Femkantet tall - Pentagonal number

En visuell fremstilling av de seks første femkantede tallene

Et femkantet tall er et figurert tall som utvider begrepet trekantede og firkantede tall til femkanten , men i motsetning til de to første er ikke mønstrene involvert i konstruksjonen av femkantede tall rotasjonssymmetriske . Det n. Femkantede tallet p _n er antall forskjellige prikker i et mønster av prikker som består av konturene til vanlige femkanter med sider opp til n prikker, når femkanter er overlagt slik at de deler ett toppunkt . For eksempel er den tredje laget av konturer som omfatter 1, 5 og 10 prikker, men 1 og 3 av 5 sammenfaller med 3 av 10 - etterlater 12 forskjellige prikker, 10 i form av en femkant og 2 innsiden.

p _n er gitt av formelen:

${\ displaystyle p_ {n} = {\ frac {3n^{2} -n} {2}}}$

for n ≥ 1. De første fem femkantede tallene er:

1 , 5 , 12 , 22 , 35 , 51 , 70 , 92 , 117 , 145 , 176 , 210 , 247 , 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925 , 1001 , 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187 ... (sekvens A000326 i OEIS ).

Det nte femkantede tallet er summen av n heltall som starter fra n (dvs. fra n til 2n-1). Følgende forhold holder også:

${\ displaystyle p_ {n} = p_ {n-1}+3n-2 = 2p_ {n-1} -p_ {n-2} +3}$

Femkantede tall er nært beslektet med trekantede tall. Det n. Femkantede tallet er en tredjedel av (3 n - 1) th. Trekantet tall . I tillegg, hvor T _n er det n ^th trekantede tallet.

${\ displaystyle p_ {n} = T_ {n-1}+n^{2} = T_ {n}+2T_ {n-1} = T_ {2n-1} -T_ {n-1}}$

Generaliserte femkantede tall er hentet fra formelen gitt ovenfor, men med n som tar verdier i sekvensen 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4 ..., og produserer sekvensen:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335 ... (sekvens A001318 i OEIS ).

Generaliserte femkantede tall er viktige for Eulers teori om partisjoner , slik det kommer til uttrykk i hans femkantede tallsett .

Antall prikker inne i den ytterste femkanten av et mønster som danner et femkantet tall er i seg selv et generalisert femkantet tall.

Generaliserte femkantede tall og sentrert sekskantede tall

Generaliserte femkantede tall er nært beslektet med sentrerte sekskantede tall . Når matrisen som tilsvarer et sentrert sekskantet tall er delt mellom den midterste raden og den tilstøtende raden, vises den som summen av to generaliserte femkantede tall, med det større stykket som et riktig femkantet tall:

1 = 1+0		7 = 5+2		19 = 12+7		37 = 22+15

Generelt:

${\ displaystyle 3n (n-1) +1 = {\ tfrac {1} {2}} n (3n-1)+{\ tfrac {1} {2}} (1-n) {\ bigl (} 3 (1-n) -1 {\ bigr)}}$

der begge begrepene til høyre er generaliserte femkantede tall og det første uttrykket er et riktig femkantet tall ( n ≥ 1). Denne inndelingen av sentrerte sekskantede matriser gir generaliserte femkantede tall som trapesformede matriser, som kan tolkes som Ferrers -diagrammer for partisjonen. På denne måten kan de brukes til å bevise det femkantede tallsetningen som refereres ovenfor.

Bevis uten ord om at et femkantet tall kan dekomponeres i tre trekantede tall og et naturlig tall

Tester for femkantede tall

Gitt et positivt heltall x , for å teste om det er et (ikke-generalisert) femkantet tall vi kan beregne

${\ displaystyle n = {\ frac {{\ sqrt {24x+1}}+1} {6}}.}$

Tallet x er femkantet hvis og bare hvis n er et naturlig tall . I så fall er x det n. Femkantede tallet.

Den perfekte kvadratprøven

For generaliserte femkantede tall er det tilstrekkelig å bare sjekke om 24 x + 1 er en perfekt firkant.

For ikke-generaliserte femkantede tall, i tillegg til den perfekte kvadrattesten, er det også nødvendig å kontrollere om

${\ displaystyle {\ sqrt {24x+1}} \ equiv 5 \ mod 6}$

De matematiske egenskapene til femkantede tall sikrer at disse testene er tilstrekkelige for å bevise eller motbevise pentagonaliteten til et tall.

Gnomon

Den Gnomon av N'te Petagonal Nummeret er:

${\ displaystyle p_ {n+1} -p_ {n} = 3n+1}$

Kvadratiske femkantede tall

Et firkantet femkantet tall er et femkantet tall som også er et perfekt kvadrat.

De første er:

0, 1, 9801, 94,109,401, 903 638 458 801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801 ... ( OEIS entry A036353 )

Se også

• Sekskantet tall
• Trekantet tall

Referanser

Videre lesning

• Leonhard Euler: Om de bemerkelsesverdige egenskapene til de femkantede tallene