Median absolutt avvik - Median absolute deviation

I statistikk er median absolutt avvik ( MAD ) et robust mål på variabiliteten til et univariat utvalg av kvantitative data . Det kan også referere til populasjonen parameter som er beregnet ved den MAD beregnet fra en prøve.

For et univariat datasett X ₁ ,  X ₂ , ...,  X _n , er MAD definert som medianen for de absolutte avvikene fra datas median : ${\ displaystyle {\ tilde {X}} = \ operatorname {median} (X)}$

${\ displaystyle \ operatorname {MAD} = \ operatorname {median} (| X_ {i} - {\ tilde {X}} |)}$

det vil si at startende med restene (avvik) fra datas median, er MAD medianen til deres absolutte verdier .

Eksempel

Tenk på dataene (1, 1, 2, 2 , 4, 6, 9). Den har en medianverdi på 2. De absolutte avvikene rundt 2 er (1, 1, 0, 0, 2, 4, 7) som igjen har en medianverdi på 1 (fordi de sorterte absolutte avvikene er (0, 0, 1, 1 , 2, 4, 7)). Så median absolutt avvik for disse dataene er 1.

Bruker

Median absolutt avvik er et mål på statistisk spredning . Videre er MAD en robust statistikk som er mer motstandsdyktig mot avvikere i et datasett enn standardavviket . I standardavviket er avstandene fra gjennomsnittet kvadrat, så store avvik vektes tyngre, og dermed kan avvikere sterkt påvirke det. I MAD er avvikene til et lite antall outliers irrelevante.

Fordi MAD er en mer robust skalaestimator enn prøvevariansen eller standardavviket , fungerer den bedre med distribusjoner uten gjennomsnitt eller varians, for eksempel Cauchy-fordelingen .

Forhold til standardavvik

MAD kan brukes på samme måte som hvordan man bruker avviket for gjennomsnittet. For å bruke MAD som en konsekvent estimator for estimering av standardavvik , tar man ${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle {\ hat {\ sigma}} = k \ cdot \ operatorname {MAD},}$

hvor er en konstant skaleringsfaktor , som avhenger av fordelingen. ${\ displaystyle k}$

For normalt distribuerte data blir tatt for å være ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle k = 1 / \ left (\ Phi ^ {- 1} (3/4) \ right) \ ca 1.4826,}$

dvs. gjensidigheten av kvantilfunksjonen (også kjent som den inverse av den kumulative fordelingsfunksjonen ) for standard normalfordeling . Argumentet 3/4 er slik at dekker 50% (mellom 1/4 og 3/4) av standard normal kumulativ fordelingsfunksjon , dvs. ${\ displaystyle \ Phi ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle Z = (X- \ mu) / \ sigma}$${\ displaystyle \ pm \ operatorname {MAD}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} = P (| X- \ mu | \ leq \ operatorname {MAD}) = P \ left (\ left | {\ frac {X- \ mu} {\ sigma }} \ right | \ leq {\ frac {\ operatorname {MAD}} {\ sigma}} \ right) = P \ left (| Z | \ leq {\ frac {\ operatorname {MAD}} {\ sigma}} \Ikke sant).}$

Derfor må vi ha det

${\ displaystyle \ Phi \ left (\ operatorname {MAD} / \ sigma \ right) - \ Phi \ left (- \ operatorname {MAD} / \ sigma \ right) = 1/2.}$

Legg merke til det

${\ displaystyle \ Phi \ left (- \ operatorname {MAD} / \ sigma \ right) = 1- \ Phi \ left (\ operatorname {MAD} / \ sigma \ right),}$

vi har det , hvorfra vi oppnår skaleringsfaktoren . ${\ displaystyle \ operatorname {MAD} / \ sigma = \ Phi ^ {- 1} (3/4) = 0.67449}$${\ displaystyle k = 1 / \ Phi ^ {- 1} (3/4) = 1.4826}$

En annen måte å etablere forholdet på, er å merke seg at MAD er lik medianen for normalfordelingsfordeling :

${\ displaystyle \ operatorname {MAD} = \ sigma {\ sqrt {2}} \ operatorname {erf} ^ {- 1} (1/2) \ approx 0.67449 \ sigma.}$

Dette skjemaet brukes i for eksempel den sannsynlige feilen .

Geometrisk median absolutt avvik

På samme måte som hvordan medianen generaliserer til den geometriske medianen i multivariate data, kan en geometrisk MAD konstrueres som generaliserer MAD. Gitt et todimensjonalt paret datasett (X ₁ , Y ₁ ), (X ₂ , Y ₂ ), ..., (X _n , Y _n ) og en passende beregnet geometrisk median , er den geometriske medianenes absolutte avvik gitt av :${\ displaystyle ({\ tilde {X}}, {\ tilde {Y}})}$

${\ displaystyle \ operatorname {MAD} = {\ Bigl (} \ operatorname {median} (| X_ {i} - {\ tilde {X}} |) ^ {2} + \ operatorname {median} (| Y_ {i } - {\ tilde {Y}} |) ^ {2} {\ Bigr)} ^ {1/2}}$

Dette gir det samme resultatet som den univariate MAD i 1 dimensjon og strekker seg lett til høyere dimensjoner. Når det gjelder komplekse verdier ( X + i Y ), er forholdet mellom MAD og standardavviket uendret for normalt distribuerte data.

Befolkningen MAD

Populasjonen MAD er definert analogt med prøven MAD, men er basert på fullstendig fordeling i stedet for på et utvalg. For en symmetrisk fordeling med null gjennomsnitt er populasjonen MAD den 75. persentilen av fordelingen.

I motsetning til variansen , som kan være uendelig eller udefinert, er populasjonen MAD alltid et endelig antall. For eksempel har standard Cauchy-distribusjon udefinert varians, men MAD er 1.

Den tidligste kjente omtale av MAD-begrepet skjedde i 1816, i et papir av Carl Friedrich Gauss om bestemmelsen av nøyaktigheten av numeriske observasjoner.

Se også

• Avvik (statistikk)
• Interkvartil rekkevidde
• Sannsynlig feil
• Robuste målestokk
• Relativ gjennomsnittlig absolutt forskjell
• Gjennomsnittlig absolutt avvik
• Minst absolutte avvik

Merknader

Referanser

• Hoaglin, David C .; Frederick Mosteller; John W. Tukey (1983). Forståelse av robust og utforskende dataanalyse . John Wiley & Sons. s 404–414. ISBN 978-0-471-09777-8.
• Russell, Roberta S .; Bernard W. Taylor III (2006). Operasjonsledelse . John Wiley & Sons. s  497–498 . ISBN 978-0-471-69209-6.
• Venables, WN; BD Ripley (1999). Moderne anvendt statistikk med S-PLUS . Springer. s. 128. ISBN 978-0-387-98825-2.