Summasjon - Summation

Aritmetiske operasjoner v t e

Tillegg (+) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \,+\, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {summand}} \,+\ , {\ text {summand}} \\\ scriptstyle {\ text {addend}} \,+\, {\ text {addend}} \\\ scriptstyle {\ text {augend}} \,+\, {\ text {addend}} \ end {matrise}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {sum}}}$ Subtraksjon ( -) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \,-\, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {minuend}} \,-\ , {\ text {subtrahend}} \ end {matrise}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {difference}}}$ Multiplikasjon (×) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {factor}} \, \ times \, {\ text {factor}} \\\ scriptstyle {\ text {multiplier}} \, \ ganger \, {\ text {multiplicand}} \ end {matrise}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {product}}}$ Divisjon (÷) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {dividend}}} {\ scriptstyle {\ text {divisor}}}} \\\ scriptstyle {\ text { }} \\\ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {numerator}}} {\ scriptstyle {\ text {nevner}}}} \ end {matrise}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrise} \ scriptstyle {\ text {fraction}} \\\ scriptstyle {\ text {quotient}} \\\ scriptstyle {\ text {ratio}} \ end {matrix}}}$ Eksponentiering ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {base}}^{\ text {eksponent}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {power}}}$ n rot (√) ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt [{\ text {degree}}] {\ scriptstyle {\ text {radicand}}}}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {root}}}$ Logaritme (logg) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ log _ {\ text {base}} ({\ text {anti-logaritme}}) \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {logaritme}}}$

I matematikk , summering er tilsetning av en sekvens av enhver form for tall , kalt addends eller summands ; resultatet er deres sum eller sum . Ved siden av tall kan også andre typer verdier summeres: funksjoner , vektorer , matriser , polynomer og generelt elementer av alle typer matematiske objekter der en operasjon betegnet "+" er definert.

Summasjoner av uendelige sekvenser kalles serier . De involverer begrepet grense , og blir ikke vurdert i denne artikkelen.

Summeringen av en eksplisitt sekvens er betegnet som en rekke tillegg. For eksempel er summering av [1, 2, 4, 2] betegnet 1 + 2 + 4 + 2 , og resulterer i 9, det vil si 1 + 2 + 4 + 2 = 9 . Fordi tillegg er assosiativ og kommutativ , er det ikke behov for parenteser, og resultatet er det samme uavhengig av rekkefølgen på summen. Sammendrag av en sekvens av bare ett element resulterer i dette elementet selv. Summering av en tom sekvens (en sekvens uten elementer), etter konvensjon, resulterer i 0.

Svært ofte er elementene i en sekvens definert, gjennom vanlig mønster, som en funksjon av deres plass i sekvensen. For enkle mønstre kan summering av lange sekvenser være representert med de fleste summen erstattet av ellipser. For eksempel kan summering av de første 100 naturlige tallene skrives som 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100 . Ellers betegnes summering ved å bruke Σ -notasjon , hvor det er en forstørret gresk stor bokstav sigma . For eksempel kan summen av de første n naturlige tallene betegnes som${\ textstyle \ sum}$ ${\ textstyle \ sum _ {i = 1}^{n} i.}$

For lange summeringer og summeringer av variabel lengde (definert med ellipser eller Σ notasjoner), er det et vanlig problem å finne lukkede uttrykk for resultatet. For eksempel,

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} i = {\ frac {n (n+1)} {2}}.}$

Selv om slike formler ikke alltid eksisterer, har mange oppsummeringsformler blitt oppdaget - med noen av de vanligste og elementære formlene som er oppført i resten av denne artikkelen.

Notasjon

Capital-sigma notasjon

Oppsummeringssymbolet

Matematisk notasjon bruker et symbol som kompakt representerer summering av mange lignende begreper: den summering symbol , en forstørret form av stående hovedstaden greske bokstaven sigma . Dette er definert som ${\ textstyle \ sum}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ mathop {=} m}^{n} a_ {i} = a_ {m}+a_ {m+1}+a_ {m+2}+\ cdots+a_ {n- 1}+a_ {n}}$

hvor i er summeringsindeksen ; a _i er en indeksert variabel som representerer hver term i summen; m er den nedre grensen for summering , og n er den øvre grensen for summering . " I = m " under summeringssymbolet betyr at indeksen i starter lik m . Indeksen, i , økes med en for hvert påfølgende begrep, og stopper når i = n .

Dette leses som "summen av et _i , fra i = m til n ".

Her er et eksempel som viser summeringen av firkanter:

${\ displaystyle \ sum _ {i = 3}^{6} i^{2} = 3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2} = 86.}$

Generelt, mens en hvilken som helst variabel kan benyttes som indeks for summering (forutsatt at ingen tvetydighet pådras), noen av de vanligste er tegn som , , , og ; sistnevnte brukes også ofte for øvre grense for en summering. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$

Alternativt blir indeks og summeringsgrenser noen ganger utelatt fra definisjonen av summering hvis konteksten er tilstrekkelig klar. Dette gjelder spesielt når indeksen går fra 1 til n . For eksempel kan man skrive at:

${\ displaystyle \ sum a_ {i}^{2} = \ sum _ {i = 1}^{n} a_ {i}^{2}.}$

Man ser ofte generaliseringer av denne notasjonen der en vilkårlig logisk betingelse er gitt, og summen er ment å bli overtatt alle verdier som tilfredsstiller betingelsen. For eksempel:

${\ displaystyle \ sum _ {0 \ leq k <100} f (k)}$

er summen av over alle ( heltall ) i det angitte området, ${\ displaystyle f (k)}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle \ sum _ {x \ mathop {\ in} S} f (x)}$

er summen av over alle elementene i settet , og ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ sum _ {d \, | \, n} \; \ mu (d)}$

er summen av over alle positive heltall som deler seg . ${\ displaystyle \ mu (d)}$${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle n}$

Det er også måter å generalisere bruken av mange sigma -tegn. For eksempel,

${\ displaystyle \ sum _ {i, j}}$

er det samme som

${\ displaystyle \ sum _ {i} \ sum _ {j}.}$

En lignende notasjon brukes når det gjelder å betegne produktet av en sekvens , som ligner sin summering, men som bruker multiplikasjonsoperasjonen i stedet for addisjon (og gir 1 for en tom sekvens i stedet for 0). Den samme grunnstrukturen brukes, med en forstørret form av den greske store bokstaven pi , som erstatter . ${\ textstyle \ prod}$${\ textstyle \ sum}$

Spesielle tilfeller

Det er mulig å summere færre enn 2 tall:

• Hvis summeringen har ett summen , er den evaluerte summen .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$
• Hvis summeringen ikke har noen summen, er den evaluerte summen null , fordi null er identiteten for tillegg. Dette er kjent som den tomme summen .

Disse degenererte tilfellene brukes vanligvis bare når summeringsnotasjonen gir et degenerert resultat i et spesielt tilfelle. For eksempel, hvis i definisjonen ovenfor, er det bare ett begrep i summen; hvis , så er det ingen. ${\ displaystyle n = m}$${\ displaystyle n = m-1}$

Formell definisjon

Summasjon kan defineres rekursivt som følger:

${\ displaystyle \ sum _ {i = a}^{b} g (i) = 0}$, for b < a ;

${\ displaystyle \ sum _ {i = a}^{b} g (i) = g (b)+\ sum _ {i = a}^{b-1} g (i)}$, for b ≥ a .

Mål teorienotasjon

I notasjonen mål og integrasjonsteori kan en sum uttrykkes som en bestemt integral ,

${\ displaystyle \ sum _ {k \ mathop {=} a}^{b} f (k) = \ int _ {[a, b]} f \, d \ mu}$

hvor er delsettet av heltallene fra til , og hvor er tellemålet . ${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ mu}$

Beregning av begrensede forskjeller

Gitt en funksjon f som er definert over heltallene i intervallet [ m , n ] , holder følgende ligning:

${\ displaystyle f (n) -f (m) = \ sum _ {i = m}^{n-1} (f (i+1) -f (i)).}$

Dette er analogen til den grunnleggende teoremet for beregning i beregning av begrensede forskjeller , som sier at:

${\ displaystyle f (n) -f (m) = \ int _ {m}^{n} f '(x) \, dx,}$

hvor

${\ displaystyle f '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}}}$

er derivatet av f .

Et eksempel på anvendelse av ligningen ovenfor er følgende:

${\ displaystyle n^{k} = \ sum _ {i = 0}^{n-1} \ venstre ((i+1)^{k} -i^{k} \ høyre).}$

Ved bruk av binomial setning kan dette skrives om til:

${\ displaystyle n^{k} = \ sum _ {i = 0}^{n-1} \ venstre (\ sum _ {j = 0}^{i-1} {\ binom {k} {j}} i^{j} \ høyre).}$

Formelen ovenfor er mer vanlig for å invertere differensoperatoren , definert av: ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle \ Delta (f) (n) = f (n+1) -f (n),}$

hvor f er en funksjon definert på de ikke -negative heltallene. Således gitt en slik funksjon f , er problemet å beregne antidifferansen til f , en funksjon slik at . Det vil si, Denne funksjonen er definert opp til tillegg av en konstant, og kan velges som ${\ displaystyle F = \ Delta ^{-1} f}$${\ displaystyle \ Delta F = f}$${\ displaystyle F (n+1) -F (n) = f (n).}$

${\ displaystyle F (n) = \ sum _ {i = 0}^{n-1} f (i).}$

Det er ikke alltid et lukket formuttrykk for en slik summering, men Faulhabers formel gir en lukket form i tilfellet der og, ved lineæritet , for hver polynomfunksjon av n . ${\ displaystyle f (n) = n^{k}}$

Tilnærming av bestemte integraler

Mange slike tilnærminger kan oppnås ved følgende forbindelse mellom summer og integraler , som gjelder for enhver økende funksjon f :

${\ displaystyle \ int _ {s = a-1}^{b} f (s) \ ds \ leq \ sum _ {i = a}^{b} f (i) \ leq \ int _ {s = a }^{b+1} f (s) \ ds.}$

og for eventuell synkende funksjon f :

${\ displaystyle \ int _ {s = a}^{b+1} f (s) \ ds \ leq \ sum _ {i = a}^{b} f (i) \ leq \ int _ {s = a -1}^{b} f (s) \ ds.}$

For mer generelle tilnærminger, se formelen Euler - Maclaurin .

For summeringer der summen er gitt (eller kan interpoleres) av en integrerbar funksjon av indeksen, kan summeringen tolkes som en Riemann -sum som forekommer i definisjonen av det tilsvarende bestemte integralet. Man kan derfor forvente det for eksempel

${\ displaystyle {\ frac {ba} {n}} \ sum _ {i = 0}^{n-1} f \ venstre (a+i {\ frac {ba} {n}} \ høyre) \ approx \ int _ {a}^{b} f (x) \ dx,}$

siden høyre side per definisjon er grensen for venstre side. Imidlertid, for en gitt summering n er fast, og lite kan sies om feilen i den førnevnte tilnærmelsen uten ytterligere antagelser om f : det er klart at for vilt oscillerende funksjoner Riemann summen kan være vilkårlig langt fra Riemann integralet. ${\ displaystyle n \ to \ infty}$

Identiteter

Formlene nedenfor innebærer begrensede summer; for uendelige summeringer eller endelige summeringer av uttrykk som involverer trigonometriske funksjoner eller andre transcendentale funksjoner , se liste over matematiske serier .

Generelle identiteter

${\ displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} C \ cdot f (n) = C \ cdot \ sum _ {n = s}^{t} f (n) \ quad}$( distribusjon )

${\ displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} f (n) \ pm \ sum _ {n = s}^{t} g (n) = \ sum _ {n = s}^{t} \ venstre (f (n) \ pm g (n) \ høyre) \ quad}$( kommutativitet og assosiativitet )

${\ displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} f (n) = \ sum _ {n = s+p}^{t+p} f (np) \ quad}$ (indeksskifte)

${\ displaystyle \ sum _ {n \ i B} f (n) = \ sum _ {m \ i A} f (\ sigma (m)), \ quad}$for en byeksjon σ fra et endelig sett A til et sett B (indeksendring); dette generaliserer den foregående formelen.

${\ displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} f (n) = \ sum _ {n = s}^{j} f (n)+\ sum _ {n = j+1}^{t } f (n) \ quad}$(dele en sum ved å bruke assosiativitet )

${\ displaystyle \ sum _ {n = a}^{b} f (n) = \ sum _ {n = 0}^{b} f (n)-\ sum _ {n = 0}^{a-1 } f (n) \ quad}$ (en variant av den foregående formelen)

${\ displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} f (n) = \ sum _ {n = 0}^{ts} f (tn) \ quad}$ (summen fra det første uttrykket til det siste er lik summen fra det siste ned til det første)

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0}^{t} f (n) = \ sum _ {n = 0}^{t} f (tn) \ quad}$ (et spesielt tilfelle av formelen ovenfor)

${\ displaystyle \ sum _ {i = k_ {0}}^{k_ {1}} \ sum _ {j = l_ {0}}^{l_ {1}} a_ {i, j} = \ sum _ { j = l_ {0}}^{l_ {1}} \ sum _ {i = k_ {0}}^{k_ {1}} a_ {i, j} \ quad}$ (kommutativitet og assosiativitet, igjen)

${\ displaystyle \ sum _ {k \ leq j \ leq i \ leq n} a_ {i, j} = \ sum _ {i = k}^{n} \ sum _ {j = k}^{i} a_ {i, j} = \ sum _ {j = k}^{n} \ sum _ {i = j}^{n} a_ {i, j} = \ sum _ {j = 0}^{nk} \ sum _ {i = k}^{nj} a_ {i+j, i} \ quad}$ (en annen anvendelse av kommutativitet og assosiativitet)

${\ displaystyle \ sum _ {n = 2s}^{2t+1} f (n) = \ sum _ {n = s}^{t} f (2n)+\ sum _ {n = s}^{t } f (2n+1) \ quad}$(dele en sum i oddetall og partall , for jevne indekser)

${\ displaystyle \ sum _ {n = 2s+1}^{2t} f (n) = \ sum _ {n = s+1}^{t} f (2n)+\ sum _ {n = s+1 }^{t} f (2n-1) \ quad}$ (dele en sum i oddetall og partall for oddetall)

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 0}^{n} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = 0}^{n} b_ {j} \ right) = \ sum _ {i = 0}^{n} \ sum _ {j = 0}^{n} a_ {i} b_ {j} \ quad}$( distribusjon )

${\ displaystyle \ sum _ {i = s}^{m} \ sum _ {j = t}^{n} {a_ {i}} {c_ {j}} = \ venstre (\ sum _ {i = s }^{m} a_ {i} \ høyre) \ venstre (\ sum _ {j = t}^{n} c_ {j} \ høyre) \ quad}$ (distribusjon muliggjør faktorisering)

${\ displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} \ log _ {b} f (n) = \ log _ {b} \ prod _ {n = s}^{t} f (n) \ quad }$( logaritmen til et produkt er summen av logaritmene til faktorene)

${\ displaystyle C^{\ sum \ limit _ {n = s}^{t} f (n)} = \ prod _ {n = s}^{t} C^{f (n)} \ quad}$( eksponentiell for en sum er produktet av eksponentiell for summen)

Evner og logaritme for aritmetiske progresjoner

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} c = nc \ quad}$for hver c som ikke er avhengig av i

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i = \ sum _ {i = 1}^{n} i = {\ frac {n (n+1)} {2}} \ qquad}$(Summen av den enkleste aritmetiske progresjonen , bestående av de første n naturlige tallene.)

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} (2i-1) = n^{2} \ qquad}$ (Summen av de første oddetallene)

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} 2i = n (n+1) \ qquad}$ (Summen av de første jevne naturlige tallene)

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} \ log i = \ logg n! \ qquad}$(En sum av logaritmer er produktets logaritme)

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i^{2} = \ sum _ {i = 1}^{n} i^{2} = {\ frac {n (n+1) ( 2n+1)} {6}} = {\ frac {n^{3}} {3}}+{\ frac {n^{2}} {2}}+{\ frac {n} {6}} \ qquad}$(Summen av de første rutene , se firkantet pyramidaltall .)

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i^{3} = \ left (\ sum _ {i = 0}^{n} i \ right)^{2} = \ left ({\ frac {n (n+1)} {2}} \ right)^{2} = {\ frac {n^{4}} {4}}+{\ frac {n^{3}} {2}} +{\ frac {n^{2}} {4}} \ qquad}$( Nicomachos teorem )

Mer generelt har man Faulhabers formel for${\ displaystyle p> 1}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{n} k^{p} = {\ frac {n^{p+1}} {p+1}}+{\ frac {1} {2}} n^{p}+\ sum _ {k = 2}^{p} {\ binom {p} {k}} {\ frac {B_ {k}} {p-k+1}} \, n^{ p-k+1},}$

hvor betegner et Bernoulli -tall , og er en binomial koeffisient . ${\ displaystyle B_ {k}}$${\ displaystyle {\ binom {p} {k}}}$

Summasjonsindeks i eksponenter

I de følgende summeringene, en antas å være forskjellig fra en.

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n-1} a^{i} = {\ frac {1-a^{n}} {1-a}}}$(summen av en geometrisk progresjon )

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n-1} {\ frac {1} {2^{i}}} = 2-{\ frac {1} {2^{n-1}}} }$(spesialtilfelle for a = 1/2 )

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n-1} ia^{i} = {\ frac {a-na^{n}+(n-1) a^{n+1}} {( 1-a)^{2}}}}$( A ganger den deriverte med hensyn til en av den geometriske progresjon)

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ sum _ {i = 0}^{n-1} \ venstre (b+id \ høyre) a^{i} & = b \ sum _ {i = 0}^{ n-1} a^{i}+d \ sum _ {i = 0}^{n-1} ia^{i} \\ & = b \ venstre ({\ frac {1-a^{n}} {1-a}} \ høyre)+d \ venstre ({\ frac {a-na^{n}+(n-1) a^{n+1}} {(1-a)^{2}} } \ høyre) \\ & = {\ frac {b (1-a^{n})-(n-1) da^{n}} {1-a}}+{\ frac {da (1-a ^{n-1})} {(1-a)^{2}}} \ end {justert}}}$

(summen av en aritmetisk - geometrisk sekvens )

Binomiske koeffisienter og faktorier

Det finnes veldig mange summeringsidentiteter som involverer binomiske koeffisienter (et helt kapittel i betongmatematikk er viet til bare de grunnleggende teknikkene). Noen av de mest grunnleggende er følgende.

Involverer det binomiske teoremet

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {n \ velg i} a^{ni} b^{i} = (a+b)^{n},}$den binomialformelen

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {n \ velg i} = 2^{n},}$det spesielle tilfellet der a = b = 1

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {n \ velg i} p^{i} (1-p)^{ni} = 1}$, det spesielle tilfellet der p = a = 1 - b , som for uttrykker summen av den binomiske fordelingen${\ displaystyle 0 \ leq p \ leq 1,}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i {n \ velg i} = n (2^{n-1}),}$verdien ved a = b = 1 av derivatet i forhold til a av binomialsetningen

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {\ frac {n \ velg i} {i+1}} = {\ frac {2^{n+1} -1} {n+1} },}$verdien på a = b = 1 av antiderivativet med hensyn til a på binomialsetningen

Involvering av permutasjonstall

I de følgende summeringene er antall k -permutasjoner av n . ${\ displaystyle {} _ {n} P_ {k}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {} _ {i} P_ {k} {n \ velg i} = {} _ {n} P_ {k} (2^{nk})}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} {} _ {i+k} P_ {k+1} = \ sum _ {i = 1}^{n} \ prod _ {j = 0} ^{k} (i+j) = {\ frac {(n+k+1)!} {(n-1)! (k+2)}}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i! \ cdot {n \ velg i} = \ sum _ {i = 0}^{n} {} _ {n} P_ {i} = \ lfloor n! \ cdot e \ rfloor, \ quad n \ in \ mathbb {Z} ^{+}}$, hvor og betegner gulvfunksjonen .${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$

Andre

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0}^{m} {\ binom {n+k} {n}} = {\ binom {n+m+1} {n+1}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = k}^{n} {i \ velg k} = {n+1 \ velg k+1}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i \ cdot i! = (n+1)!-1}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {m+i-1 \ velg i} = {m+n \ velg n}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {n \ velg i}^{2} = {2n \ velg n}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {\ frac {1} {i!}} = {\ frac {\ lfloor n! \; e \ rfloor} {n!}}}$

Harmoniske tall

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {1} {i}} = H_ {n}}$(som er den n- te harmoniske nummer )

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {1} {i^{k}}} = H_ {n}^{k}}$(det er et generalisert harmonisk tall )

Vekstrater

Følgende er nyttige tilnærminger (ved bruk av theta -notasjon ):

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} i^{c} \ in \ Theta (n^{c+1})}$for ekte c større enn -1

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {1} {i}} \ in \ Theta (\ log _ {e} n)}$(Se Harmonisk nummer )

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} c^{i} \ in \ Theta (c^{n})}$for ekte c større enn 1

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} \ log (i)^{c} \ in \ Theta (n \ cdot \ log (n)^{c})}$for ikke-negative virkelige c

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} \ log (i)^{c} \ cdot i^{d} \ in \ Theta (n^{d+1} \ cdot \ log (n) ^{c})}$for ikke-negative virkelige c , d

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} \ log (i)^{c} \ cdot i^{d} \ cdot b^{i} \ in \ Theta (n^{d} \ cdot \ log (n)^{c} \ cdot b^{n})}$for ikke-negative virkelige b > 1, c , d

Se også

• Einstein -notasjon
• Iverson brakett
• Iterert binær operasjon
• Kahan summeringsalgoritme
• Produkter av sekvenser
• Produkt (matematikk)
• Sammendrag av deler
• Σ summeringen enkelttegn (U + 2211 N-ARY summering )
• Beginning begynnelsen på den sammenkoblede glyfen (U+23B2 SUMMATION TOP )
• ⎳ den sammenkoblede glyfens ende (U+23B3 SUMMATION BOTTOM )

Merknader

Kilder

Eksterne linker

• Media relatert til Summation på Wikimedia Commons