operasjon som måler feilen til to enheter å pendle
I matematikk , den kommutatoren gir en indikasjon på i hvilken grad en viss binær operasjon ikke klarer å være kommutative . Det er forskjellige definisjoner som brukes i gruppeteori og ringteori .
Gruppeteori
Den kommutatoren av to elementer, g og h , av en gruppe G , er elementet
-
[ g , h ] = g −1 h −1 gh .
Dette elementet er lik gruppens identitet hvis og bare hvis g og h pendler (fra definisjonen gh = hg [ g , h ] , er [ g , h ] lik identiteten hvis og bare hvis gh = hg ).
Settet av alle kommutatorene i en gruppe er generelt ikke lukket under gruppen drift, men den undergruppen av G som genereres av alle kommutatorene er lukket og kalles avledet gruppe eller kommutatoren undergruppe av G . Kommutatorer brukes til å definere nilpotente og løselige grupper og den største abelske kvotientgruppen .
Definisjonen av kommutatoren ovenfor brukes i hele denne artikkelen, men mange andre gruppeteoretikere definerer kommutatoren som
-
[ g , h ] = ghg −1 h −1 .
Identiteter (gruppeteori)
Kommutatoridentiteter er et viktig verktøy i gruppeteorien . Uttrykket a x angir konjugatet av a med x , definert som x -1 aks .
-
og
-
og
-
og
Identitet (5) er også kjent som Hall - Witt -identiteten , etter Philip Hall og Ernst Witt . Det er en gruppeteoretisk analog av Jacobi-identiteten for den ringteoretiske kommutatoren (se neste avsnitt).
NB, definisjonen ovenfor av konjugatet av a med x brukes av noen gruppeteoretikere. Mange andre gruppeteoretikere definerer konjugatet av a med x som xax −1 . Dette er ofte skrevet . Lignende identiteter gjelder for disse konvensjonene.
Det brukes mange identiteter som er sanne for visse undergrupper. Disse kan være spesielt nyttige i studiet av løsbare grupper og nilpotente grupper . For eksempel oppfører andre makter seg i enhver gruppe godt:
Hvis den avledede undergruppen er sentral, da
Ringteori
Den kommutatoren av to elementer en og b av en ring (herunder eventuelle assosiative algebra ) er definert av
Det er null hvis og bare hvis a og b pendler. I lineær algebra , hvis to endomorfismer i et rom er representert ved pendling av matriser i form av ett grunnlag, så er de så representert når det gjelder hvert grunnlag. Ved å bruke kommutatoren som en Lie -brakett , kan hver assosiativ algebra gjøres om til en Lie -algebra .
Den anticommutator av to elementer en og b av en ring eller et assosiativt algebra er definert av
Noen ganger brukes det til å betegne antikommutator, mens det deretter brukes til kommutator. Antikommutatoren brukes sjeldnere, men kan brukes til å definere Clifford -algebraer og Jordan -algebraer , og i avledningen av Dirac -ligningen i partikkelfysikk.
Kommutatoren til to operatører som virker på et Hilbert -rom er et sentralt konsept i kvantemekanikk , siden den kvantifiserer hvor godt de to observerbare objektene beskrevet av disse operatørene kan måles samtidig. Den usikkerhet prinsipp er til syvende og sist et teorem om slike kommutatorer, i kraft av den Robertson-Schrödinger forhold . I faserommet , ekvivalente kommutatorer av funksjons stjeme-produkter kalles Moyal brakettene , og er helt isomorf med de Hilbert plass kommutator strukturer som er nevnt.
Identiteter (ringteori)
Kommutatoren har følgende egenskaper:
Lie-algebra identiteter
Forhold (3) kalles antikommutativitet , mens (4) er Jacobi -identiteten .
Ytterligere identiteter
Hvis A er et fast element i en ring R , kan identitet (1) tolkes som en Leibniz -regel for kartet gitt av . Med andre ord, kartet ad A definerer en avledning på ringen R . Identitetene (2), (3) representerer Leibniz -regler for mer enn to faktorer, og er gyldige for enhver avledning. Identiteter (4) - (6) kan også tolkes som Leibniz -regler. Identiteter (7), (8) uttrykker Z - bilinearitet .
Noen av de ovennevnte identitetene kan utvides til antikommutatoren ved å bruke ovennevnte ± abonnementsnotasjon. For eksempel:
Eksponensielle identiteter
Tenk på en ring eller algebra der eksponensialet kan defineres meningsfullt, for eksempel en Banach -algebra eller en ring av formelle kraftserier .
I en slik ring gir Hadamards lemma som brukes på nestede kommutatorer: (For det siste uttrykket, se Adjoint -avledningen nedenfor.) Denne formelen ligger til grunn for Baker - Campbell - Hausdorff utvidelse av logg (exp ( A ) exp ( B )).
En lignende ekspansjon uttrykker gruppekommutatoren for uttrykk (analog med elementer fra en Lie -gruppe) i form av en serie nestede kommutatorer (Lie brackets),
Rangerte ringer og alger
Når det gjelder graderte algebraer , erstattes kommutatoren vanligvis av den graderte kommutatoren , definert i homogene komponenter som
Tilstøtende avledning
Spesielt hvis en omhandler flere kommutatorer i en ring R , viser en annen notasjon seg å være nyttig. For et element definerer vi den tilknyttede kartleggingen ved å:
Denne kartleggingen er en avledning på ringen R :
Ved Jacobi -identiteten er det også en avledning av kommuteringsoperasjonen:
Ved å komponere slike kartlegginger får vi for eksempel og
Vi kan betrakte seg selv som en kartlegging, hvor er ringen av tilordninger fra
R til seg selv med sammensetning som multiplikasjonsoperasjonen. Deretter er en Lie -algebra -homomorfisme, som bevarer kommutatoren:
Derimot er det ikke alltid en ringhomomorfisme: vanligvis .
General Leibniz -regelen
Den generelle Leibniz -regelen , som utvider gjentatte derivater av et produkt, kan skrives abstrakt ved hjelp av den tilstøtende representasjonen:
Ved å erstatte x med differensieringsoperatoren og
y med multiplikasjonsoperatoren får vi , og ved å bruke begge sider på en funksjon g , blir identiteten den vanlige Leibniz -regelen for n -th -derivatet .
Se også
Merknader
Referanser
-
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2. utg.), Reading: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
-
Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2. utg.), Prentice Hall , ISBN 0-13-805326-X
-
Herstein, IN (1975), Topics In Algebra (2. utg.), Wiley, ISBN 0471010901
-
Liboff, Richard L. (2003), Introductory Quantum Mechanics (4. utg.), Addison-Wesley , ISBN 0-8053-8714-5
-
McKay, Susan (2000), Endelige p-grupper , Queen Mary Maths Notes, 18 , University of London , ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994
-
McMahon, D. (2008), Quantum Field Theory , McGraw Hill , ISBN 978-0-07-154382-8
Videre lesning
-
McKenzie, R .; Snow, J. (2005), "Congruence modulære varianter: kommutatorteori" , i Kudryavtsev, VB; Rosenberg, IG (red.), Structural Theory of Automata, Semigroups and Universal Algebra , NATO Science Series II, 207 , Springer, s. 273–329, doi : 10.1007/1-4020-3817-8_11 , ISBN 9781402038174
Eksterne linker