Kvadratisk integrerbar funksjon - Square-integrable function

I matematikk , en kvadratisk integrerbar funksjon , også kalt en kvadratisk integrerbar funksjon eller funksjon , er en reell - eller kompleks -valued målbar funksjon for hvilken integralet av kvadratet av den absolutte verdi er begrenset. Dermed er kvadratintegrerbarhet på den virkelige linjen definert som følger. ${\ displaystyle L^{2}}$${\ displaystyle (-\ infty,+\ infty)}$

Man kan også snakke om kvadratisk integrabilitet løpet avgrenset intervaller som for . ${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle a \ leq b}$

En tilsvarende definisjon er å si at kvadratet til selve funksjonen (i stedet for dens absolutte verdi) er Lebesgue -integrerbar . For at dette skal være sant, må integralene i den positive og negative delen av den virkelige delen både være begrensede, så vel som de for den imaginære delen.

Vektorrommet for kvadratiske integrerbare funksjoner (med hensyn til Lebesgue -mål) danner L ^p -rommet med . Blant L ^p -områdene er klassen med firkantede integrerbare funksjoner unik ved å være kompatibel med et indre produkt , noe som gjør at begreper som vinkel og ortogonalitet kan defineres. Sammen med dette indre produktet, de firkantede integrerbare funksjoner danne en Hilbert plass , siden alle de L ^p mellomrom er fullstendig under sine respektive p -norms . ${\ displaystyle p = 2}$

Ofte brukes begrepet ikke for å referere til en bestemt funksjon, men til ekvivalensklasser av funksjoner som er like nesten overalt .

Egenskaper

De firkantede integrerbare funksjonene (i den nevnte betydningen der en "funksjon" faktisk betyr en ekvivalensklasse av funksjoner som er like nesten overalt) danner et indre produktrom med indre produkt gitt av

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {A} {\ overline {f (x)}} g (x) \, \ mathrm {d} x}$

hvor

• ${\ displaystyle f}$og er firkantede integrerbare funksjoner,${\ displaystyle g}$
• ${\ displaystyle {\ overline {f (x)}}}$er det komplekse konjugatet av ,${\ displaystyle f (x)}$
• ${\ displaystyle A}$er settet som man integrerer - i den første definisjonen (gitt i innledningen ovenfor) er ; i det andre, er .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (-\ infty,+\ infty)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle [a, b]}$

Siden er kvadratisk integritet det samme som å si ${\ displaystyle | a |^{2} = a \ cdot {\ overline {a}}}$

${\ displaystyle \ langle f, f \ rangle <\ infty. \,}$

Det kan vises at firkantede integrerbare funksjoner danner et komplett metrisk rom under metrikken indusert av det indre produktet definert ovenfor. Et komplett metrisk rom kalles også et Cauchy -rom , fordi sekvenser i slike metriske rom konvergerer hvis og bare hvis de er Cauchy . Et mellomrom som er komplett under metriken indusert av en norm er et Banach -rom . Derfor er plassen med firkantede integrerbare funksjoner et Banach -rom, under metriken indusert av normen, som igjen induseres av det indre produktet. Siden vi har den ekstra egenskapen til det indre produktet, er dette spesielt et Hilbert -rom , fordi plassen er fullstendig under metriken indusert av det indre produktet.

Dette indre produktrommet er konvensjonelt betegnet med og mange ganger forkortet som . Merk at det angir settet med kvadratiske integrerbare funksjoner, men ingen valg av metriske, normer eller indre produkter er spesifisert av denne notasjonen. Settet, sammen med det spesifikke indre produktet, angir det indre produktrommet. ${\ displaystyle \ left (L_ {2}, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {2} \ right)}$${\ displaystyle L_ {2}}$${\ displaystyle L_ {2}}$${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {2}}$

Plassen med firkantede integrerbare funksjoner er L ^p -rommet der . ${\ displaystyle p = 2}$

Eksempler

• ${\ displaystyle {\ frac {1} {x^{n}}}}$, definert på (0,1), er i L ² for, men ikke for .${\ displaystyle n <{\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle n = {\ frac {1} {2}}}$

• Avgrensede funksjoner, definert på [0,1]. Disse funksjonene er også i L ^p , for enhver verdi på p .
• ${\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}$, definert på .${\ displaystyle [1, \ infty)}$

Ikke-eksempler

• ${\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}$, definert på [0,1], hvor verdien ved 0 er vilkårlig. Videre er denne funksjonen ikke i L ^p for noen verdi av p in .${\ displaystyle [1, \ infty)}$

Se også

• L ^p plass

Referanser