Fullføring av en ring - Completion of a ring

I abstrakt algebra , en komplettering er hvilken som helst av flere beslektede funktorer på ringene og moduler som resulterer i et fullstendig topologiske ringer og moduler . Fullføring er lik lokalisering , og sammen er de blant de mest grunnleggende verktøyene for å analysere kommutative ringer . Komplette kommutative ringer har en enklere struktur enn generelle, og Hensels lemma gjelder for dem. I algebraisk geometri konsentrerer en fullføring av en ring med funksjoner R på et mellomrom X om et formelt nabolag med et punkt på X : heuristisk er dette et nabolag så lite at alle Taylor -serier sentrert på punktet er konvergente. En algebraisk fullføring er konstruert på en måte som er analog med fullføring av et metrisk rom med Cauchy-sekvenser , og er enig med det i tilfellet når R har en metrik gitt av en ikke-arkimedisk absolutt verdi .

Generell konstruksjon

Anta at E er en abelsk gruppe med en synkende filtrering

${\ displaystyle E = F^{0} E \ supset F^{1} E \ supset F^{2} E \ supset \ cdots \,}$

av undergrupper. Man definerer deretter fullføringen (med hensyn til filtrering) som den omvendte grensen :

${\ displaystyle {\ widehat {E}} = \ varprojlim (E/F^{n} E). \,}$

Dette er igjen en abelsk gruppe. Vanligvis er E en additiv abelsk gruppe. Hvis E har en ekstra algebraisk struktur som er kompatibel med filtreringen, for eksempel E er en filtrert ring , en filtrert modul eller et filtrert vektorrom , så er fullførelsen igjen et objekt med samme struktur som er fullstendig i topologien bestemt av filtreringen . Denne konstruksjonen kan brukes både på kommutative og ikke -kommutative ringer . Som det kan forventes, når skjæringspunktet mellom lik null, gir dette en komplett topologisk ring . ${\ displaystyle F^{i} E}$

Krull topologi

I kommutativ algebra , filtrering på en kommutativ ring R av kreftene til en passende ideell jeg bestemmer Krull topologi (etter Wolfgang Krull ) eller I -adic topologien på R . Når det gjelder en maksimal ideelle er spesielt viktig, for eksempel den særpregede maksimale idealet om en verdivurdering ring . Den basis av åpne nabolag av 0 i R er gitt av krefter I ⁿ , som er nestet og danner en nedadgående filtrering på R : ${\ displaystyle I = {\ mathfrak {m}}}$

${\ displaystyle F^{0} R = R \ supset I \ supset I^{2} \ supset \ cdots, \ quad F^{n} R = I^{n}.}$

(Åpne nabolag for alle r ∈ R er gitt av cosets r + I ⁿ .) Fullføringen er omvendt grense for faktorringene ,

${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {I} = \ varprojlim (R/I^{n})}$

uttales "RI -hatt". Kjernen av den kanoniske kartet π fra ringen til dens gjennomføring er skjæringspunktet av kreftene i I . Dermed er π injektiv hvis og bare hvis dette krysset reduseres til nullelementet i ringen; ved Krull -kryssetningen er dette tilfellet for enhver kommutativ noeterisk ring som enten er et integrert domene eller en lokal ring .

Det er en beslektet topologi på R -moduler, også kalt Krull eller I - adic topology . Et grunnlag for åpne nabolag i en modul M er gitt av settene i skjemaet

${\ displaystyle x+I^{n} M \ quad {\ text {for}} x \ i M.}$

Fullføringen av en R -modul M er den inverse grensen for kvotientene

${\ displaystyle {\ widehat {M}} _ {I} = \ varprojlim (M/I^{n} M).}$

Denne fremgangsmåte omdanner en hvilken som helst modul i løpet av R til en komplett topologisk modul enn . ${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {I}}$

Eksempler

• Ringen av p -adiske heltall oppnås ved å fullføre ringen med heltall ved det ideelle ( p ).${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

• La R = K [ x ₁ , ..., x _n ] være polynomringen i n variabler over et felt K og være det maksimale idealet som genereres av variablene. Da gjennomføringen er ringen K [[ x ₁ , ..., x _n ]] av elle kraft serie i n variabler enn K .${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {\ mathfrak {m}}}$

• Gitt en noeterisk ring og et ideal, er den -adiske fullførelsen av et bilde av en formell kraftseriering , spesielt bildet av innsigelsen${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I = (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}),}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} R [[x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]] \ til {\ widehat {R}} _ {I} \\ x_ {i} \ mapsto f_ {i } \ end {cases}}}$

Kjernen er den ideelle ${\ displaystyle (x_ {1} -f_ {1}, \ ldots, x_ {n} -f_ {n}).}$

Fullføringer kan også brukes til å analysere den lokale strukturen til singulariteter i et opplegg . For eksempel, de affine ordninger knyttet til og knute kubiske plan kurve har lignende ser singulariteter i origo ved visning av deres grafer (både ser ut som et plusstegn). Legg merke til at i det andre tilfellet er et Zariski -nabolag med opprinnelse fortsatt en ureduserbar kurve. Hvis vi bruker fullføringer, ser vi på et "lite nok" nabolag der noden har to komponenter. Å ta lokaliseringene til disse ringene langs idealet og fullføre gir og henholdsvis, hvor er den formelle kvadratroten til i Mer eksplisitt, kraftserien: ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y]/(xy)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y]/(y^{2} -x^{2} (1+x))}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [[x, y]]/(xy)}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [[x, y]]/((y+u) (yu))}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle x^{2} (1+x)}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [[x, y]].}$

${\ displaystyle u = x {\ sqrt {1+x}} = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n} (2n)!} {(1- 2n) (n!)^{2} (4^{n})}} x^{n+1}.}$

Siden begge ringene er gitt ved skjæringspunktet mellom to idealer generert av et homogent grad 1 polynom, kan vi se algebraisk at singularitetene "ser" like ut. Dette er fordi en slik ordning er foreningen av to ikke-like lineære underrom i affineplanet.

Egenskaper

1. Fullføringen er en funksjonell operasjon: et kontinuerlig kart f :  R  →  S av topologiske ringer gir opphav til et kart over deres fullføringer,

${\ displaystyle {\ widehat {f}}: {\ widehat {R}} \ til {\ widehat {S}}.}$

Videre, hvis M og N er to moduler over den samme topologiske ringen R og f :  M  →  N er et kontinuerlig modulkart, strekker f seg unikt til kartet over fullføringene:

${\ displaystyle {\ widehat {f}}: {\ widehat {M}} \ til {\ widehat {N}},}$

hvor er modulene over${\ displaystyle {\ widehat {M}}, {\ widehat {N}}}$${\ displaystyle {\ widehat {R}}.}$

2. Fullføringen av en Noetherian ring R er en flat modul enn R .

3. Fullføringen av en endelig generert modul M over en noeterisk ring R kan oppnås ved utvidelse av skalarer :

${\ displaystyle {\ widehat {M}} = M \ otimes _ {R} {\ widehat {R}}.}$

Sammen med den forrige egenskapen innebærer dette at fullføringsfunksjonen på endelig genererte R -moduler er nøyaktig : den bevarer korte eksakte sekvenser . Spesielt å ta kvoter av ringer pendler med fullføring, noe som betyr at for enhver kvotient R -algebra er det en isomorfisme ${\ displaystyle R/I}$

${\ displaystyle {\ widehat {R/I}} \ cong {\ widehat {R}}/{\ widehat {I}}.}$

4. Cohen -struktursetning (ekviskarakteristisk tilfelle). La R være en fullstendig lokal Noetherian kommutativ ring med maksimal ideell og residuet felt K . Hvis R inneholder et felt, så ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

${\ displaystyle R \ simeq K [[x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]]/I}$

for noen n og noen ideelle I (Eisenbud, teorem 7.7).

Se også

• Formelt opplegg
• Uendelig heltall
• Lokalt kompakt felt
• Zariski ring
• Lineær topologi
• Kvasi ublandet ring

Sitater

Referanser