Commutator-undergruppe - Commutator subgroup

I matematikk , nærmere bestemt i abstrakt algebra , den kommutatoren gruppen eller avledet undergruppe av en gruppe er den undergruppe som genereres av alle kommutatorene i gruppen.

Kommutatorundergruppen er viktig fordi den er den minste normale undergruppen slik at kvotientgruppen til den opprinnelige gruppen av denne undergruppen er abelsk . Med andre ord, er abelsk hvis og bare hvis inneholder kommutatorundergruppen til . Så på en eller annen måte gir det et mål på hvor langt gruppen er fra å være abel. jo større kommutatorundergruppen er, jo "mindre abelian" er gruppen. ${\ displaystyle G / N}$ ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$

Pendlere

For elementer og for en gruppe G , kommutatoren for og er . Kommutatoren er lik identitetselementet e hvis og bare hvis , det vil si hvis og bare hvis og pendler. Generelt . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle [g, h] = g ^ {- 1} h ^ {- 1} gh}$${\ displaystyle [g, h]}$ ${\ displaystyle gh = hg}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle gh = hg [g, h]}$

Imidlertid er notasjonen noe vilkårlig, og det er en ikke-ekvivalent variantdefinisjon for kommutatoren som har inversene på høyre side av ligningen: i så fall, men i stedet . ${\ displaystyle [g, h] = ghg ​​^ {- 1} h ^ {- 1}}$${\ displaystyle gh \ neq hg [g, h]}$${\ displaystyle gh = [g, h] hg}$

Et element av G i formen for noen g og h kalles kommutator. Identitetselementet e = [ e , e ] er alltid en kommutator, og det er den eneste kommutatoren hvis og bare hvis G er abelsk. ${\ displaystyle [g, h]}$

Her er noen enkle, men nyttige kommutatoridentiteter, sant for alle elementene s , g , h i en gruppe G :

• ${\ displaystyle [g, h] ^ {- 1} = [h, g],}$
• ${\ displaystyle [g, h] ^ {s} = [g ^ {s}, h ^ {s}],}$ hvor (eller, henholdsvis ) er konjugatet av by ${\ displaystyle g ^ {s} = s ^ {- 1} gs}$${\ displaystyle g ^ {s} = sgs ^ {- 1}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle s,}$
• for enhver homomorfisme , ${\ displaystyle f: G \ til H}$${\ displaystyle f ([g, h]) = [f (g), f (h)].}$

Den første og andre identiteten innebærer at settet med kommutatorer i G er lukket under inversjon og konjugasjon. Hvis du er i den tredje identitet tar vi H = G , får vi at settet av commutators er stabilt under noen endomorphism av G . Dette er faktisk en generalisering av andre identitet, siden vi kan ta f å være konjugering automorphism på G , for å få andre identitet. ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {s}}$

Imidlertid trenger ikke produktet fra to eller flere kommutatorer være kommutatorer. Et generisk eksempel er [ a , b ] [ c , d ] i den frie gruppen på a , b , c , d . Det er kjent at den minste rekkefølgen av en begrenset gruppe som det eksisterer to kommutatorer for hvis produkt ikke er kommutator, er 96; faktisk er det to ikke-isomorfe grupper av ordre 96 med denne egenskapen.

Definisjon

Dette motiverer definisjonen av kommutatorundergruppen (også kalt den avledede undergruppen , og betegnet eller ) av G : det er undergruppen generert av alle kommutatorene. ${\ displaystyle [G, G]}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle G ^ {(1)}}$

Det følger av egenskapene til kommutatorer at ethvert element av er av formen ${\ displaystyle [G, G]}$

${\ displaystyle [g_ {1}, h_ {1}] \ cdots [g_ {n}, h_ {n}]}$

for noen naturlig tall , hvor g _i og h _jeg er elementer av G . Videre, siden , er kommutatoren undergruppe normal i G . For enhver homomorfisme f : G → H , ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle ([g_ {1}, h_ {1}] \ cdots [g_ {n}, h_ {n}]) ^ {s} = [g_ {1} ^ {s}, h_ {1} ^ { s}] \ cdots [g_ {n} ^ {s}, h_ {n} ^ {s}]}$

${\ displaystyle f ([g_ {1}, h_ {1}] \ cdots [g_ {n}, h_ {n}]) = [f (g_ {1}), f (h_ {1})] \ cdots [f (g_ {n}), f (h_ {n})]}$ ,

slik at . ${\ displaystyle f ([G, G]) \ leq [H, H]}$

Dette viser at kommutatoren gruppen kan sees på som et funktor på den kategori av gruppene , er noen konsekvenser av hvilken utforsket nedenfor. Videre tar G = H viser at kommutatoren undergruppen er stabil under hvert endomorphism av G : det vil si, [ G , G ] er et helt karakteristisk undergruppe av G , en egenskap betydelig sterkere enn normalt.

Kommutatorundergruppen kan også defineres som settet med elementene g i gruppen som har et uttrykk som et produkt g = g ₁ g ₂ ... g _k som kan omorganiseres for å gi identiteten.

Avledet serie

Denne konstruksjonen kan gjentas:

${\ displaystyle G ^ {(0)}: = G}$

${\ displaystyle G ^ {(n)}: = [G ^ {(n-1)}, G ^ {(n-1)}] \ quad n \ in \ mathbf {N}}$

Gruppene kalles den andre avledede undergruppen , den tredje avledede undergruppen og så videre, og den synkende normale serien${\ displaystyle G ^ {(2)}, G ^ {(3)}, \ ldots}$

${\ displaystyle \ cdots \ triangleleft G ^ {(2)} \ triangleleft G ^ {(1)} \ triangleleft G ^ {(0)} = G}$

kalles den avledede serien . Dette skal ikke forveksles med den nedre sentrale serien , hvis vilkår er . ${\ displaystyle G_ {n}: = [G_ {n-1}, G]}$

For en endelig gruppe slutter den avledede serien i en perfekt gruppe , som kanskje eller ikke kan være triviell. For en uendelig gruppe trenger ikke den avledede serien å avsluttes på et endelig stadium, og man kan fortsette den til uendelige ordinære tall via transfinitt rekursjon , og derved oppnå den transfinite-avledede serien , som til slutt ender i den perfekte kjernen i gruppen.

Abelianisering

Gitt en gruppe , er en kvotientgruppe abelsk hvis og bare hvis . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G / N}$${\ displaystyle [G, G] \ leq N}$

Kvotienten er en abelsk gruppe som kalles abelianisering av eller gjort abelisk . Det er vanligvis betegnet med eller . ${\ displaystyle G / [G, G]}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G ^ {\ operatorname {ab}}}$${\ displaystyle G _ {\ operatorname {ab}}}$

Det er en nyttig kategorisk tolkning av kartet . Er nemlig universell for homomorfismer fra til en abelsk gruppe : for enhver abelsk gruppe og homomorfisme av grupper eksisterer det en unik homomorfisme slik at . Som vanlig for gjenstander definert av universelle kartleggingsegenskaper, viser dette det unike ved abelianiseringen opp til kanonisk isomorfisme, mens den eksplisitte konstruksjonen viser eksistensen. ${\ displaystyle \ varphi: G \ rightarrow G ^ {\ operatorname {ab}}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle f: G \ til H}$${\ displaystyle F: G ^ {\ operatorname {ab}} \ to H}$${\ displaystyle f = F \ circ \ varphi}$${\ displaystyle G ^ {\ operatorname {ab}}}$${\ displaystyle G \ til G / [G, G]}$

Abelianiseringsfunksjonen er venstre adjoint av inkluderingsfunksjonen fra kategorien abeliske grupper til kategorien av grupper. Eksistensen av abelianiseringsfunksjonen Grp → Ab gjør kategorien Ab til en reflekterende underkategori av gruppekategorien, definert som en full underkategori hvis inkluderingsfunksjon har venstre tilgrensning.

En annen viktig tolkning av er like , den første homologi gruppe av med integrerte koeffisienter. ${\ displaystyle G ^ {\ operatorname {ab}}}$${\ displaystyle H_ {1} (G, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle G}$

Klasser av grupper

En gruppe er en abelsk gruppe hvis og bare hvis den avledede gruppen er triviell: [ G , G ] = { e }. Tilsvarende, hvis og bare hvis gruppen er lik abelianisering. Se ovenfor for definisjonen av en gruppes abelianisering. ${\ displaystyle G}$

En gruppe er en perfekt gruppe hvis og bare hvis den avledede gruppe er lik selve gruppen: [ G , G ] = G . Tilsvarende, hvis og bare hvis abelianiseringen av gruppen er triviell. Dette er "motsatt" til abelsk. ${\ displaystyle G}$

En gruppe med for noen n i N kalles en løsbar gruppe ; dette er svakere enn abelsk, noe som er tilfelle n = 1. ${\ displaystyle G ^ {(n)} = \ {e \}}$

En gruppe med for alle n i N kalles en ikke-løselig gruppe . ${\ displaystyle G ^ {(n)} \ neq \ {e \}}$

En gruppe med for noe ordinært tall , muligens uendelig, kalles en hypoabelisk gruppe ; dette er svakere enn oppløselig, noe som er tilfelle α er endelig (et naturlig tall). ${\ displaystyle G ^ {(\ alpha)} = \ {e \}}$

Perfekt gruppe

Hver gang en gruppe har avledet undergruppe lik seg selv, kalles den en perfekt gruppe . Dette inkluderer ikke-abelske enkle grupper og de spesielle lineære gruppene for et fast felt . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G ^ {(1)} = G}$ ${\ displaystyle \ operatorname {SL} _ {n} (k)}$${\ displaystyle k}$

Eksempler

• Kommutatorundergruppen til enhver abelsk gruppe er triviell .
• Kommutatorundergruppen til den generelle lineære gruppen over et felt eller en divisjonsring k tilsvarer den spesielle lineære gruppen forutsatt at eller k ikke er feltet med to elementer . ${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (k)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {SL} _ {n} (k)}$${\ displaystyle n \ neq 2}$
• Kommutatorundergruppen til den vekslende gruppen A ₄ er Klein four-gruppen .
• Kommutatoren undergruppe av den symmetriske gruppen S _n er det vekslende gruppe A _n .
• Kommutatorundergruppen til kvartærgruppen Q = {1, −1, i , - i , j , - j , k , - k } er [ Q , Q ] = {1, −1}.
• Kommutatoren undergruppe av den fundamentale gruppe væreTI ₁ ( X ) av en sti-tilkoblet topologisk rom X er kjernen av den naturlige homomorfi på den første enkelt homologigruppe H ₁ ( X ).

Kart fra ut

Siden den avledede undergruppen er karakteristisk , induserer enhver automorfisme av G en automorfisme av abelianiseringen. Siden abelianiseringen er abelian, virker indre automorfismer trivielt, derfor gir dette et kart

${\ displaystyle \ operatorname {Out} (G) \ to \ operatorname {Aut} (G ^ {\ mbox {ab}})}$

Se også

• Løselig gruppe
• Nilpotent gruppe
• Abelianiseringen H / H 'av en undergruppe H  <  G av endelig indeks ( G : H ) er målet for Artin-overføringen   T ( G , H ).

Merknader

Referanser

• Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004), Abstract Algebra (3. utg.), John Wiley & Sons , ISBN   0-471-43334-9
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2. utg.), Lesing: Addison-Wesley , ISBN   0-201-01984-1
• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , Springer , ISBN   0-387-95385-X
• Suárez-Alvarez, Mariano. "Avledede undergrupper og kommutatorer" .

Eksterne linker

• "Commutator subgroup" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]