Representasjonsring - Representation ring

I matematikk , spesielt innen algebra, kjent som representasjonsteori , er representasjonsringen (eller Green ring etter JA Green ) for en gruppe en ring dannet av alle (isomorfismeklasser av) de endelige dimensjonale lineære representasjonene av gruppen. Elementer av representasjonsringen kalles noen ganger virtuelle representasjoner. For en gitt gruppe vil ringen avhenge av basisfeltet til representasjonene. Tilfellet med komplekse koeffisienter er det mest utviklede, men tilfellet med algebraisk lukkede felt med karakteristisk p der Sylow p- undergruppene er sykliske, er også teoretisk tilgjengelig.

Formell definisjon

Gitt en gruppe G , og et felt F , elementene i sin representasjon ring R _F ( G ) er de formelle forskjeller i isomorfi klasser av finite-dimensjonal lineære F -representations av G . For ringstrukturen, er tilsetning gitt ved den direkte sum av representasjoner, og multiplikasjon av deres tensorprodukt enn F . Når F er utelatt fra notasjonen, som i R ( G ), blir F implisitt antatt å være feltet med komplekse tall.

Konsist, representasjon av ringen G er den Grothendieck ring av kategori av begrensede-dimensjonale representasjoner av G .

Eksempler

• For de komplekse representasjoner av den cykliske gruppe av orden n , representasjonen ring R _C ( C _n ) er isomorf med Z [ X ] / ( X ⁿ  - 1), hvor X tilsvarer det kompleks representasjon som sender en generator av gruppen til en primitiv n -rot av enhet.
• Mer generelt kan den komplekse representasjonsringen til en endelig abelsk gruppe identifiseres med grupperingen av karaktergruppen .
• For de rasjonelle representasjoner av den sykliske gruppe av orden 3, representasjon ringen R _Q (C- ₃ ) er isomorf med Z [ X ] / ( X ²  -  X  - 2), hvor X svarer til den ikke-reduserbare rasjonal representasjon av dimensjon 2.
• For de modulære representasjoner av den sykliske gruppe av orden 3 over et felt F med karakteristisk 3, representasjon ringen R _F ( C ₃ ) er isomorf med Z [ X , Y ] / ( X ²  -  Y  - 1, XY  - 2 Y , Y ²  - 3 Y ).
• Den kontinuerlige representasjonsringen R (S ¹ ) for sirkelgruppen er isomorf til Z [ X , X  ⁻¹ ]. Ringen av virkelige representasjoner er delingen av R ( G ) av elementer som er festet av involusjonen på R ( G ) gitt av X → X  ⁻¹ .
• Ringen R _C ( S ₃ ) for den symmetriske gruppen på tre punkter er isomorf til Z [ X , Y ] / ( XY  -  Y , X ²  - 1, Y ²  -  X  -  Y  - 1), hvor X er 1 -dimensjonal alternerende representasjon og Y den 2-dimensjonale irredusible representasjonen av S ₃ .

Tegn

Enhver representasjon avgrenser en tegn χ: G → C . En slik funksjon er konstant på conjugacy klasser av G , en såkalt klasse funksjon ; betegne ringen av klassefunksjoner med C ( G ). Hvis G er endelig, er homomorfismen R ( G ) → C ( G ) injeksjonsdyktig, slik at R ( G ) kan identifiseres med en delring av C ( G ). For felt F hvis karakteristikk deler rekkefølgen til gruppen G , er ikke homomorfismen fra R _F ( G ) → C ( G ) definert av Brauer-tegn lenger injeksjonsdyktig.

For en kompakt tilkoblet gruppe er R ( G ) isomorf til delingen av R ( T ) (hvor T er en maksimal torus) bestående av de klassefunksjonene som er uforanderlige under handlingen av Weyl-gruppen (Atiyah og Hirzebruch, 1961). For den generelle kompakte Lie-gruppen, se Segal (1968).

λ-ring og Adams operasjoner

Gitt en representasjon av G og et naturlig tall n , kan vi danne den n -te ytre kraft av representasjonen, noe som igjen er en representasjon av G . Dette induserer en operasjon λ ⁿ  : R ( G ) → R ( G ). Med disse operasjonene blir R ( G ) en λ-ring .

De Adams operasjoner på representasjonen ringen R ( G ) er kart Ψ ^k kjennetegnet ved deres virkning på tegn χ:

${\ displaystyle \ Psi ^ {k} \ chi (g) = \ chi (g ^ {k}) \.}$

Operasjonene Ψ ^k er ringhomomorfismer av R ( G ) til seg selv, og på representasjoner ρ av dimensjon d

${\ displaystyle \ Psi ^ {k} (\ rho) = N_ {k} (\ Lambda ^ {1} \ rho, \ Lambda ^ {2} \ rho, \ ldots, \ Lambda ^ {d} \ rho) \ }$

der Λ ⁱ ρ er de ytre kreftene til ρ og N _k er den k -te kraftsummen uttrykt som en funksjon av de d- elementære symmetriske funksjonene til d- variabler.

Referanser

• Atiyah, Michael F .; Hirzebruch, Friedrich (1961), "Vector bundles and homogeneous spaces", Proc. Sympos. Ren matematikk. , American Mathematical Society, III : 7–38, MR  0139181 , Zbl  0108.17705.
• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Representasjoner for kompakte løgnegrupper , Graduate Texts in Mathematics , 98 , New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo: Springer-Verlag , ISBN 0-387-13678-9, MR  1410059 , OCLC  11210736 , Zbl  0581.22009
• Segal, Graeme (1968), "Representasjonsringen til en kompakt Lie-gruppe", Publ. Matte. IHES , 34 : 113–128, MR  0248277 , Zbl  0209.06203.
• Snaith, VP (1994), Explicit Brauer Induction: With Applications to Algebra and Number Theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 40 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-46015-8, Zbl  0991.20005