Produkt (matematikk) - Product (mathematics)
Aritmetiske operasjoner | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I matematikk er et produkt et resultat av multiplikasjon , eller et uttrykk som identifiserer faktorer som skal multipliseres. For eksempel er 30 produktet av 6 og 5 (resultatet av multiplikasjon), og er produktet av og (indikerer at de to faktorene bør multipliseres sammen).
Rekkefølgen der reelle eller komplekse tall multipliseres har ingen betydning for produktet; dette er kjent som den kommutative multiplikasjonsloven. Når matriser eller medlemmer av forskjellige andre assosiative algebra multipliseres, er produktet vanligvis avhengig av faktorens rekkefølge. Matrisemultiplikasjon er for eksempel ikke-kommutativ, og det samme er multiplikasjon i andre algebra generelt også.
Det er mange forskjellige typer produkter i matematikk: I tillegg til å kunne multiplisere bare tall, polynomer eller matriser, kan man også definere produkter på mange forskjellige algebraiske strukturer .
Produkt av to tall
Produkt av to naturlige tall
Å plassere flere steiner i et rektangulært mønster med rader og kolonner gir
steiner.
Produkt av to heltall
Heltall tillater positive og negative tall. Produktet deres bestemmes av produktet av deres positive mengder, kombinert med tegnet som stammer fra følgende regel:
(Denne regelen er en nødvendig konsekvens av krevende distribusjon av multiplikasjon over addisjon, og er ikke en tilleggsregel .)
Med ord har vi:
- Minustider Minus gir Pluss
- Minus ganger Pluss gir Minus
- Pluss ganger Minus gir Minus
- Pluss ganger Pluss gir Pluss
Produkt av to fraksjoner
To brøk kan multipliseres ved å multiplisere tellerne og nevnerne:
Produkt av to reelle tall
For en streng definisjon av produktet av to reelle tall, se Konstruksjon av de reelle tallene .
- Formler
Teorem - Anta a > 0 og b > 0 . Hvis 1 < p <∞ og q : = s/p - 1 deretter
- ab = t p a p/s + t - q b q/q.
Definer en virkelig verdi funksjon f på de positive reelle tallene ved
- f ( t ): =t p a p/s + t - q b q/q
for hver t > 0 og deretter beregne minimumet.
Produkt av to komplekse tall
To komplekse tall kan multipliseres med fordelingsloven og det faktum at som følger:
Geometrisk betydning av kompleks multiplikasjon
Komplekse tall kan skrives i polare koordinater :
Dessuten,
som man får fra
Den geometriske betydningen er at størrelsene multipliseres og argumentene legges til.
Produkt av to kvartaler
Produktet av to kvartærer finner du i artikkelen om kvartioner . Note, i dette tilfellet, som og er generelt forskjellig.
Produkt av en sekvens
Produktoperatøren for produktet av en sekvens er angitt med den store greske bokstaven pi Π (analogt med bruk av hovedstaden Sigma Σ som summeringssymbol ). For eksempel er uttrykket en annen måte å skrive på .
Produktet av en sekvens bestående av bare ett tall er nettopp selve tallet; produktet av ingen faktorer i det hele tatt er kjent som det tomme produktet , og er lik 1.
Kommutative ringer
Kommutative ringer har en produktoperasjon.
Restklasser av heltall
Restklasser i ringene kan legges til:
og multiplisert:
Konvolusjon
To funksjoner fra realene til seg selv kan multipliseres på en annen måte, kalt konvolusjonen .
Hvis
deretter integralen
er godt definert og kalles konvolusjonen.
Under Fourier-transformasjonen blir konvolusjon punktvis funksjonsmultiplikasjon.
Polynomiske ringer
Produktet av to polynom er gitt av følgende:
med
Produkter i lineær algebra
Det er mange forskjellige typer produkter innen lineær algebra. Noen av disse har forvirrende like navn ( ytre produkt , utvendig produkt ) med svært forskjellige betydninger, mens andre har veldig forskjellige navn (ytre produkt, tensorprodukt, Kronecker -produkt) og formidler likevel i hovedsak den samme ideen. En kort oversikt over disse er gitt i de følgende avsnittene.
Skalar multiplikasjon
Ved selve definisjonen av et vektorrom kan man danne produktet av en hvilken som helst skalar med en hvilken som helst vektor, noe som gir et kart .
Skalært produkt
Et skalarprodukt er et to-lineært kart:
med følgende betingelser, det for alle .
Fra skalarproduktet kan man definere en norm ved å la .
Skalarproduktet lar en også definere en vinkel mellom to vektorer:
I -dimensjonalt euklidisk rom, er standard skalarproduktet (kalt prikkproduktet ) gitt av:
Kryss produkt i tredimensjonalt rom
Den kryssproduktet av to vektorer i 3-dimensjoner er en vektor vinkelrett på de to faktorene, med lengde lik arealet av parallellogrammet utspent av to faktorer.
Kryssproduktet kan også uttrykkes som den formelle determinanten :
Sammensetning av lineære tilordninger
En lineær kartlegging kan defineres som en funksjon f mellom to vektorrom V og W med underliggende felt F , tilfredsstillende
Hvis man bare vurderer endelige dimensjonale vektorrom, da
der b V og b W betegner basene til V og W , og v i betegner komponenten av v på b V i , og Einstein summeringskonvensjon brukes.
Nå vurderer vi sammensetningen av to lineære avbildninger mellom endelige dimensjonale vektorrom. La den lineære kartlegging f kart V til W , og la den lineære kartlegging g kart W til U . Da kan man få
Eller i matriseform:
der i -row, j -kolonne -elementet i F , betegnet med F ij , er f j i , og G ij = g j i .
Sammensetningen av mer enn to lineære tilordninger kan på samme måte representeres av en kjede med matrisemultiplikasjon.
Produkt av to matriser
Gitt to matriser
- og
produktet deres er gitt av
Sammensetning av lineære funksjoner som matriseprodukt
Det er en sammenheng mellom sammensetningen av lineære funksjoner og produktet av to matriser. For å se dette, la r = dim (U), s = dim (V) og t = dim (W) være (endelige) dimensjonene til vektorrom U, V og W. La være et grunnlag for U, være et grunnlag av V og være et grunnlag for W. Når det gjelder dette grunnlaget, la oss være matrisen som representerer f: U → V og være matrisen som representerer g: V → W. Deretter
er matrisen som representerer .
Med andre ord: matriseproduktet er beskrivelsen i koordinater for sammensetningen av lineære funksjoner.
Tensorprodukt av vektorrom
Gitt to endelige dimensjonale vektorrom V og W , kan tensorproduktet av dem defineres som en (2,0) -tensor som tilfredsstiller:
hvor V * og W * betegner to områder av V og W .
For uendelige dimensjonale vektorrom har man også:
Tensorproduktet, ytterproduktet og Kronecker -produktet formidler alle den samme generelle ideen. Forskjellene mellom disse er at Kronecker-produktet bare er et tensorprodukt av matriser, med hensyn til et tidligere fast grunnlag, mens tensor-produktet vanligvis er gitt i sin egen definisjon . Det ytre produktet er ganske enkelt Kronecker -produktet, begrenset til vektorer (i stedet for matriser).
Klassen på alle objekter med et tensorprodukt
Generelt, når man har to matematiske objekter som kan kombineres på en måte som oppfører seg som et lineært algebra tensorprodukt, kan dette mest generelt forstås som det interne produktet av en monoid kategori . Det vil si at den monoidale kategorien fanger nøyaktig betydningen av et tensorprodukt; den fanger nøyaktig ideen om hvorfor det er at tensor -produkter oppfører seg som de gjør. Nærmere bestemt er en monoid kategori klassen av alle ting (av en gitt type ) som har et tensorprodukt.
Andre produkter innen lineær algebra
Andre typer produkter i lineær algebra inkluderer:
- Hadamard -produkt
- Kronecker produkt
- Produktet til tensorer :
Kartesisk produkt
I settteori er et kartesisk produkt en matematisk operasjon som returnerer et sett (eller et produktsett ) fra flere sett. Det er, for settene A og B , det kartesiske produkt A x B er mengden av alle ordnede par (A, B) -der en ∈ A og b ∈ B .
Klassen av alle ting (av en gitt type ) som har kartesiske produkter kalles en kartesisk kategori . Mange av disse er kartesiske lukkede kategorier . Sett er et eksempel på slike objekter.
Tomt produkt
Det tomme produktet på tall og de fleste algebraiske strukturer har verdien 1 (identitetselementet for multiplikasjon), akkurat som den tomme summen har verdien 0 (identitetselementet for tillegg). Konseptet med det tomme produktet er imidlertid mer generelt, og krever spesiell behandling innen logikk , settteori , dataprogrammering og kategoriteori .
Produkter fremfor andre algebraiske strukturer
Produkter fremfor andre typer algebraiske strukturer inkluderer:
- det kartesiske produktet av sett
- den direkte produkt av grupper , og også semidirect produkt , strikke produkt og krans produkt
- den frie produkt av grupper
- det produkt av ringene
- det produkt ideal
- det produkt av topologiske rom
- den Wick produkt av tilfeldige variable
- i hetten , koppen , Massey og skrå produkt i algebraisk topologi
- den knuse produktet og kile sum (noen ganger kalt kilen produkt) i homotopiteori
Noen av produktene ovenfor er eksempler på den generelle oppfatningen om et internt produkt i en monoid kategori ; resten kan beskrives ved den generelle oppfatningen om et produkt i kategoriteori .
Produkter i kategoriteori
Alle de tidligere eksemplene er spesielle tilfeller eller eksempler på den generelle forestillingen om et produkt. For den generelle behandlingen av konseptet til et produkt, se produkt (kategoriteori) , som beskriver hvordan man kombinerer to objekter av noe slag for å lage et objekt, muligens av en annen art. Men også i kategoriteori har man:
- den fiberprodukt eller tilbakegang,
- den produktkategori , en kategori som er produktet av kategorier.
- den ultraproduct , i modellen teori .
- det indre produktet av en monoid kategori , som fanger essensen av et tensorprodukt.
Andre produkter
- En funksjons produktintegral (som en kontinuerlig ekvivalent med produktet av en sekvens eller som multiplikasjonsversjonen av normal/standard/additiv integral. Produktintegralet er også kjent som "kontinuerlig produkt" eller "multiplisert".
- Kompleks multiplikasjon , en teori om elliptiske kurver.
Se også
- Deligne tensor produkt av abelske kategorier
- Ubestemt produkt
- Uendelig produkt
- Iterert binær operasjon
- Multiplikasjon - Aritmetisk operasjon
Merknader
Referanser
Bibliografi
- Jarchow, Hans (1981). Lokalt konvekse mellomrom . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .