Domene (matematisk analyse) - Domain (mathematical analysis)

I matematisk analyse , en domene eller område er en ikke-tom tilkoblet åpen mengde i en topologisk rom , spesielt et hvilket som helst ikke-tom koblet åpen delmengde av den virkelige koordinatrommet R n eller den komplekse koordinatrommet C n . Dette er et annet begrep enn domenet til en funksjon , selv om det ofte brukes til det formålet, for eksempel i delvise differensialligninger og Sobolev -mellomrom .

Grunnideen om en tilkoblet delmengde av et rom stammer fra 1800 -tallet, men presise definisjoner varierer litt fra generasjon til generasjon, forfatter til forfatter og utgave til utgave, ettersom begreper utviklet og begreper ble oversatt mellom tyske, franske og engelske verk . På engelsk bruker noen forfattere begrepet domene , noen bruker begrepet region , noen bruker begge begrepene om hverandre, og noen definerer de to begrepene litt ulikt; noen unngår tvetydighet ved å holde seg til et uttrykk som ikke-tomt tilkoblet åpent delsett . En vanlig konvensjon er å definere et domene som et tilkoblet åpent sett, men en region som foreningen av et domene med ingen, noen eller alle grensepunkter . En lukket region eller lukket domene er foreningen av et domene og alle dets grensepunkter.

Forskjellige grader av glatthet av domenets grense er påkrevd for at forskjellige egenskaper for funksjoner som er definert på domenet skal inneholde, for eksempel integralsetninger ( Greens teorem , Stokes -teorem ), egenskaper til Sobolev -rom og for å definere tiltak på grensen og mellomrom av spor (generaliserte funksjoner definert på grensen). Vanlige typer domener er domener med kontinuerlig grense, Lipschitz -grense , C 1 -grense og så videre.

Et begrenset domene er et domene som er et begrenset sett , mens et eksternt eller eksternt domene er det indre av komplementet til et begrenset domene.

I kompleks analyse , et kompleks domene (eller ganske enkelt domene ) er hvilken som helst tilkoblet åpen undergruppe av komplekse plan C . For eksempel er hele det komplekse planet et domene, det samme er den åpne enhetsdisken , det åpne øvre halvplanet og så videre. Ofte fungerer et komplekst domene som definisjonsdomene for en holomorf funksjon . I studiet av flere komplekse variabler utvides definisjonen av et domene til å omfatte alle tilkoblede åpne delmengder av C n .

Historiske notater

Definisjon . Eine offene Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man sie nicht as Summe of zwei offenen Punktmengen darstellen kann. Eine offene zusammenhängende Punktmenge heißt ein Gebiet.

-  Constantin Carathéodory , ( Carathéodory 1918 , s. 222)

I følge Hans Hahn ble begrepet et domene som et åpent tilkoblet sett introdusert av Constantin Carathéodory i hans berømte bok ( Carathéodory 1918 ). Hahn bemerker også at ordet " Gebiet " (" domene ") tidvis tidligere ble brukt som et synonym for åpent sett . Det grove konseptet er eldre. På 1800- og begynnelsen av 1900 -tallet ble begrepene domene og region ofte brukt uformelt (noen ganger om hverandre) uten eksplisitt definisjon.

Imidlertid ble begrepet "domene" tidvis brukt for å identifisere nært beslektede, men litt forskjellige begreper. For eksempel, i sine innflytelsesrike monografier om elliptiske partielle differensialligninger , bruker Carlo Miranda begrepet "region" for å identifisere et åpent tilkoblet sett, og forbeholder begrepet "domene" for å identifisere et internt forbundet, perfekt sett , hvor hvert punkt er et akkumuleringspunkt for interiørpunkter, etter hans tidligere mester Mauro Picone : i henhold til denne konvensjonen, hvis et sett A er en region, er nedleggelsen A et domene.

Se også

Merknader

Referanser