Jevn morfisme - Smooth morphism

I algebraisk geometri sies en morfisme mellom ordningene å være jevn hvis ${\ displaystyle f: X \ to S}$

• (i) det er lokalt for endelig presentasjon
• (ii) den er flat , og
• (iii) fiberen er regelmessig for hvert geometrisk punkt .${\ displaystyle {\ overline {s}} \ til S}$${\ displaystyle X _ {\ overline {s}} = X \ ganger _ {S} {\ overline {s}}}$

(iii) betyr at hver geometrisk fiber av f er en ikke- ensformig variant (hvis den er separert). Intuitivt sett gir en jevn morfisme en flat familie av ikke-ensformede varianter.

Hvis S er spekteret til et algebraisk lukket felt og f er av begrenset type, gjenoppretter man definisjonen av en ikke-ensformig variasjon.

Ekvivalente definisjoner

Det er mange likeverdige definisjoner av en jevn morfisme. La være lokalt av en fin presentasjon. Da er følgende likeverdige. ${\ displaystyle f: X \ to S}$

1. f er glatt.
2. f er formelt glatt (se nedenfor).
3. f er flat og skjeven med relative forskjeller er lokalt fri for rang som tilsvarer den relative dimensjonen til .${\ displaystyle \ Omega _ {X / S}}$${\ displaystyle X / S}$
4. For noen , eksisterer det et nabolag av x og et nabolag av slik at og den ideelle generert av m -by- m mindreårige av er B .${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} B}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} A}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle B = A [t_ {1}, \ dots, t_ {n}] / (P_ {1}, \ dots, P_ {m})}$${\ displaystyle (\ partiell P_ {i} / \ partiell t_ {j})}$
5. Lokalt er faktorer f der g er étale.${\ displaystyle X {\ overset {g} {\ to}} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n} \ til S}$
6. Lokalt er faktorer f der g er étale.${\ displaystyle X {\ overset {g} {\ to}} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n} \ til \ mathbb {A} _ {S} ^ {n-1} \ til \ cdots \ til \ mathbb {A} _ {S} ^ {1} \ til S}$

En morphism av endelig type er Etale hvis og bare hvis det er glatt og kvasi-endelig .

En jevn morfisme er stabil under baseendring og sammensetning. En jevn morfisme er lokalt av endelig presentasjon.

En jevn morfisme er universelt lokalt acyklisk .

eksempler

Glatte morfismer antas å geometrisk samsvare med glatte nedtrekk i differensialgeometri; det vil si at de er glatte lokalt trivielle fibrasjoner over noe baserom (av Ehresmanns teorem).

Glatt morfisme til et poeng

La være ordningenes morfisme ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle {\ text {Spec}} _ {\ mathbb {C}} \ venstre ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(f = y ^ {2} -x ^ {3 } -x-1)}} \ høyre) \ til {\ text {Spes.}} (\ matematikk {C})}$

Det er glatt på grunn av den jacobobiske tilstanden: den jakboiske matrisen

${\ displaystyle [3x ^ {2} -1, y]}$

forsvinner på punktene som har et tomt skjæringspunkt med polynomet, siden ${\ displaystyle (1 / {\ sqrt {3}}, 0), (- 1 / {\ sqrt {3}}, 0)}$

${\ displaystyle {\ begynne {linje} f (1 / {\ sqrt {3}}, 0) & = 1 - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} - {\ frac {1} {3 {\ sqrt {3}}}} \\ f (-1 / {\ sqrt {3}}, 0) & = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} + {\ frac {1} { 3 {\ sqrt {3}}}} - 1 \ slutt {justert}}}$

som begge er ikke-null.

Triviale vibrasjoner

Gitt et jevnt skjema projeksjonsmorfismen ${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle Y \ ganger X \ til X}$

er glatt.

Vektorbunter

Hver vektorbunt over et skjema er en jevn morfisme. For eksempel kan det vises at den tilhørende vektorbunten av over er det vektede projeksjonsrommet minus et punkt ${\ displaystyle E \ to X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (k)}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ displaystyle O (k) = \ mathbb {P} (1, \ ldots, 1, k) - \ {[0: \ cdots: 0: 1] \} \ til \ mathbb {P} ^ {n}}$

sende

${\ displaystyle [x_ {0}: \ cdots: x_ {n}: x_ {n + 1}] \ til [x_ {0}: \ cdots: x_ {n}]}$

Legg merke til at buntene med direkte sum kan konstrueres ved hjelp av fiberproduktet ${\ displaystyle O (k) \ oplus O (l)}$

${\ displaystyle O (k) \ oplus O (l) = O (k) \ ganger _ {X} O (l)}$

Separable feltutvidelser

Husk at en feltutvidelse kalles separerbar iff gitt en presentasjon ${\ displaystyle K \ to L}$

${\ displaystyle L = {\ frac {K [x]} {(f (x))}}}$

det har vi . Vi kan tolke denne definisjonen på nytt i forhold til kahler-differensialer som følger: feltutvidelsen er separerbar iff ${\ displaystyle gcd (f (x), f '(x)) = 1}$

${\ displaystyle \ Omega _ {L / K} = 0}$

Legg merke til at dette inkluderer alle perfekte felt: endelige felt og felt med karakteristisk 0.

Ikke-Eksempler

Enkeltvarianter

Hvis vi vurderer den underliggende algebraen for en projektiv variant , kalt affinekeglen til , er punktet ved opprinnelsen alltid entall. Tenk for eksempel på keglen til en kvintfold som er gitt av ${\ displaystyle {\ text {Spec}}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle 3}$

${\ displaystyle x_ {0} ^ {5} + x_ {1} ^ {5} + x_ {2} ^ {5} + x_ {3} ^ {5} + x_ {4} ^ {5}}$

Da er den Jacobianske matrisen gitt av

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 5x_ {0} ^ {4} & 5x_ {1} ^ {4} & 5x_ {2} ^ {4} & 5x_ {3} ^ {4} & 5x_ {4} ^ {4} \ end {bmatrix}}}$

som forsvinner ved opprinnelsen, og kjeglen er derfor ikke-entall. Affineoverflater som disse er populære i singularitetsteori på grunn av deres relativt enkle algebra, men rike underliggende strukturer.

Et annet eksempel på en enestående variant er den projektive kjeglen av en jevn variasjon: gitt en jevn projeksjonssort er dens projeksjonelle kjegle forening av alle linjer i kryss . For eksempel poengets kegle ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n + 1}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ text {Proj}} \ venstre ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(x ^ {4} + y ^ {4})}} \ høyre)}$

er ordningen

${\ displaystyle {\ text {Proj}} \ venstre ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z]} {(x ^ {4} + y ^ {4})}} \ høyre)}$

Hvis vi ser i diagrammet er dette ordningen ${\ displaystyle z \ neq 0}$

${\ displaystyle {\ text {Spec}} \ venstre ({\ frac {\ mathbb {C} [X, Y]} {(X ^ {4} + Y ^ {4})}} \ høyre)}$

og projiser den ned til affinlinjen , dette er en familie på fire punkter som degenererer ved opprinnelsen. Ikke-singulariteten til dette skjemaet kan også kontrolleres ved bruk av den jakobiske tilstanden. ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {Y} ^ {1}}$

Degenererende familier

Tenk på den flate familien

${\ displaystyle {\ text {Spec}} \ venstre ({\ frac {\ mathbb {C} [t, x, y]} {(xy-t)}} \ høyre) \ til \ mathbb {A} _ { t} ^ {1}}$

Da er fibrene glatte, bortsett fra punktet ved opprinnelsen. Siden glattheten er stabil under base-endring, er ikke denne familien jevn.

Ikke-separerbare feltutvidelser

For eksempel er feltet ikke-separerbart, og dermed er den tilknyttede morfismen til ordninger ikke jevn. Hvis vi ser på det minimale polynomet av feltforlengelsen, ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p} (t ^ {p}) \ til \ mathbb {F} _ {p} (t)}$

${\ displaystyle f (x) = x ^ {p} -t ^ {p}}$

da vil kahler-differensialene være ikke-null. ${\ displaystyle df = 0}$

Formelt glatt morfisme

Man kan definere glatthet uten henvisning til geometri. Vi sier at et S- skjema X er formelt glatt hvis det for noen affinert S- skjema T og et underskjema av T gitt av et nilpotent ideal, er surektiv der vi skrev . Da er en morfisme lokalt av begrenset type glatt hvis og bare hvis den formelt er glatt. ${\ displaystyle T_ {0}}$${\ displaystyle X (T) \ to X (T_ {0})}$${\ displaystyle X (T) = \ operatorname {Hom} _ {S} (T, X)}$

I definisjonen av "formelt glatt", hvis vi erstatter surektiv med "bijektiv" (resp. "Injeksjonsmiddel"), så får vi definisjonen av formelt étale (resp. Formelt upramifisert ).

Jevn baseendring

La S være et skjema og betegne bildet av strukturkartet . Det glatte teoretiske grunnskiftet sier følgende: la være en kvasi-kompakt morfisme , en jevn morfisme og en torsjonsskive på . Hvis for hver i , er injektiv, så baseendring morphism er en isomorfi. ${\ displaystyle \ operatorname {char} (S)}$${\ displaystyle S \ to \ operatorname {Spec} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle f: X \ to S}$${\ displaystyle g: S '\ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X _ {\ text {et}}}$${\ displaystyle 0 \ neq p}$${\ displaystyle \ operatorname {char} (S)}$${\ displaystyle p: {\ mathcal {F}} \ til {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle g ^ {*} (R ^ {i} f _ {*} {\ mathcal {F}}) \ til R ^ {i} f '_ {*} (g' ^ {*} {\ mathcal { F}})}$

Se også

• jevn algebra
• regelmessig innebygging

referanser

• JS Milne (2012). " Foredrag om Étale kohomologi "
• JS Milne. Étale kohomologi , bind 33 i Princeton Mathematical Series. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1980.