Skalaanalyse (matematikk) - Scale analysis (mathematics)

Tilpass tilnærming
Begreper
Bestillinger på tilnærming Skalaanalyse  · Stor O-notasjon Kurvetilpasning  · Falsk presisjon Betydelige figurer
Andre grunnleggende
Tilnærming  · Generaliseringsfeil Taylor polynom Vitenskapelig modellering
v t e

Skalaanalyse (eller størrelsesanalyse ) er et kraftig verktøy som brukes i matematiske fag for forenkling av ligninger med mange begreper. Først bestemmes den omtrentlige størrelsen på individuelle termer i ligningene. Da kan noen ubetydelig små vilkår ignoreres.

Eksempel: vertikal momentum i meteorologi på synoptisk skala

Tenk for eksempel på moment-ligningen til Navier-Stokes-ligningene i den vertikale koordinatretningen av atmosfæren

${\ displaystyle {\ frac {\ partial w} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} + w {\ frac {\ partial w} {\ partial z}} - {\ frac {u ^ {2} + v ^ {2}} {R}} = - {{\ frac {1} {\ varrho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}}} - g + 2 {\ Omega u \ cos \ varphi} + \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial z ^ {2} }}\Ikke sant),}$

( A1 )

hvor R er jordens radius, er Ω frekvens av jordrotasjonen, g er tyngdens akselerasjon , φ er breddegrad, er ρ tetthet av luft og ν er kinematisk viskositet av luft (vi kan unnlate turbulens i fri atmosfære ).

I synoptisk skala kan vi forvente horisontale hastigheter om U = 10 ¹  ms ⁻¹ og vertikale om W = 10 ⁻²  ms ⁻¹ . Horisontal skala er L = 10 ⁶  m og vertikal skala er H = 10 ⁴  m. Typisk tidsskala er T = L / U = 10 ⁵  s. Trykkforskjeller i troposfæren er Δ P = 10 ⁴  Pa og tettheten av luft ρ = 10 ⁰  kg⋅m ^-3 . Andre fysiske egenskaper er omtrent:

R = 6,378 × 10 ⁶ m;

Ω = 7,292 × 10 ⁻⁵ rad⋅s ^−1;

ν = 1,46 × 10 ⁻⁵ m ² ⋅s ^−1;

g = 9,81 m⋅s ^−2.

Anslag for de forskjellige begrepene i ligning ( A1 ) kan gjøres ved hjelp av skalaene:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial w} {\ partial t}} & \ sim {\ frac {W} {T}} \\ [1.2ex] u {\ frac {\ partial w } {\ partial x}} & \ sim U {\ frac {W} {L}} & \ qquad v {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} & \ sim U {\ frac {W} { L}} & \ qquad w {\ frac {\ partial w} {\ partial z}} & \ sim W {\ frac {W} {H}} \\ [1.2ex] {\ frac {u ^ {2} } {R}} & \ sim {\ frac {U ^ {2}} {R}} & \ qquad {\ frac {v ^ {2}} {R}} & \ sim {\ frac {U ^ {2 }} {R}} \\ [1.2ex] {\ frac {1} {\ varrho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} & \ sim {\ frac {1} {\ varrho} } {\ frac {\ Delta P} {H}} & \ qquad \ Omega u \ cos \ varphi & \ sim \ Omega U \\ [1.2ex] \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} { \ partial x ^ {2}}} & \ sim \ nu {\ frac {W} {L ^ {2}}} & \ qquad \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} & \ sim \ nu {\ frac {W} {L ^ {2}}} & \ qquad \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial z ^ {2}} } & \ sim \ nu {\ frac {W} {H ^ {2}}} \ end {align}}}$

Nå kan vi introdusere disse skalaene og deres verdier i ligning ( A1 ):

${\ displaystyle {\ begin {align} & {} {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {5}}} + 10 {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {6} }} + 10 {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {6}}} + 10 ^ {- 2} {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {4}}} - {\ frac {10 ^ {2} + 10 ^ {2}} {10 ^ {6}}} \\ [12pt] & {} = - {{\ frac {1} {1}} {\ frac {10 ^ {4}} {10 ^ {4}}}} - 10 + 2 \ ganger 10 ^ {- 4} \ ganger 10 + 10 ^ {- 5} \ left ({\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {12}}} + {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {12}}} + {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {8}}} \ høyre ). \ slutt {justert}}}$

( A2 )

Vi kan se at alle begrepene - unntatt første og andre på høyre side - er ubetydelig små. Dermed kan vi forenkle den vertikale momentligningen til den hydrostatiske likevektsligningen :

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ varrho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} = - g.}$

( A3 )

Regler for skaleringsanalyse

Skalaanalyse er veldig nyttig og mye brukt verktøy for å løse problemer innen varmeoverføring og væskemekanikk, trykkdrevet veggstråle, skille strømmer bak bakovervendte trinn, strålediffusjonsflammer, studie av lineær og ikke-lineær dynamikk. Skalaanalyse er en effektiv snarvei for å skaffe tilnærmede løsninger på ligninger som ofte er for kompliserte til å løse nøyaktig. Formålet med skalanalyse er å bruke de grunnleggende prinsippene for konvektiv varmeoverføring for å produsere størrelsesordenestimater for mengdene av interesse. Skalaanalyse forutsetter innen en faktor av ordre en når den gjøres riktig, de dyre resultatene som produseres av eksakte analyser. Skalaanalyse bestemte som følger:

Regel1 - Første trinn i skala-analyse er å definere domenet for omfanget der vi bruker skala-analyse. Enhver skala-analyse av et strømningsområde som ikke er unikt definert er ikke gyldig.

Regel2 - En ligning utgjør en ekvivalens mellom skalaene til to dominerende termer som vises i ligningen. For eksempel,

${\ displaystyle \ rho c_ {P} {{\ partial T} \ over {\ partial t}} = k {\ frac {\ partial ^ {2} T} {\ partial x ^ {2}}}.}$

I eksemplet ovenfor kan venstre side være av samme størrelsesorden som høyre side.

Regel3- Hvis i summen av to termer gitt av

${\ displaystyle c = a + b}$

størrelsesorden for det ene begrepet er større enn størrelsesorden for det andre begrepet

${\ displaystyle O (a)> O (b)}$

da dikteres størrelsesorden av summen av det dominerende begrepet

${\ displaystyle O (c) = O (a)}$

Den samme konklusjonen gjelder hvis vi har forskjellen på to termer

${\ displaystyle c = ab}$

Regel4- I sum av to termer, hvis to termer er av samme størrelsesorden,

${\ displaystyle c = a + b}$

${\ displaystyle O (a) = O (b)}$

da er også summen av samme størrelsesorden:

${\ displaystyle O (a) \ thicksim O (b) \ thicksim O (c)}$

Regel5- I tilfelle produkt med to termer

${\ displaystyle p = ab}$

størrelsesorden for produktet er lik produktet av størrelsesorden for de to faktorene

${\ displaystyle O (p) = O (a) O (b)}$

for forholdstall

${\ displaystyle r = {\ frac {a} {b}}}$

deretter

${\ displaystyle O (r) = {\ frac {O (a)} {O (b)}}}$

her representerer O (a) størrelsesorden til a.

~ representerer to termer er av samme størrelsesorden.

> representerer større enn, i betydningen størrelsesorden.

Skalaanalyse av fullt utviklet flyt

Tenk på den jevne laminære strømmen av et tyktflytende væske inne i et sirkulært rør. La væsken komme inn med en jevn hastighet over strømningen over seksjonen. Når væsken beveger seg nedover i røret, dannes et grenselag med væske med lav hastighet og vokser på overflaten fordi væsken umiddelbart ved siden av overflaten har null hastighet. Et spesielt og forenklende trekk ved viskøs strømning inne i sylindriske rør er det faktum at grenselaget må møte seg selv ved rørets midtlinje, og hastighetsfordelingen etablerer deretter et fast mønster som er uforanderlig. Hydrodynamisk inngangslengde er den delen av røret der momentumgrenselaget vokser og hastighetsfordelingen endres med lengden. Den faste hastighetsfordelingen i det fullt utviklede området kalles fullt utviklet hastighetsprofil. Steady-state kontinuitet og bevaring av momentumligninger i to-dimensjonale er

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} = 0,}$

( 1 )

${\ displaystyle u {{\ partial u} \ over {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} = - {{\ frac {1} {\ varrho}} {\ frac {\ partial P} {\ partial x}}} + \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ { 2} u} {\ partial y ^ {2}}} \ høyre),}$

( 2 )

${\ displaystyle u {{\ partial v} \ over {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} = - {{\ frac {1} {\ varrho}} {\ frac {\ partial P} {\ partial y}}} + \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ { 2} v} {\ partial y ^ {2}}} \ høyre),}$

( 3 )

Disse ligningene kan forenkles ved å bruke skala-analyse. Når som helst i den fullt utviklede sonen har vi og . Nå, fra ligning ( 1 ), er den tverrgående hastighetskomponenten i det fullt utviklede området forenklet ved hjelp av skalering som ${\ displaystyle x \ sim L}$${\ displaystyle y \ sim \ delta}$${\ displaystyle u \ sim U _ {\ infty}}$

${\ displaystyle v \ sim {\ frac {U _ {\ infty} \ delta} {L}}}$

( 4 )

I det fullt utviklede området , slik at skalaen på tverrhastigheten er ubetydelig fra ligning ( 4 ). Derfor i kontinuerlig utviklet flyt krever kontinuitetsligningen det ${\ displaystyle L \ gg \ delta}$

${\ displaystyle v = 0, {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0}$

( 5 )

Basert på ligning ( 5 ), reduseres y-momentumligningen ( 3 ) til

${\ displaystyle {\ frac {\ partial P} {\ partial y}} = 0}$

( 6 )

dette betyr at P bare er funksjon av x . Fra dette blir x momentumligningen

${\ displaystyle {\ frac {dP} {dx}} = \ mu {\ frac {d ^ {2} u} {dy ^ {2}}} = {\ text {konstant}}}$

( 7 )

Hvert begrep skal være konstant, fordi venstre side bare er funksjon av x og høyre er funksjon av y . Løsning av ligning ( 7 ) underlagt randbetingelsen

${\ displaystyle u = 0, y = \ pm {\ frac {D} {2}}}$

( 8 )

dette resulterer i den velkjente Hagen – Poiseuille-løsningen for fullt utviklet strømning mellom parallelle plater.

${\ displaystyle u = {\ frac {3} {2}} U \ left [1 - {\ left ({\ frac {y} {D / 2}} \ right)} ^ {2} \ right]}$

( 9 )

${\ displaystyle U = {\ frac {D ^ {2}} {12 \ mu}} \ left (- {\ frac {dP} {dx}} \ right)}$

( 10 )

der y måles vekk fra sentrum av kanalen. Hastigheten skal være parabolsk og er proporsjonal med trykket per kanallengdenhet i strømningsretningen.

Se også

• Tilnærming
• Dimensjonal analyse

Referanser

• Barenblatt, GI (1996). Skalering, selvlikhet og mellomstore asymptotika . Cambridge University Press. ISBN 0-521-43522-6.
• Tennekes, H .; Lumley, John L. (1972). Et første kurs i turbulens . MIT Press, Cambridge, Massachusetts. ISBN 0-262-20019-8.
• Bejan, A. (2004). Konveksjon varmeoverføring . John Wiley & sons. ISBN 978-81-265-0934-8.
• Kays, WM, Crawford ME (2012). Konvektiv varme og masseoverføring . McGraw Hill Education (India). ISBN 978-1-25-902562-4.CS1 maint: flere navn: forfatterliste ( lenke )

Eksterne linker

• Skalaanalyse og Reynolds-tall