Pareto interpolasjon - Pareto interpolation

Pareto interpolering er en fremgangsmåte for å estimere de median og andre egenskaper av en populasjon som følger et Pareto fordeling . Det brukes i økonomi når man analyserer fordelingen av inntekter i en befolkning, når man må basere estimater på en relativt liten tilfeldig prøve hentet fra befolkningen.

Pareto-distribusjonsfamilien blir parameterisert av

• et positivt tall κ som er den minste verdien som en tilfeldig variabel med en Pareto-fordeling kan ta. Som brukt på inntektsfordeling, er κ den laveste inntekten til noen personer i befolkningen; og
• et positivt tall θ "Pareto-indeksen"; når dette øker, blir fordelingen av halen tynnere. Når det gjelder fordeling av inntekter, betyr dette at jo større verdien av Pareto-indeksen er, jo mindre er andelen av inntektene mange ganger så store som de minste inntektene.

Pareto-interpolering kan brukes når tilgjengelig informasjon inkluderer andelen av prøven som faller under hvert av to spesifiserte tall a < b . For eksempel kan det observeres at 45% av individer i utvalget har inntekter under a = $ 35 000 per år, og 55% har inntekter under b = $ 40 000 per år.

La

P _a = andel av prøven som ligger under a ;

P _b = andel av prøven som ligger under b .

Da er estimatene for κ og θ

${\ displaystyle {\ widehat {\ kappa}} = \ venstre ({\ frac {P_ {b} -P_ {a}} {\ venstre (1 / a ^ {\ widehat {\ theta}} \ høyre) - \ venstre (1 / b ^ {\ widehat {\ theta}} \ høyre)}} \ høyre) ^ {1 / {\ widehat {\ theta}}}}$

og

${\ displaystyle {\ widehat {\ theta}} \; = \; {\ frac {\ log (1-P_ {a}) - \ log (1-P_ {b})} {\ log (b) - \ log (a)}}}.$

Estimatet av median vil da være

${\ displaystyle {\ mbox {estimert median}} = {\ widehat {\ kappa}} \ cdot 2 ^ {1 / {\ widehat {\ theta}}}, \,}$

siden den faktiske medianpopulasjonen er

${\ displaystyle {\ mbox {median}} = \ kappa \, 2 ^ {1 / \ theta}. \,}$

referanser

• US Census Bureau, Memorandum om statistiske teknikker brukt i 2001-inntektsundersøkelsen (PDF) . Se ligning 10 på s. 24.
• Stults, Brian J, Deriving median husholdningsinntekt . Gir en avledning av ligningene for Pareto-interpolasjon.