Weil -begrensning - Weil restriction

I matematikk er begrensning av skalarer (også kjent som "Weil -begrensning") en funksor som for enhver endelig utvidelse av feltene L / k og en algebraisk variant X over L , produserer en annen variant Res _{L / k} X , definert over k . Det er nyttig for å redusere spørsmål om varianter over store felt til spørsmål om mer kompliserte varianter over mindre felt.

Definisjon

La L / k være en endelig forlengelse av feltene, og X en rekke definert enn L . Funksjonen fra k - ordninger ^op til sett er definert av ${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {L/k} X}$

${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {L/k} X (S) = X (S \ times _ {k} L)}$

(Spesielt de k -rasjonelle punktene til er L -rasjonelle punkter i X. ) Sorten som representerer denne funksjonen kalles begrensning av skalarer, og er unik opp til unik isomorfisme hvis den eksisterer. ${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {L/k} X}$

Sett fra sett med skiver av sett, er begrensning av skalarer bare et fremskritt langs morfismen og er rett ved siden av fiberproduktet av ordninger , så definisjonen ovenfor kan omformuleres til mye mer generell. Spesielt kan man erstatte utvidelsen av felt med en hvilken som helst morfi av ringet topoi , og hypotesene på X kan svekkes til f.eks. Stabler . Dette kommer på bekostning av å ha mindre kontroll over oppførselen til begrensningen av skalarer. ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (L) \ to \ operatorname {Spec} (k)}$

Egenskaper

For enhver endelig utvidelse av felt, tar begrensningen av skalarer kvasiprojektive varianter til kvasiprojektive varianter. Dimensjonen til den resulterende sorten multipliseres med graden av utvidelsen.

Under passende hypoteser (f.eks. Flate, riktige, endelig presentert) gir enhver morfi av algebraiske mellomrom en begrensning av skalarfunksjoner som tar algebraiske stabler til algebraiske stabler, og bevarer egenskaper som Artin, Deligne-Mumford og representabilitet. ${\ displaystyle T \ to S}$

Eksempler og applikasjoner

1. La L være en endelig forlengelse av k av grader s. Da og er en s -dimensjonal affin plass over Spec k .${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {L/k} (\ operatorname {Spec} (L)) = \ operatorname {Spec} (k)}$${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {L/k} \ mathbb {A} ^{1}}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^{s}}$
2. Hvis X er en affin L -variasjon, definert av

   ${\ displaystyle X = \ operatorname {Spec} L [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]/(f_ {1}, \ dots, f_ {m})}$

   vi kan skrive som Spec , der y _{i, j} ( ) er nye variabler, og g _{l, r} ( ) er polynomer gitt ved å ta en k -grunnlaget for L og setting og .${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {L/k} X}$${\ displaystyle k [y_ {i, j}]/(g_ {l, r})}$${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n, 1 \ leq j \ leq s}$${\ displaystyle 1 \ leq l \ leq m, 1 \ leq r \ leq s}$${\ displaystyle y_ {i, j}}$${\ displaystyle e_ {1}, \ dots, e_ {s}}$${\ displaystyle x_ {i} = y_ {i, 1} e_ {1} +\ dots +y_ {i, s} e_ {s}}$${\ displaystyle f_ {t} = g_ {t, 1} e_ {1} +\ dots +g_ {t, s} e_ {s}}$
3. Begrensning av skalarer over en endelig utvidelse av felt tar gruppeplaner til gruppeplaner.

Spesielt:

4. Torus

   ${\ displaystyle \ mathbb {S}: = \ operatorname {Res} _ {\ mathbb {C} /\ mathbb {R}} \ mathbb {G} _ {m}}$

   hvor betegner den multiplikative gruppen, spiller en vesentlig rolle i Hodge -teorien, siden den tannakiske kategorien av virkelige Hodge -strukturer tilsvarer kategorien representasjoner av De virkelige punktene har en Lie -gruppestruktur isomorf til . Se Mumford - Tate -gruppen .${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {S}.}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times}}$
5. Weil -begrensningen for en (kommutativ) gruppesort er igjen en (kommutativ) gruppesort av dimensjoner hvis L kan skilles over k . Aleksander Momot brukte Weil -restriksjoner for kommutative gruppesorter med og for å få nye resultater i transcendenssteori som var basert på økningen i algebraisk dimensjon.${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {L/k} \ mathbb {G}}$${\ displaystyle \ mathbb {G}}$${\ displaystyle [L: k] \ dim \ mathbb {G},}$${\ displaystyle k = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle L = \ mathbb {C}}$
6. Begrensning av skalarer på abelske varianter (f.eks. Elliptiske kurver ) gir abelske varianter, hvis L kan skilles over k . James Milne brukte dette for å redusere Birch og Swinnerton-Dyer formodning for abelske varianter over alle tallfelt til den samme formodningen om begrunnelsene.
7. I elliptisk kurve kryptografi , den Weil nedstigningen benytter angrep Weil begrensning for å transformere en diskret logaritme problem på en elliptisk kurve over et begrenset utvidelsesfeltet L / K, til et diskret log problem på Jacobian variasjon av en hyperelliptic kurve over basen felt K , det er potensielt lettere å løse på grunn av Ks mindre størrelse.

Weil -restriksjoner vs. Greenberg -transformasjoner

Begrensning av skalarer ligner Greenberg -transformasjonen, men generaliserer den ikke, siden ringen av Witt -vektorer på en kommutativ algebra A generelt ikke er en A -algebra.

Referanser

Den opprinnelige referansen er avsnitt 1.3 i Weils forelesninger fra 1959-1960, utgitt som:

• Andre Weil. "Adeles og algebraiske grupper", fremgang i matematikk. 23 , Birkhäuser 1982. Notater fra forelesninger holdt 1959-1960.

Andre referanser:

• Siegfried Bosch, Werner Lütkebohmert, Michel Raynaud. "Néron-modeller", Springer-Verlag, Berlin 1990.
• James S. Milne. "Om aritmetikken til abelske varianter", Invent. Matte. 17 (1972) 177-190.
• Martin Olsson. "Hom stabler og begrensning av skalarer", Duke Math J., 134 (2006), 139–164. http://math.berkeley.edu/~molsson/homstackfinal.pdf
• Bjørn Poonen. "Rasjonelle poeng om varianter", http://math.mit.edu/~poonen/papers/Qpoints.pdf
• Nigel Smart , Weil nedstigningsside med bibliografi, https://homes.esat.kuleuven.be/~nsmart/weil_descent.html
• Aleksander Momot, "Tetthet av rasjonelle poeng på kommutative gruppesorter og liten transcendensgrad", https://arxiv.org/abs/1011.3368