Neumann grensetilstand - Neumann boundary condition

I matematikk er Neumann (eller andre type ) grensetilstand en type grensetilstand , oppkalt etter Carl Neumann . Når betingelsen pålegges en vanlig eller delvis differensialligning , spesifiserer betingelsen verdiene til derivatet som brukes på grensen til domenet .

Det er mulig å beskrive problemet ved å bruke andre grensebetingelser: en Dirichlet -grense -betingelse spesifiserer verdiene for selve løsningen (i motsetning til dens derivat) på grensen, mens Cauchy -grensetilstanden , blandet grensetilstand og Robin -grensetilstand er alle forskjellige typer kombinasjoner av grensebetingelsene Neumann og Dirichlet.

Eksempler

ODE

For en vanlig differensialligning, for eksempel,

${\ displaystyle y ''+y = 0,}$

Neumann -grensebetingelsene på intervallet [ a , b ] tar form

${\ displaystyle y '(a) = \ alpha, \ quad y' (b) = \ beta,}$

hvor α og β er gitt tall.

PDE

For en delvis differensialligning, for eksempel,

${\ displaystyle \ nabla ^{2} y+y = 0,}$

der ∇ ² betegner Laplace -operatøren , tar Neumann -grensebetingelsene for et domene Ω ⊂ R ⁿ form

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell y} {\ delvis \ mathbf {n}}} (\ mathbf {x}) = f (\ mathbf {x}) \ quad \ forall \ mathbf {x} \ in \ partiell \ Omega,}$

hvor n betegner det (vanligvis ytre) normale til grensen ∂Ω , og f er en gitt skalarfunksjon .

Det normale derivatet , som dukker opp på venstre side, er definert som

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell y} {\ delvis \ mathbf {n}}} (\ mathbf {x}) = \ nabla y (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {x}),}$

hvor ∇ y ( x ) representerer gradientvektoren til y ( x ) , n̂ er enheten normal, og ⋅ representerer den indre produktoperatøren .

Det blir klart at grensen må være tilstrekkelig jevn slik at det normale derivatet kan eksistere, siden for eksempel ved hjørnepunkter på grensen den normale vektoren ikke er godt definert.

applikasjoner

Følgende applikasjoner innebærer bruk av Neumann grensebetingelser:

• I termodynamikk vil en foreskrevet varmefluks fra en overflate tjene som grensetilstand. For eksempel vil en perfekt isolator ikke ha noen fluks mens en elektrisk komponent kan forsvinne ved en kjent effekt.
• I magnetostatikk kan magnetfeltintensiteten foreskrives som en grensetilstand for å finne den magnetiske fluxdensitetsfordelingen i et magnetarray i rommet, for eksempel i en permanentmagnetmotor. Siden problemene innen magnetostatikk innebærer å løse Laplaces ligning eller Poissons ligning for det magnetiske skalarpotensialet , er grensetilstanden en Neumann -tilstand.

Se også

• Grenseforhold i væskedynamikk

Referanser