Rayleigh distribusjon - Rayleigh distribution

Rayleigh
	Sannsynlighetstetthetsfunksjon ;
	Kumulativ distribusjons funksjon ;
Parametere	skala:
Brukerstøtte
PDF
CDF
Kvantil
Mener
Median
Modus
Forskjell
Skjevhet
Eks. kurtosis
Entropi
MGF
CF

I sannsynlighetsteori og statistikk er Rayleigh-fordelingen en kontinuerlig sannsynlighetsfordeling for ikke-negative verdifulle tilfeldige variabler . Frem til ny skalering faller det sammen med chi -fordelingen med to frihetsgrader .

En Rayleigh-fordeling blir ofte observert når den totale størrelsen av en vektor er relatert til dets retningskomponenter . Et eksempel der Rayleigh -fordelingen naturlig oppstår er når vindhastigheten analyseres i to dimensjoner . Forutsatt at hver komponent er ukorrelert , normalfordelt med lik varians og null gjennomsnitt , vil den totale vindhastigheten ( vektormagnitude ) preges av en Rayleigh -fordeling. Et annet eksempel på fordelingen oppstår når det gjelder tilfeldige komplekse tall hvis virkelige og imaginære komponenter er uavhengig og identisk fordelt Gaussianmed lik varians og null gjennomsnitt. I så fall er den absolutte verdien av det komplekse tallet Rayleigh-distribuert.

Fordelingen er oppkalt etter Herre Rayleigh ( / r eɪ l i / ).

Definisjon

Den sannsynlighetstetthetsfunksjon av Rayleigh-fordeling er

{\ displaystyle f (x; \ sigma) = {\ frac {x} {\ sigma ^{2}}} e ^{-x ^{2}/(2 \ sigma ^{2})}, \ quad x \ geq 0,}

hvor er skalaens parameter for fordelingen. Den kumulative fordelingsfunksjonen er ${\ displaystyle \ sigma}$

{\ displaystyle F (x; \ sigma) = 1-e^{-x^{2}/(2 \ sigma^{2})}}

til ${\ displaystyle x \ in [0, \ infty).}$

Forhold til tilfeldig vektorlengde

Tenk på den todimensjonale vektoren som har komponenter som er bivariate normalfordelt , sentrert på null og uavhengige. Deretter og ha tetthetsfunksjoner ${\ displaystyle Y = (U, V)}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle V}$

{\ displaystyle f_ {U} (x; \ sigma) = f_ {V} (x; \ sigma) = {\ frac {e^{-x^{2}/(2 \ sigma^{2})}}} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^{2}}}}.}

La være lengden på . Det vil si, har deretter kumulativ distribusjonsfunksjon ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X = {\ sqrt {U^{2}+V^{2}}}.}$ ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle F_ {X} (x; \ sigma) = \ iint _ {D_ {x}} f_ {U} (u; \ sigma) f_ {V} (v; \ sigma) \, dA,}

hvor er disken ${\ displaystyle D_ {x}}$

{\ displaystyle D_ {x} = \ left \ {(u, v): {\ sqrt {u^{2}+v^{2}}} \ leq x \ right \}.}

Ved å skrive dobbeltintegralet i polare koordinater blir det

{\ displaystyle F_ {X} (x; \ sigma) = {\ frac {1} {2 \ pi \ sigma ^{2}}} \ int _ {0} ^{2 \ pi} \ int _ {0} ^{x} re ^{-r ^{2}/(2 \ sigma ^{2})} \, dr \, d \ theta = {\ frac {1} {\ sigma ^{2}}} \ int _ {0}^{x} re^{-r^{2}/(2 \ sigma^{2})} \, dr.}

Til slutt er sannsynlighetstetthetsfunksjonen for derivatet av dens kumulative fordelingsfunksjon, som ved den grunnleggende teoremet til beregning er ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle f_ {X} (x; \ sigma) = {\ frac {d} {dx}} F_ {X} (x; \ sigma) = {\ frac {x} {\ sigma ^{2}}} e^{-x^{2}/(2 \ sigma^{2})},}

som er Rayleigh -distribusjonen. Det er greit å generalisere til andre vektordimensjoner enn 2. Det er også generaliseringer når komponentene har ulik varians eller korrelasjoner ( Hoyt -fordeling ), eller når vektoren Y følger en bivariat Student t -fordeling .

Generalisering for å bivariere Studentens t-distribusjon

Anta at det er en tilfeldig vektor med komponenter som følger en multivariat t-fordeling . Hvis komponentene begge har gjennomsnittlig null, lik varians og er uavhengige, tar den bivariate Student's-t-fordelingen formen: ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle u, v}$

{\ displaystyle f (u, v) = {1 \ over {2 \ pi \ sigma^{2}}} \ venstre (1+ {u^{2}+v^{2} \ over {\ nu \ sigma ^{2}}} \ høyre)^{-\ nu /2-1}}

La det være størrelsen på . Da er den kumulative fordelingsfunksjonen (CDF) av størrelsen: ${\ displaystyle R = {\ sqrt {U^{2}+V^{2}}}}$ ${\ displaystyle Y}$

{\ displaystyle F (r) = {1 \ over {2 \ pi \ sigma^{2}}} \ iint _ {D_ {r}} \ left (1+ {u^{2}+v^{2} \ over {\ nu \ sigma ^{2}}} \ høyre) ^{-\ nu /2-1} du \; dv}

hvor er disken definert av: ${\ displaystyle D_ {r}}$

{\ displaystyle D_ {r} = \ left \ {(u, v): {\ sqrt {u^{2}+v^{2}}} \ leq r \ right \}}

Konvertering til polære koordinater fører til at CDF blir:

{\ displaystyle {\ begin {align} F (r) & = {1 \ over {2 \ pi \ sigma^{2}}} \ int _ {0}^{r} \ int _ {0}^{2 \ pi} \ rho \ venstre (1+{\ rho ^{2} \ over {\ nu \ sigma ^{2}}} \ høyre) ^{-\ nu /2-1} d \ theta \; d \ rho \\ & = {1 \ over {\ sigma ^{2}}} \ int _ {0} ^{r} \ rho \ left (1+{\ rho ^{2} \ over {\ nu \ sigma ^ {2}}} \ høyre)^{-\ nu /2-1} d \ rho \\ & = 1- \ venstre (1+ {r^{2} \ over {\ nu \ sigma^{2}} } \ høyre)^{-\ nu /2} \ ende {justert}}}

Til slutt kan sannsynlighetstetthetsfunksjonen (PDF) av størrelsen avledes:

{\ displaystyle f (r) = F '(r) = {r \ over {\ sigma ^{2}}} \ left (1+ {r ^{2} \ over {\ nu \ sigma ^{2}} } \ høyre)^{-\ nu /2-1}}

I grensen som gjenopprettes Rayleigh -fordelingen fordi: ${\ displaystyle \ nu \ rightarrow \ infty}$

{\ displaystyle \ lim _ {\ nu \ rightarrow \ infty} \ left (1+ {r^{2} \ over {\ nu \ sigma^{2}}} \ right)^{-\ nu /2-1 } = e^{-r^{2}/2 \ sigma^{2}}}

Egenskaper

De rå øyeblikkene er gitt av:

{\ displaystyle \ mu _ {j} = \ sigma ^{j} 2 ^{j/2} \, \ Gamma \ venstre (1+{\ frac {j} {2}} \ høyre),}

hvor er gamma -funksjonen . ${\ displaystyle \ Gamma (z)}$

Den midlere av en Rayleigh stokastisk variabel blir da:

{\ displaystyle \ mu (X) = \ sigma {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ \ approx 1.253 \ \ sigma.}

Den standardavviket av en Rayleigh tilfeldig variabel er:

{\ displaystyle \ operatorname {std} (X) = {\ sqrt {\ left (2-{\ frac {\ pi} {2}} \ right)}} \ sigma \ approx {\ sqrt {0.429}} \ \ sigma}

Den variansen av en Rayleigh tilfeldig variabel er:

{\ displaystyle \ operatorname {var} (X) = \ mu _ {2}-\ mu _ {1}^{2} = \ left (2-{\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ sigma ^{2} \ ca 0,429 \ \ sigma ^{2}}

Den modus er og den maksimale pdf er ${\ displaystyle \ sigma,}$

{\ displaystyle f _ {\ max} = f (\ sigma; \ sigma) = {\ frac {1} {\ sigma}} e^{-1/2} \ approx {\ frac {0.606} {\ sigma}} .}

Den skjevheten er gitt ved:

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {2 {\ sqrt {\ pi}} (\ pi -3)} {(4- \ pi)^{3/2}}} \ ca 0,631}

Overskytende kurtose er gitt av:

{\ displaystyle \ gamma _ {2} =-{\ frac {6 \ pi ^{2} -24 \ pi +16} {(4- \ pi) ^{2}}} \ ca 0,245}

Den karakteristiske funksjonen er gitt av:

{\ displaystyle \ varphi (t) = 1- \ sigma te^{-{\ frac {1} {2}} \ sigma^{2} t^{2}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} { 2}}} \ left [\ operatorname {erfi} \ left ({\ frac {\ sigma t} {\ sqrt {2}}} \ right) -i \ right]}

hvor er den imaginære feilfunksjonen . Det øyeblikk genererende funksjon er gitt ved ${\ displaystyle \ operatorname {erfi} (z)}$

{\ displaystyle M (t) = 1+\ sigma t \, e^{{\ frac {1} {2}} \ sigma^{2} t^{2}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ left [\ operatorname {erf} \ left ({\ frac {\ sigma t} {\ sqrt {2}}} \ right) +1 \ right]}

hvor er feilfunksjonen . ${\ displaystyle \ operatorname {erf} (z)}$

Differensiell entropi

Den differensial entropi er gitt ved

{\ displaystyle H = 1+\ ln \ venstre ({\ frac {\ sigma} {\ sqrt {2}}} \ høyre)+{\ frac {\ gamma} {2}}}

hvor er Euler - Mascheroni -konstanten . ${\ displaystyle \ gamma}$

Parameterestimering

Gitt et utvalg av N uavhengige og identisk fordelte Rayleigh tilfeldige variabler med parameter , ${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

{\ displaystyle {\ widehat {\ sigma}}^{2} = \! \, {\ frac {1} {2N}} \ sum _ {i = 1}^{N} x_ {i}^{2} }

er det maksimale sannsynlighetsestimatet og er også upartisk .

{\ displaystyle {\ widehat {\ sigma}} \ approx {\ sqrt {{\ frac {1} {2N}} \ sum _ {i = 1}^{N} x_ {i}^{2}}}}

er en partisk estimator som kan korrigeres via formelen

{\ displaystyle \ sigma = {\ widehat {\ sigma}} {\ frac {\ Gamma (N) {\ sqrt {N}}} {\ Gamma (N+{\ frac {1} {2}})}}} = {\ widehat {\ sigma}} {\ frac {4^{N} N! (N-1)! {\ sqrt {N}}} {(2N)! {\ sqrt {\ pi}}}}}}}

Tillitsintervaller

For å finne (1 - α ) konfidensintervall, må du først finne grensene der: ${\ displaystyle [a, b]}$

{\ displaystyle P (\ chi _ {2N}^{2} \ leq a) = \ alpha /2, \ quad P (\ chi _ {2N}^{2} \ leq b) = 1- \ alpha /2 }

da vil skala -parameteren falle innenfor grensene

{\ displaystyle {\ frac {{N} {\ overline {x^{2}}}} {b}} \ leq {\ widehat {\ sigma}}^{2} \ leq {\ frac {{N} { \ overline {x^{2}}}} {a}}}

Generere tilfeldige varianter

Gitt en tilfeldig variant U trukket fra den jevne fordelingen i intervallet (0, 1), deretter variaten

{\ displaystyle X = \ sigma {\ sqrt {-2 \ ln U}} \,}

har en Rayleigh -distribusjon med parameter . Dette oppnås ved å anvende invers transform -prøvetaking -metoden. ${\ displaystyle \ sigma}$

Relaterte distribusjoner

${\ displaystyle R \ sim \ mathrm {Rayleigh} (\ sigma)}$ er Rayleigh distribuert hvis , hvor og er uavhengige normale tilfeldige variabler . (Dette gir motivasjon for bruk av symbolet "sigma" i ovennevnte parametrering av Rayleigh -tettheten.) ${\ displaystyle R = {\ sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ ${\ displaystyle X \ sim N (0, \ sigma ^{2})}$ ${\ displaystyle Y \ sim N (0, \ sigma ^{2})}$

Størrelsen på et standardkompleks normalt distribuert variabel z vil ha Rayleigh -fordelingen. ${\ displaystyle | z |}$

Den chi fordeling med v = 2 er ekvivalent med Rayleigh-fordeling med σ = 1.

Hvis , da har en chi-kvadratfordeling med parameter , frihetsgrader, lik to ( N = 2) ${\ displaystyle R \ sim \ mathrm {Rayleigh} (1)}$ ${\ displaystyle R^{2}}$ ${\ displaystyle N}$

{\ displaystyle [Q = R ^{2}] \ sim \ chi ^{2} (N) \.}

Hvis , så har en gammafordeling med parametere og ${\ displaystyle R \ sim \ mathrm {Rayleigh} (\ sigma)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{N} R_ {i}^{2}}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ sigma ^{2}}}}$

{\ displaystyle \ left [Y = \ sum _ {i = 1}^{N} R_ {i}^{2} \ right] \ sim \ Gamma (N, {\ frac {1} {2 \ sigma^{ 2}}}).}

Den Rice distribusjon er en noncentral generalisering av Rayleigh fordeling: . ${\ displaystyle \ mathrm {Rayleigh} (\ sigma) = \ mathrm {Rice} (0, \ sigma)}$
Den Weibull-fordeling med "form parameter" k = 2, gir en Rayleigh-fordeling. Da er Rayleigh -fordelingsparameteren relatert til Weibull -skala -parameteren iht ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ lambda = \ sigma {\ sqrt {2}}.}$
Den Maxwell-Boltzmann-fordeling beskriver størrelsen av en normal vektor i tre dimensjoner.
Hvis har en eksponentiell fordeling , da ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X \ sim \ mathrm {Exponential} (\ lambda)}$ ${\ displaystyle Y = {\ sqrt {X}} \ sim \ mathrm {Rayleigh} (1/{\ sqrt {2 \ lambda}}).}$

Den halvnormale fordelingen er det univariate spesialtilfellet av Rayleigh-fordelingen.

applikasjoner

En anvendelse av estimering av σ kan finnes i magnetisk resonansavbildning (MR). Ettersom MR -bilder blir spilt inn som komplekse bilder, men oftest sett på som størrelsesbilder, blir bakgrunnsdataene Rayleigh -distribuert. Derfor kan formelen ovenfor brukes til å estimere støyvariansen i et MR -bilde fra bakgrunnsdata.

Rayleigh-fordeling ble også anvendt på området ernæring for å knytte diettnæringsnivåer og humane og animalske responser. På denne måten kan parameteren σ brukes til å beregne næringsresponsforholdet.

Innen ballistikk brukes Rayleigh -fordelingen for å beregne den sannsynlige sirkulære feilen - et mål på et våpens presisjon.

I fysisk oseanografi kan den signifikante bølgehøyden avledes analytisk, siden fordelingen av bølgehøyder omtrent følger en Rayleigh -fordeling.

Languages

In other projects