chi
Sannsynlighetstetthetsfunksjon
Kumulativ distribusjons funksjon
Parametere
k
>
0
{\ displaystyle k> 0 \,}
(grader av frihet)
Brukerstøtte
x
∈
[
0
,
∞
)
{\ displaystyle x \ in [0, \ infty)}
PDF
1
2
(
k
/
2
)
-
1
Γ
(
k
/
2
)
x
k
-
1
e
-
x
2
/
2
{\ displaystyle {\ frac {1} {2^{(k/2) -1} \ Gamma (k/2)}} \; x^{k-1} e^{-x^{2}/2 }}
CDF
P
(
k
/
2
,
x
2
/
2
)
{\ displaystyle P (k/2, x^{2}/2) \,}
Mener
μ
=
2
Γ
(
(
k
+
1
)
/
2
)
Γ
(
k
/
2
)
{\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gamma ((k+1)/2)} {\ Gamma (k/2)}}}
Median
≈
k
(
1
-
2
9
k
)
3
{\ displaystyle \ approx {\ sqrt {k {\ bigg (} 1-{\ frac {2} {9k}} {\ bigg)}^{3}}}}
Modus
k
-
1
{\ displaystyle {\ sqrt {k-1}} \,}
til
k
≥
1
{\ displaystyle k \ geq 1}
Forskjell
σ
2
=
k
-
μ
2
{\ displaystyle \ sigma ^{2} = k- \ mu ^{2} \,}
Skjevhet
γ
1
=
μ
σ
3
(
1
-
2
σ
2
)
{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ mu} {\ sigma ^{3}}} \, (1-2 \ sigma ^{2})}
Eks. kurtosis
2
σ
2
(
1
-
μ
σ
γ
1
-
σ
2
)
{\ displaystyle {\ frac {2} {\ sigma ^{2}}} (1- \ mu \ sigma \ gamma _ {1}-\ sigma ^{2})}
Entropi
ln
(
Γ
(
k
/
2
)
)
+
{\ displaystyle \ ln (\ Gamma (k/2))+\,}
1
2
(
k
-
ln
(
2
)
-
(
k
-
1
)
ψ
0
(
k
/
2
)
)
{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (k \!-\! \ ln (2) \!-\! (k \!-\! 1) \ psi _ {0} (k/2) )}
MGF
Komplisert (se tekst)
CF
Komplisert (se tekst)
I sannsynlighetsteori og statistikk er chifordelingen en kontinuerlig sannsynlighetsfordeling . Det er fordelingen av den positive kvadratroten av summen av kvadrater i et sett med uavhengige tilfeldige variabler som hver følger en standard normalfordeling , eller ekvivalent, fordelingen av den euklidiske avstanden til de tilfeldige variablene fra opprinnelsen. Det er dermed relatert til chi-kvadratfordelingen ved å beskrive fordelingen av de positive kvadratrøttene til en variabel som adlyder en chi-squared-fordeling.
Hvis er uavhengige, normalfordelte tilfeldige variabler med gjennomsnitt 0 og standardavvik 1, så statistikken
Z
1
,
…
,
Z
k
{\ displaystyle Z_ {1}, \ ldots, Z_ {k}}
k
{\ displaystyle k}
Y
=
∑
Jeg
=
1
k
Z
Jeg
2
{\ displaystyle Y = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1}^{k} Z_ {i}^{2}}}}
distribueres i henhold til chi -fordelingen. Chi -distribusjonen har en parameter, som angir antall frihetsgrader (dvs. antall tilfeldige variabler ).
k
{\ displaystyle k}
Z
Jeg
{\ displaystyle Z_ {i}}
De mest kjente eksemplene er Rayleigh -fordelingen (chi -fordeling med to frihetsgrader ) og Maxwell - Boltzmann -fordelingen av molekylhastighetene i en ideell gass (chi -fordeling med tre frihetsgrader).
Definisjoner
Sannsynlighetstetthetsfunksjon
Den sannsynlighetstetthet (pdf) av chi-fordelingen
f
(
x
;
k
)
=
{
x
k
-
1
e
-
x
2
/
2
2
k
/
2
-
1
Γ
(
k
2
)
,
x
≥
0
;
0
,
ellers
.
{\ displaystyle f (x; k) = {\ begin {cases} {\ dfrac {x^{k-1} e^{-x^{2}/2}} {2^{k/2-1} \ Gamma \ left ({\ frac {k} {2}} \ right)}}, & x \ geq 0; \\ 0, og {\ text {ellers}}. \ End {cases}}}
hvor er gamma -funksjonen .
Γ
(
z
)
{\ displaystyle \ Gamma (z)}
Kumulativ distribusjons funksjon
Den kumulative fordelingsfunksjonen er gitt av:
F
(
x
;
k
)
=
P
(
k
/
2
,
x
2
/
2
)
{\ displaystyle F (x; k) = P (k/2, x^{2}/2) \,}
hvor er den regulerte gamma -funksjonen .
P
(
k
,
x
)
{\ displaystyle P (k, x)}
Generere funksjoner
Den øyeblikkegenererende funksjonen er gitt av:
M
(
t
)
=
M
(
k
2
,
1
2
,
t
2
2
)
+
t
2
Γ
(
(
k
+
1
)
/
2
)
Γ
(
k
/
2
)
M
(
k
+
1
2
,
3
2
,
t
2
2
)
,
{\ displaystyle M (t) = M \ venstre ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {t^{2}} {2}} \ høyre )+t {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gamma ((k+1)/2)} {\ Gamma (k/2)}} M \ venstre ({\ frac {k+1} {2}}, {\ frac {3} {2}}, {\ frac {t^{2}} {2}} \ høyre),}
hvor er Kummers konfluente hypergeometriske funksjon . Den karakteristiske funksjonen er gitt av:
M
(
en
,
b
,
z
)
{\ displaystyle M (a, b, z)}
φ
(
t
;
k
)
=
M
(
k
2
,
1
2
,
-
t
2
2
)
+
Jeg
t
2
Γ
(
(
k
+
1
)
/
2
)
Γ
(
k
/
2
)
M
(
k
+
1
2
,
3
2
,
-
t
2
2
)
.
{\ displaystyle \ varphi (t; k) = M \ venstre ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {-t^{2}} {2 }} \ høyre)+det {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gamma ((k+1)/2)} {\ Gamma (k/2)}} M \ venstre ({\ frac { k+1} {2}}, {\ frac {3} {2}}, {\ frac {-t^{2}} {2}} \ høyre).}
Egenskaper
Øyeblikk
De rå øyeblikkene blir deretter gitt av:
μ
j
=
∫
0
∞
f
(
x
;
k
)
x
j
d
x
=
2
j
/
2
Γ
(
(
k
+
j
)
/
2
)
Γ
(
k
/
2
)
{\ displaystyle \ mu _ {j} = \ int _ {0}^{\ infty} f (x; k) x^{j} dx = 2^{j/2} {\ frac {\ Gamma ((k +j)/2)} {\ Gamma (k/2)}}}
hvor er gamma -funksjonen . Dermed er de første rå øyeblikkene:
Γ
(
z
)
{\ displaystyle \ Gamma (z)}
μ
1
=
2
Γ
(
(
k
+
1
)
/
2
)
Γ
(
k
/
2
)
{\ displaystyle \ mu _ {1} = {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gamma ((k \!+\! 1)/2)} {\ Gamma (k/2)} }}
μ
2
=
k
{\ displaystyle \ mu _ {2} = k \,}
μ
3
=
2
2
Γ
(
(
k
+
3
)
/
2
)
Γ
(
k
/
2
)
=
(
k
+
1
)
μ
1
{\ displaystyle \ mu _ {3} = 2 {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gamma ((k \!+\! 3)/2)} {\ Gamma (k/2) }} = (k+1) \ mu _ {1}}
μ
4
=
(
k
)
(
k
+
2
)
{\ displaystyle \ mu _ {4} = (k) (k+2) \,}
μ
5
=
4
2
Γ
(
(
k
+
5
)
/
2
)
Γ
(
k
/
2
)
=
(
k
+
1
)
(
k
+
3
)
μ
1
{\ displaystyle \ mu _ {5} = 4 {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gamma ((k \!+\! 5)/2)} {\ Gamma (k/2) }} = (k+1) (k+3) \ mu _ {1}}
μ
6
=
(
k
)
(
k
+
2
)
(
k
+
4
)
{\ displaystyle \ mu _ {6} = (k) (k+2) (k+4) \,}
der de høyre uttrykkene er avledet ved å bruke gjentakelsesforholdet for gammafunksjonen:
Γ
(
x
+
1
)
=
x
Γ
(
x
)
{\ displaystyle \ Gamma (x+1) = x \ Gamma (x) \,}
Fra disse uttrykkene kan vi utlede følgende forhold:
Gjennomsnitt:, som er nær for store k
μ
=
2
Γ
(
(
k
+
1
)
/
2
)
Γ
(
k
/
2
)
{\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gamma ((k+1)/2)} {\ Gamma (k/2)}}}}
k
-
1
2
{\ displaystyle {\ sqrt {k-{\ tfrac {1} {2}}}}}
Varians:, som nærmer seg når k øker
V
=
k
-
μ
2
{\ displaystyle V = k- \ mu ^{2} \,}
1
2
{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}
Skjevhet:
γ
1
=
μ
σ
3
(
1
-
2
σ
2
)
{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ mu} {\ sigma ^{3}}} \, (1-2 \ sigma ^{2})}
Overskudd av kurtose:
γ
2
=
2
σ
2
(
1
-
μ
σ
γ
1
-
σ
2
)
{\ displaystyle \ gamma _ {2} = {\ frac {2} {\ sigma ^{2}}} (1- \ mu \ sigma \ gamma _ {1}-\ sigma ^{2})}
Entropi
Entropien er gitt av:
S
=
ln
(
Γ
(
k
/
2
)
)
+
1
2
(
k
-
ln
(
2
)
-
(
k
-
1
)
ψ
0
(
k
/
2
)
)
{\ displaystyle S = \ ln (\ Gamma (k/2))+{\ frac {1} {2}} (k \!-\! \ ln (2) \!-\! (k \!-\ ! 1) \ psi ^{0} (k/2))}
hvor er polygamma -funksjonen .
ψ
0
(
z
)
{\ displaystyle \ psi ^{0} (z)}
Stor n tilnærming
Vi finner den store tilnærmingen n = k+1 av gjennomsnittet og variansen av chi -fordelingen. Dette har anvendelse f.eks. For å finne fordelingen av standardavvik for et utvalg av normalfordelt populasjon, hvor n er utvalgsstørrelsen.
Gjennomsnittet er da:
μ
=
2
Γ
(
n
/
2
)
Γ
(
(
n
-
1
)
/
2
)
{\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gamma (n/2)} {\ Gamma ((n-1)/2)}}}}
Vi bruker Legendre dupliseringsformelen for å skrive:
2
n
-
2
Γ
(
(
n
-
1
)
/
2
)
⋅
Γ
(
n
/
2
)
=
π
Γ
(
n
-
1
)
{\ displaystyle 2^{n-2} \, \ Gamma ((n-1)/2) \ cdot \ Gamma (n/2) = {\ sqrt {\ pi}} \ Gamma (n-1)}
,
så det:
μ
=
2
/
π
2
n
-
2
(
Γ
(
n
/
2
)
)
2
Γ
(
n
-
1
)
{\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {2/\ pi}} \, 2^{n-2} \, {\ frac {(\ Gamma (n/2))^{2}} {\ Gamma (n -1)}}}
Ved å bruke Stirlings tilnærming til gamma -funksjon, får vi følgende uttrykk for gjennomsnittet:
μ
=
2
/
π
2
n
-
2
(
2
π
(
n
/
2
-
1
)
n
/
2
-
1
+
1
/
2
e
-
(
n
/
2
-
1
)
⋅
[
1
+
1
12
(
n
/
2
-
1
)
+
O
(
1
n
2
)
]
)
2
2
π
(
n
-
2
)
n
-
2
+
1
/
2
e
-
(
n
-
2
)
⋅
[
1
+
1
12
(
n
-
2
)
+
O
(
1
n
2
)
]
{\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {2/\ pi}} \, 2^{n-2} \, {\ frac {\ left ({\ sqrt {2 \ pi}} (n/2-1) ^{n/2-1+1/2} e^{-(n/2-1)} \ cdot [1+{\ frac {1} {12 (n/2-1)}}+O ({ \ frac {1} {n^{2}}})] \ høyre)^{2}} {{\ sqrt {2 \ pi}} (n-2)^{n-2+1/2} e^ {-(n-2)} \ cdot [1+{\ frac {1} {12 (n-2)}}+O ({\ frac {1} {n^{2}}})]}}}}
=
(
n
-
2
)
1
/
2
⋅
[
1
+
1
4
n
+
O
(
1
n
2
)
]
=
n
-
1
(
1
-
1
n
-
1
)
1
/
2
⋅
[
1
+
1
4
n
+
O
(
1
n
2
)
]
{\ displaystyle = (n-2)^{1/2} \, \ cdot \ left [1+{\ frac {1} {4n}}+O ({\ frac {1} {n^{2}} }) \ right] = {\ sqrt {n-1}} \, (1-{\ frac {1} {n-1}})^{1/2} \ cdot \ left [1+{\ frac { 1} {4n}}+O ({\ frac {1} {n^{2}}}) \ høyre]}
=
n
-
1
⋅
[
1
-
1
2
n
+
O
(
1
n
2
)
]
⋅
[
1
+
1
4
n
+
O
(
1
n
2
)
]
{\ displaystyle = {\ sqrt {n-1}} \, \ cdot \ left [1-{\ frac {1} {2n}}+O ({\ frac {1} {n^{2}}}) \ høyre] \, \ cdot \ venstre [1+{\ frac {1} {4n}}+O ({\ frac {1} {n^{2}}}) \ høyre]}
=
n
-
1
⋅
[
1
-
1
4
n
+
O
(
1
n
2
)
]
{\ displaystyle = {\ sqrt {n-1}} \, \ cdot \ left [1-{\ frac {1} {4n}}+O ({\ frac {1} {n^{2}}}) \Ikke sant]}
Og dermed er variansen:
V
=
(
n
-
1
)
-
μ
2
=
(
n
-
1
)
⋅
1
2
n
⋅
[
1
+
O
(
1
n
)
]
{\ displaystyle V = (n-1)-\ mu ^{2} \, = (n-1) \ cdot {\ frac {1} {2n}} \, \ cdot \ left [1+O ({\ frac {1} {n}}) \ høyre]}
Relaterte distribusjoner
Hvis da ( chi-squared distribution )
X
∼
χ
k
{\ displaystyle X \ sim \ chi _ {k}}
X
2
∼
χ
k
2
{\ displaystyle X^{2} \ sim \ chi _ {k}^{2}}
lim
k
→
∞
χ
k
-
μ
k
σ
k
→
d
N
(
0
,
1
)
{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} {\ tfrac {\ chi _ {k}-\ mu _ {k}} {\ sigma _ {k}}} {\ xrightarrow {d}} \ N ( 0,1) \,}
( Normal fordeling )
Hvis da
X
∼
N
(
0
,
1
)
{\ displaystyle X \ sim N (0,1) \,}
|
X
|
∼
χ
1
{\ displaystyle | X | \ sim \ chi _ {1} \,}
Hvis da ( halv normal fordeling ) for evt
X
∼
χ
1
{\ displaystyle X \ sim \ chi _ {1} \,}
σ
X
∼
H
N
(
σ
)
{\ displaystyle \ sigma X \ sim HN (\ sigma) \,}
σ
>
0
{\ displaystyle \ sigma> 0 \,}
χ
2
∼
R
en
y
l
e
Jeg
g
h
(
1
)
{\ displaystyle \ chi _ {2} \ sim \ mathrm {Rayleigh} (1) \,}
( Rayleigh -distribusjon )
χ
3
∼
M
en
x
w
e
l
l
(
1
)
{\ displaystyle \ chi _ {3} \ sim \ mathrm {Maxwell} (1) \,}
( Maxwell -distribusjon )
‖
N
Jeg
=
1
,
…
,
k
(
0
,
1
)
‖
2
∼
χ
k
{\ displaystyle \ | {\ boldsymbol {N}} _ {i = 1, \ ldots, k} {(0,1)} \ | _ {2} \ sim \ chi _ {k}}
, den euklidiske normen for en standard normal tilfeldig vektor med dimensjoner, fordeles i henhold til en chi -fordeling med frihetsgrader
k
{\ displaystyle k}
k
{\ displaystyle k}
chi -distribusjon er et spesielt tilfelle av generalisert gamma -distribusjon eller Nakagami -distribusjon eller ikke -sentral chi -distribusjon
Gjennomsnittet av chi -fordelingen (skalert med kvadratroten av ) gir korreksjonsfaktoren i den objektive estimeringen av standardavviket til normalfordelingen .
n
-
1
{\ displaystyle n-1}
Ulike distribusjoner av chi og chi-squared
Navn
Statistikk
chi-squared distribusjon
∑
Jeg
=
1
k
(
X
Jeg
-
μ
Jeg
σ
Jeg
)
2
{\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{k} \ venstre ({\ frac {X_ {i}-\ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ høyre)^{2} }
ikke-sentral chi-kvadratfordeling
∑
Jeg
=
1
k
(
X
Jeg
σ
Jeg
)
2
{\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{k} \ venstre ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ høyre)^{2}}
chi -distribusjon
∑
Jeg
=
1
k
(
X
Jeg
-
μ
Jeg
σ
Jeg
)
2
{\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1}^{k} \ venstre ({\ frac {X_ {i}-\ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ høyre) ^{2}}}}
ikke -sentral chi -distribusjon
∑
Jeg
=
1
k
(
X
Jeg
σ
Jeg
)
2
{\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1}^{k} \ venstre ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ høyre)^{2}}}}
Se også
Referanser
Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistics with Mathematica (1999), 237f.
Jan W. Gooch, Encyclopedic Dictionary of Polymers vol. 1 (2010), vedlegg E, s. 972 .
Eksterne linker
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">