en funksjon på et intervall (eller åpent sett ).

Definisjoner

Oscillasjon av en sekvens

La oss være en sekvens av reelle tall. Svingningen av den sekvensen er definert som forskjellen (muligens uendelig) mellom grensen overordnet og grensen underordnet av : ${\ displaystyle (a_ {n})}$${\ displaystyle \ omega (a_ {n})}$${\ displaystyle (a_ {n})}$

${\ displaystyle \ omega (a_ {n}) = \ limsup _ {n \ to \ infty} a_ {n}-\ liminf _ {n \ to \ infty} a_ {n}}$.

Svingningen er null hvis og bare hvis sekvensen konvergerer. Den er udefinert om og er begge lik +∞ eller begge lik −∞, det vil si hvis sekvensen har en tendens til +∞ eller −∞. ${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty}}$${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty}}$

Oscillasjon av en funksjon på et åpent sett

La oss være en virkelig verdi funksjon av en ekte variabel. Svingningen av på et intervall i sitt domene er forskjellen mellom overordnet og infimum av : ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ omega _ {f} (I) = \ sup _ {x \ i I} f (x)-\ inf _ {x \ i I} f (x).}$

Mer generelt, om er en funksjon på en topologisk rom (slik som en metrisk rom ), deretter oscillasjonen på en åpen mengde er ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ omega _ {f} (U) = \ sup _ {x \ i U} f (x)-\ inf _ {x \ i U} f (x).}$

Oscillasjon av en funksjon på et tidspunkt

Svingningen av en funksjon av en reell variabel på et punkt er definert som grensen for oscillasjonen av i et nabolag av : ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ epsilon \ to 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle \ omega _ {f} (x_ {0}) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ omega _ {f} (x_ {0}-\ epsilon, x_ {0}+\ epsilon). }$

Dette er det samme som forskjellen mellom grensen overordnet og grensen underordnet for funksjonen ved , forutsatt at punktet ikke er ekskludert fra grensene. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Mer generelt, hvis er en virkelig verdi funksjon på et metrisk rom , så er svingningen ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ omega _ {f} (x_ {0}) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ omega _ {f} (B _ {\ epsilon} (x_ {0})).}$

Eksempler

sin (1/ x ) ( topologens sinuskurve ) har svingning 2 ved x = 0, og 0 andre steder.

• 1/ x har oscillasjon ∞ ved x = 0, og oscillation 0 ved andre endelige x og ved −∞ og +∞.
• sin (1/ x ) ( topologens sinuskurve ) har svingning 2 ved x = 0, og 0 andre steder.
• sin x har oscillasjon 0 ved hver begrensede x , og 2 ved −∞ og +∞.
• Sekvensen 1, −1, 1, −1, 1, −1, ... har svingning 2.

I det siste eksemplet er sekvensen periodisk , og enhver sekvens som er periodisk uten å være konstant vil ha svingning uten null. Imidlertid indikerer ikke oscillasjon uten null vanligvis periodisitet.

Geometrisk følger grafen for en oscillerende funksjon på de reelle tallene en eller annen vei i xy -flyet, uten å slå seg ned i stadig mindre områder. I veloppdragen tilfeller kan banen se ut som en sløyfe som kommer tilbake på seg selv, det vil si periodisk oppførsel; i verste fall ganske uregelmessig bevegelse som dekker en hel region.

Kontinuitet

Oscillasjon kan brukes til å definere kontinuitet i en funksjon , og er lett ekvivalent med den vanlige ε - δ definisjonen (i tilfelle funksjoner definert overalt på den virkelige linjen): en funksjon ƒ er kontinuerlig på et punkt x ₀ hvis og bare hvis oscillasjonen er null; i symboler, En fordel med denne definisjonen er at den kvantifiserer diskontinuitet: oscillasjonen gir hvor mye funksjonen er diskontinuerlig på et punkt. ${\ displaystyle \ omega _ {f} (x_ {0}) = 0.}$

For eksempel i klassifiseringen av diskontinuiteter :

• i en flyttbar diskontinuitet er avstanden som verdien av funksjonen er av med oscillasjonen;
• i en hoppdiskontinuitet er størrelsen på hoppet oscillasjonen (forutsatt at verdien på punktet ligger mellom disse grensene fra de to sidene);
• i en vesentlig diskontinuitet måler oscillasjon mangelen på å eksistere.

Denne definisjonen er nyttig i beskrivende settteori for å studere settet med diskontinuiteter og kontinuerlige punkter - de kontinuerlige punktene er skjæringspunktet mellom settene der oscillasjonen er mindre enn ε (derav et G _δ -sett ) - og gir et veldig raskt bevis på en retning av Lebesgue -integrerbarhetstilstanden .

Svingningen tilsvarer ε - δ definisjonen ved et enkelt omarrangement, og ved å bruke en grense ( lim sup , lim inf ) for å definere oscillasjon: hvis (på et gitt punkt) for et gitt ε _{0 er} det ingen δ som tilfredsstiller ε - δ definisjonen, så er oscillasjonen minst ε ₀ , og omvendt hvis for hver ε det er en ønsket δ, er oscillasjonen 0. Oscillasjonsdefinisjonen kan naturlig generaliseres til kart fra et topologisk rom til et metrisk rom .

Generaliseringer

Mer generelt, hvis f  : X → Y er en funksjon fra et topologisk rom X til et metrisk rom Y , så er oscillasjonen av f definert ved hvert x ∈ X med

${\ displaystyle \ omega (x) = \ inf \ left \ {\ mathrm {diam} (f (U)) \ mid U \ mathrm {\ is \ a \ nabolag \ av \} x \ høyre \}}$

Se også

• Wave ligning
• Bølgekonvolutt
• Grandis serie
• Avgrenset betyr svingning

Referanser