Pushforward tiltak - Pushforward measure

I målteori oppnås en disiplin innen matematikk, et pushforward measure (også push forward , push-forward eller image measure ) ved å overføre ("pushing forward") et mål fra ett målbart rom til et annet ved hjelp av en målbar funksjon .

Definisjon

Gitt målbare mellomrom og , en målbar kartlegging og et mål , den pushforward av er definert til å være mål gitt av ${\ displaystyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1})}$${\ displaystyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2})}$${\ displaystyle f \ colon X_ {1} \ to X_ {2}}$${\ displaystyle \ mu \ colon \ Sigma _ {1} \ to [0, + \ infty]}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f _ {*} (\ mu) \ kolon \ Sigma _ {2} \ til [0, + \ infty]}$

${\ displaystyle (f _ {*} (\ mu)) (B) = \ mu \ left (f ^ {- 1} (B) \ right)}$ til ${\ displaystyle B \ in \ Sigma _ {2}.}$

Denne definisjonen gjelder tilsvarende for et signert eller komplisert tiltak . Den pushforward tiltaket blir også betegnet som , , , eller . ${\ displaystyle \ mu \ circ f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f _ {\ sharp} \ mu}$${\ displaystyle f \ sharp \ mu}$${\ displaystyle f \ # \ mu}$

Hovedegenskap: formel for endring av variabler

Teorem: En målbar funksjon g på X ₂ er integrerbar i forhold til det fremadrettede målet f _∗ ( μ ) hvis og bare hvis sammensetningen er integrerbar i forhold til målet μ . I så fall sammenfaller integralene, dvs. ${\ displaystyle g \ circ f}$

${\ displaystyle \ int _ {X_ {2}} g \, d (f _ {*} \ mu) = \ int _ {X_ {1}} g \ circ f \, d \ mu.}$

Merk at i forrige formel . ${\ displaystyle X_ {1} = f ^ {- 1} (X_ {2})}$

Eksempler og applikasjoner

• En naturlig " Lebesgue mål " på enhetssirkelen S ¹ (her tenkt som en undergruppe av den komplekse planet C ) kan defineres ved hjelp av en skyve fremover konstruksjon og Lebesgue måle λ på den virkelige linje R . La λ også betegne begrensningen av Lebesgue-mål til intervallet [0, 2 π ) og la f  : [0, 2 π ) →  S ¹ være den naturlige bindingen definert av f ( t ) = exp ( i   t ). Det naturlige "Lebesgue-tiltaket" på S ¹ er da push-forward-målet f _∗ ( λ ). Tiltaket f _* ( λ ) kan også bli kalt " buelengde måle" eller "vinkelmåling", ettersom f _* ( λ ) -measure av en lysbue i S- ¹ blir bestemt dens buelengde (eller, tilsvarende, den vinkel som den senkes i midten av sirkelen.)
• Det forrige eksemplet strekker seg pent for å gi et naturlig "Lebesgue-mål" på den n -dimensjonale torus T ⁿ . Det forrige eksemplet er et spesielt tilfelle, siden S ¹  =  T ¹ . Dette Lebesgue-tiltaket på T ⁿ er, opp til normalisering, Haar-tiltaket for den kompakte , sammenkoblede Lie-gruppen T ⁿ .
• Gaussiske mål på uendelig-dimensjonale vektorrom defineres ved hjelp av push-forward og standard Gaussian-mål på den virkelige linjen: et Borel-mål γ på et separerbart Banach-rom X kalles Gaussisk hvis push-forward av γ av et ikke-null lineær funksjonell i den kontinuerlige doble plass til X er en gaussisk mål på R .
• Tenk på en målbar funksjon f  : X → X og sammensetningen av f med seg selv n ganger:

${\ displaystyle f ^ {(n)} = \ underbrace {f \ circ f \ circ \ dots \ circ f} _ {n \ mathrm {\, times}}: X \ til X.}$

Denne itererte funksjonen danner et dynamisk system . Det er ofte av interesse i studiet av slike systemer å finne et mål μ på X at kartet f etterlates uendret, et såkalt invariant mål , dvs. et som f _∗ ( μ ) =  μ for .

• Man kan også vurdere kvasi-invariante tiltak for et slikt dynamisk system: et mål på kalles kvasi-invariant under hvis push-forward av by bare tilsvarer det opprinnelige målet μ , ikke nødvendigvis lik det. Et par mål på samme rom er ekvivalente hvis og bare hvis , så er kvasi-invariant under if ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mu, \ nu}$${\ displaystyle \ forall A \ in \ Sigma: \ \ mu (A) = 0 \ iff \ nu (A) = 0}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ forall A \ in \ Sigma: \ \ mu (A) = 0 \ iff f _ {*} \ mu (A) = \ mu {\ big (} f ^ {- 1} (A) {\ big )} = 0}$

• Mange naturlige sannsynlighetsfordelinger, slik som chi-fordelingen , kan oppnås via denne konstruksjonen.

• Tilfeldige variabler er fremadstormende tiltak. De kartlegger et sannsynlighetsrom inn i et kodomrom og gir det rommet et sannsynlighetsmål definert av fremover. Videre, fordi tilfeldige variabler er funksjoner (og dermed totale funksjoner), er det omvendte bildet av hele kodomenet hele domenet, og målet for hele domenet er 1, så målet for hele kodomenet er 1. Dette betyr at tilfeldig variabler kan være sammensatt ad infimum, og de vil alltid forbli som tilfeldige variabler og gi kodens hovedrom sannsynlighetsmål.

En generalisering

Generelt kan en hvilken som helst målbar funksjon skyves fremover, og fremover blir deretter en lineær operatør , kjent som overføringsoperatøren eller Frobenius – Perron-operatøren . I begrensede rom tilfredsstiller denne operatoren vanligvis kravene i Frobenius-Perron-teoremet , og den maksimale egenverdien til operatøren tilsvarer det uforanderlige målet.

Tilgrensa til push-forward er pullback ; som operatør på funksjonsrom på målbare rom, er det komposisjonsoperatøren eller Koopman-operatøren .

Se også

• Målbevarende dynamisk system

Merknader

Referanser

• Bogachev, Vladimir I. (2007), Measure Theory , Berlin: Springer Verlag , ISBN   9783540345138
• Teschl, Gerald (2015), Temaer i reell og funksjonell analyse