Prandtl – Meyer ekspansjonsvifte - Prandtl–Meyer expansion fan

Når en supersonisk strøm møter et konveks hjørne, danner den en ekspansjonsvifte, som består av et uendelig antall ekspansjonsbølger sentrert i hjørnet. Figuren viser en slik ideell ekspansjonsvifte.

En supersonisk ekspansjonsvifte, teknisk kjent som Prandtl – Meyer ekspansjonsvifte , en todimensjonal enkel bølge , er en sentrert ekspansjonsprosess som oppstår når en supersonisk strøm dreier rundt et konveks hjørne. Viften består av et uendelig antall Mach-bølger , som avviker fra et skarpt hjørne. Når en strømning snur seg rundt et glatt og sirkulært hjørne, kan disse bølgene utvides bakover for å møtes på et punkt.

Hver bølge i ekspansjonsviften snur strømmen gradvis (i små trinn). Det er fysisk umulig for strømmen å snu seg gjennom en enkelt "sjokk" -bølge fordi dette ville bryte med den andre loven om termodynamikk .

Over ekspansjonsviften akselererer strømmen (hastigheten øker) og Mach-tallet øker, mens det statiske trykket , temperaturen og tettheten reduseres. Siden prosessen er isentrop , forblir stagnasjonsegenskapene (f.eks. Totalt trykk og total temperatur) konstant over viften.

Teorien ble beskrevet av Theodor Meyer på avhandlingen i 1908 sammen med sin rådgiver Ludwig Prandtl , som allerede hadde diskutert problemet et år før.

Flyteegenskaper

Ekspansjonsviften består av et uendelig antall ekspansjonsbølger eller Mach-linjer . Den første Mach-linjen er i en vinkel i forhold til strømningsretningen, og den siste Mach-linjen er i en vinkel i forhold til den endelige strømningsretningen. Siden strømmen svinger i små vinkler og endringene over hver ekspansjonsbølge er små, er hele prosessen isentropisk. Dette forenkler beregningene av strømningsegenskapene betydelig. Siden strømmen er isentrop, forblir stagnasjonsegenskapene som stagnasjonstrykk ( ), stagnasjonstemperatur ( ) og stagnasjonstetthet ( ) konstant. De endelige statiske egenskapene er en funksjon av det endelige Mach-tallet ( ) og kan relateres til de innledende strømningsforholdene som følger, hvor er gassens varmekapasitetsforhold (1,4 for luft): ${\ displaystyle \ mu _ {1} = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {M_ {1}}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ mu _ {2} = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {M_ {2}}} \ right)}$ ${\ displaystyle p_ {0}}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {0}}$ ${\ displaystyle M_ {2}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {T_ {2}} {T_ {1}}} & = \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2}} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {2} ^ {2}}} \ høyre) \\ [3pt] {\ frac {p_ {2} } {p_ {1}}} & = \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2}} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {2} ^ {2}}} \ høyre) ^ {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} \\ [3pt] {\ frac {\ rho _ {2} } {\ rho _ {1}}} & = \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2}} {1 + {\ frac { \ gamma -1} {2}} M_ {2} ^ {2}}} \ høyre) ^ {\ frac {1} {\ gamma -1}}. \ slutt {justert}}}

Mach-tallet etter svingen ( ) er relatert til det opprinnelige Mach-tallet ( ) og svingvinkelen ( ) med, ${\ displaystyle M_ {2}}$ ${\ displaystyle M_ {1}}$ ${\ displaystyle \ theta}$

{\ displaystyle \ theta = \ nu (M_ {2}) - \ nu (M_ {1}) \,}

hvor er Prandtl – Meyer-funksjonen . Denne funksjonen bestemmer vinkelen som en lydstrøm ( M = 1) må snu for å nå et bestemt Mach-tall (M). Matematisk, ${\ displaystyle \ nu (M) \,}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nu (M) & = \ int {\ frac {\ sqrt {M ^ {2} -1}} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}} {\ frac {\, dM} {M}} \\ & = {\ sqrt {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} \ arctan {\ sqrt {{ \ frac {\ gamma -1} {\ gamma +1}} \ left (M ^ {2} -1 \ right)}} - \ arctan {\ sqrt {M ^ {2} -1}}. \\\ slutt {justert}}}

Etter konvensjon, ${\ displaystyle \ nu (1) = 0. \,}$

Dermed, gitt det opprinnelige Mach-tallet ( ), kan man beregne og bruke svingvinkelfunnet . Fra verdien av en kan få det endelige Mach-tallet ( ) og de andre flytegenskapene. ${\ displaystyle M_ {1}}$ ${\ displaystyle \ nu (M_ {1}) \,}$ ${\ displaystyle \ nu (M_ {2}) \,}$ ${\ displaystyle \ nu (M_ {2}) \,}$ ${\ displaystyle M_ {2}}$

Maksimal svingvinkel

Det er en grense for maksimal vinkel ( ) som en supersonisk strømning kan dreie seg gjennom.

{\ displaystyle \ theta _ {\ text {max}}}

Da Mach-tallet varierer fra 1 til , tar verdiene fra 0 til , hvor ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle \ nu \,}$ ${\ displaystyle \ nu _ {\ text {max}} \,}$

{\ displaystyle \ nu _ {\ text {max}} = {\ frac {\ pi} {2}} \ left ({\ sqrt {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} - 1 \Ikke sant).}

Dette setter en grense for hvor mye en supersonisk strømning kan slå gjennom, med den maksimale svingvinkelen gitt av,

{\ displaystyle \ theta _ {\ text {max}} = \ nu _ {\ text {max}} - \ nu (M_ {1}). \,}

Man kan også se på det som følger. En strøm må snu slik at den kan tilfredsstille grensebetingelsene. I en ideell strømning er det to typer grenseforhold som strømmen må tilfredsstille,

Hastighetsgrensetilstand, som tilsier at komponenten av strømningshastigheten normal til veggen er null. Det er også kjent som ikke-penetrasjon grense tilstand.
Trykkgrensetilstand, som sier at det ikke kan være en diskontinuitet i det statiske trykket inne i strømmen (siden det ikke er noen støt i strømmen).

Hvis strømmen snur nok til at den blir parallell med veggen, trenger vi ikke å bekymre oss for trykkgrensetilstand. Når strømmen snur, synker imidlertid det statiske trykket (som beskrevet tidligere). Hvis det ikke er nok trykk til å begynne med, vil ikke strømmen kunne fullføre svingen og vil ikke være parallell med veggen. Dette viser seg som den maksimale vinkelen som en strømning kan dreie seg gjennom. Jo lavere Mach-tallet er å begynne med (dvs. liten ), jo større er den maksimale vinkelen strømningen kan snu seg gjennom. ${\ displaystyle M_ {1}}$

Den strømlinje som skiller den endelige strømningsretningen og veggen er kjent som en slippstrøm (vist som stiplet linje på figuren). Over denne linjen er det et hopp i temperatur, tetthet og tangensiell komponent i hastigheten (normal komponent er null). Utover glidestrømmen er strømningen stillestående (som automatisk tilfredsstiller hastighetsgrensetilstanden på veggen). I tilfelle ekte flyt observeres et skjærelag i stedet for en glidestrøm på grunn av den ekstra glidende grensetilstanden .

Merknader

^ ^a ^b

En utvidelsesprosess gjennom et enkelt "sjokk" er umulig, fordi det vil bryte den andre loven om termodynamikk.

Umulighet av å utvide en strøm gjennom en enkelt "sjokk" -bølge: Tenk på scenariet vist i figuren ved siden av. Når en supersonisk strømning svinger, øker den normale komponenten av hastigheten ( ), mens den tangentielle komponenten forblir konstant ( ). Den tilsvarende endringen er at entropien ( ) kan uttrykkes som følger, ${\ displaystyle w_ {2}> w_ {1}}$ ${\ displaystyle v_ {2} = v_ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta s = s_ {2} -s_ {1}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ Delta s} {R}} & = \ ln \ left [\ left ({\ frac {p_ {2}} {p_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ gamma -1}} \ left ({\ frac {\ rho _ {2}} {\ rho _ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}}} \ right] \\ & \ approx {\ frac {\ gamma +1} {12 \ gamma ^ {2}}} \ left ({\ frac {p_ {2} -p_ {1 }} {p_ {1}}} \ høyre) ^ {3} \\ & \ approx {\ frac {\ gamma +1} {12 \ gamma ^ {2}}} \ venstre [{\ frac {\ rho _ {1} w_ {1} ^ {2}} {p_ {1}}} \ venstre (1 - {\ frac {w_ {2}} {w_ {1}}} \ høyre) \ høyre] ^ {3} \ end {align}}}$

hvor, er den universelle gasskonstanten, er forholdet mellom spesifikke varmekapasiteter, er den statiske tettheten, er det statiske trykket, er entropien og er komponenten av strømningshastigheten normal til "sjokket". Suffikset "1" og "2" refererer til henholdsvis de innledende og sluttbetingelsene. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle w}$

Siden vil dette bety det . Siden dette ikke er mulig, betyr det at det er umulig å snu en strøm gjennom en enkelt sjokkbølge. Argumentet kan utvides ytterligere for å vise at en slik ekspansjonsprosess bare kan forekomme hvis vi vurderer en sving gjennom uendelig mange ekspansjonsbølger i grensen . Følgelig er en ekspansjonsprosess en isentropisk prosess . ${\ displaystyle w_ {2}> w_ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta s <0}$ ${\ displaystyle \ Delta s \ rightarrow 0}$
^ Meyer, T. (1908). Über zweidimensionale Bewegungsvorgänge in einem Gas, das mit Überschallgeschwindigkeit strömt (doktoravhandling) (på tysk). Georg-August Universität, Göttingen. OCLC 77709738 .
^ Prandtl, L. (1907). "Neue Untersuchungen über die strömende Bewegung der Gase und Dämpfe". Physikalische Zeitschrift (på tysk). 8 : 23–30.Gjengitt i Riegels, FW, red. (1961). Ludwig Prandtl Gesammelte Abhandlungen . Berlin: Springer. doi : 10.1007 / 978-3-662-11836-8_78 .
^

For et objekt som beveger seg med supersoniske hastigheter ( ) når det beveger seg fra punkt A til B (avstand u · t), beveger forstyrrelsene som kommer fra punkt A en avstand c · t. Den tilsvarende vinkelen er kjent som en Mach-vinkel, og linjene som omslutter det forstyrrede området er kjent som Mach-linjer (i 2-D-tilfelle) eller Mach-kjegle (i 3-D). ${\ displaystyle u> c}$

Mach linjer (kjegle) og Mach vinkel:
Mach-linjer er et begrep som man vanligvis opplever i 2-D supersoniske strømmer (dvs. ). De er et par avgrensningslinjer som skiller regionen forstyrret strøm fra den uforstyrrede delen av strømmen. Disse linjene forekommer parvis og er orientert i en vinkel ${\ displaystyle M \ geq 1}$

${\ displaystyle \ mu = \ arcsin \ left ({\ frac {c} {u}} \ right) = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {M}} \ right)}$

med hensyn til bevegelsesretningen (også kjent som Mach-vinkelen ). I tilfelle 3D-strømningsfelt danner disse linjene en overflate kjent som Mach-kjegle , med Mach-vinkel som den halve vinkelen på kjeglen.

For å forstå konseptet bedre, vurder saken som er skissert i figuren. Vi vet at når et objekt beveger seg i en strømning, forårsaker det trykkforstyrrelser (som beveger seg med lydhastigheten, også kjent som Mach-bølger ). Figuren viser et objekt som beveger seg fra punkt A til B langs linjen AB med supersoniske hastigheter ( ). Når objektet når punkt B, har trykkforstyrrelsene fra punkt A gått en avstand c · t og er nå i sirkelens omkrets (med sentrum ved punkt A). Det er uendelige slike sirkler med sentrum på linjen AB, som hver representerer plasseringen av forstyrrelsene på grunn av objektets bevegelse. Linjene som forplanter seg utover fra punkt B og tangerer til alle disse sirklene er kjent som Mach-linjer. ${\ displaystyle u> c}$

Merk: Disse begrepene har en fysisk betydning bare for supersoniske strømmer ( ). Ved subsoniske strømmer vil forstyrrelsene reise raskere enn kilden, og argumentet til funksjonen vil være større enn en. ${\ displaystyle u \ geq c}$ ${\ displaystyle \ arcsin ()}$

Se også

Referanser

Liepmann, Hans W .; Roshko, A. (2001) [1957]. Elementer av gassdynamikk . Dover-publikasjoner . ISBN 0-486-41963-0.
Von Mises, Richard (2004) [1958]. Matematisk teori om komprimerbar væskestrøm . Dover-publikasjoner . ISBN 0-486-43941-0.
Courant, Richard; Friedrichs, KO (1999) [1948]. Supersonisk strømning og sjokkbølger . Springer Science + Business Media . ISBN 0387902325.
Anderson, John D. Jr. (januar 2001) [1984]. Fundamentals of Aerodynamics (3. utg.). McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 0-07-237335-0.
Shapiro, Ascher H. (1953). Dynamikken og termodynamikken til komprimerbar væskestrøm, volum 1 . Ronald Press . ISBN 978-0-471-06691-0.

Eksterne linker

Ekspansjonsvifte ( NASA )
Prandtl- Meyer utvidelsesvifte kalkulator ( Java applet ).

[shockExpansion-1] 

En utvidelsesprosess gjennom et enkelt "sjokk" er umulig, fordi det vil bryte den andre loven om termodynamikk.

Umulighet av å utvide en strøm gjennom en enkelt "sjokk" -bølge: Tenk på scenariet vist i figuren ved siden av. Når en supersonisk strømning svinger, øker den normale komponenten av hastigheten ( ), mens den tangentielle komponenten forblir konstant ( ). Den tilsvarende endringen er at entropien ( ) kan uttrykkes som følger, ${\ displaystyle w_ {2}> w_ {1}}$ ${\ displaystyle v_ {2} = v_ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta s = s_ {2} -s_ {1}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ Delta s} {R}} & = \ ln \ left [\ left ({\ frac {p_ {2}} {p_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ gamma -1}} \ left ({\ frac {\ rho _ {2}} {\ rho _ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}}} \ right] \\ & \ approx {\ frac {\ gamma +1} {12 \ gamma ^ {2}}} \ left ({\ frac {p_ {2} -p_ {1 }} {p_ {1}}} \ høyre) ^ {3} \\ & \ approx {\ frac {\ gamma +1} {12 \ gamma ^ {2}}} \ venstre [{\ frac {\ rho _ {1} w_ {1} ^ {2}} {p_ {1}}} \ venstre (1 - {\ frac {w_ {2}} {w_ {1}}} \ høyre) \ høyre] ^ {3} \ end {align}}}$

hvor, er den universelle gasskonstanten, er forholdet mellom spesifikke varmekapasiteter, er den statiske tettheten, er det statiske trykket, er entropien og er komponenten av strømningshastigheten normal til "sjokket". Suffikset "1" og "2" refererer til henholdsvis de innledende og sluttbetingelsene. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle w}$

Siden vil dette bety det . Siden dette ikke er mulig, betyr det at det er umulig å snu en strøm gjennom en enkelt sjokkbølge. Argumentet kan utvides ytterligere for å vise at en slik ekspansjonsprosess bare kan forekomme hvis vi vurderer en sving gjennom uendelig mange ekspansjonsbølger i grensen . Følgelig er en ekspansjonsprosess en isentropisk prosess . ${\ displaystyle w_ {2}> w_ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta s <0}$ ${\ displaystyle \ Delta s \ rightarrow 0}$

[2] Meyer, T. (1908). Über zweidimensionale Bewegungsvorgänge in einem Gas, das mit Überschallgeschwindigkeit strömt (doktoravhandling) (på tysk). Georg-August Universität, Göttingen. OCLC 77709738 .

[3] Prandtl, L. (1907). "Neue Untersuchungen über die strömende Bewegung der Gase und Dämpfe". Physikalische Zeitschrift (på tysk). 8 : 23–30.Gjengitt i Riegels, FW, red. (1961). Ludwig Prandtl Gesammelte Abhandlungen . Berlin: Springer. doi : 10.1007 / 978-3-662-11836-8_78 .

[4] 

For et objekt som beveger seg med supersoniske hastigheter ( ) når det beveger seg fra punkt A til B (avstand u · t), beveger forstyrrelsene som kommer fra punkt A en avstand c · t. Den tilsvarende vinkelen er kjent som en Mach-vinkel, og linjene som omslutter det forstyrrede området er kjent som Mach-linjer (i 2-D-tilfelle) eller Mach-kjegle (i 3-D). ${\ displaystyle u> c}$

Mach linjer (kjegle) og Mach vinkel:
Mach-linjer er et begrep som man vanligvis opplever i 2-D supersoniske strømmer (dvs. ). De er et par avgrensningslinjer som skiller regionen forstyrret strøm fra den uforstyrrede delen av strømmen. Disse linjene forekommer parvis og er orientert i en vinkel ${\ displaystyle M \ geq 1}$

${\ displaystyle \ mu = \ arcsin \ left ({\ frac {c} {u}} \ right) = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {M}} \ right)}$

med hensyn til bevegelsesretningen (også kjent som Mach-vinkelen ). I tilfelle 3D-strømningsfelt danner disse linjene en overflate kjent som Mach-kjegle , med Mach-vinkel som den halve vinkelen på kjeglen.

For å forstå konseptet bedre, vurder saken som er skissert i figuren. Vi vet at når et objekt beveger seg i en strømning, forårsaker det trykkforstyrrelser (som beveger seg med lydhastigheten, også kjent som Mach-bølger ). Figuren viser et objekt som beveger seg fra punkt A til B langs linjen AB med supersoniske hastigheter ( ). Når objektet når punkt B, har trykkforstyrrelsene fra punkt A gått en avstand c · t og er nå i sirkelens omkrets (med sentrum ved punkt A). Det er uendelige slike sirkler med sentrum på linjen AB, som hver representerer plasseringen av forstyrrelsene på grunn av objektets bevegelse. Linjene som forplanter seg utover fra punkt B og tangerer til alle disse sirklene er kjent som Mach-linjer. ${\ displaystyle u> c}$

Merk: Disse begrepene har en fysisk betydning bare for supersoniske strømmer ( ). Ved subsoniske strømmer vil forstyrrelsene reise raskere enn kilden, og argumentet til funksjonen vil være større enn en. ${\ displaystyle u \ geq c}$ ${\ displaystyle \ arcsin ()}$

Languages

In other projects