Symplektisk representasjon - Symplectic representation

I matematisk felt for representasjonsteori er en symplektisk representasjon en representasjon av en gruppe eller en Lie algebra på et symplektisk vektorrom ( V , ω ) som bevarer den symplektiske formen ω . Her ω er en ugenegenert skjev symmetrisk bilinær form

${\ displaystyle \ omega \ colon V \ ganger V \ til \ mathbb {F}}$

hvor F er felt av skalarer. En representasjon av en gruppe G bevarer ω hvis

${\ displaystyle \ omega (g \ cdot v, g \ cdot w) = \ omega (v, w)}$

for alle g i G og v , w i V , mens en representasjon av en Lie algebra g bevarer ω hvis

${\ displaystyle \ omega (\ xi \ cdot v, w) + \ omega (v, \ xi \ cdot w) = 0}$

for alle ξ i g og v , w i V . Således er en representasjon av G eller g tilsvarende en gruppe eller Lie algebra-homomorfisme fra G eller g til den symplektiske gruppen Sp ( V , ω ) eller dens Lie algebra sp ( V , ω )

Hvis G er en kompakt gruppe (for eksempel en begrenset gruppe ), og F er feltet med komplekse tall, kan man ved å introdusere en kompatibel enhetsstruktur (som eksisterer ved et gjennomsnittlig argument) vise at enhver kompleks symplektisk fremstilling er en kvartær representasjon . Kvaternioniske representasjoner av endelige eller kompakte grupper kalles ofte symplektiske representasjoner, og kan identifiseres ved å bruke Frobenius-Schur-indikatoren .

referanser

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Representasjonsteori. Et første kurs . Graduate Tekster i Matematikk , Lesninger i Matematikk. 129 . New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . MR  1153249 . OCLC  246650103 ..

Denne algebra -relaterte artikkelen er en stubb . Du kan hjelpe Wikipedia ved å utvide den . v t e