Innbygging - Embedding

I matematikk , en innstøping (eller imbedding ) er en forekomst av noen matematisk struktur inneholdt i et annet tilfelle, for eksempel en gruppe som er en undergruppe .

Når en eller annen gjenstand X sies å være forankret i et annet objekt Y , blir forankringen gitt av noen injektiv og struktur bevarende kart f  : X → Y . Den presise betydningen av "strukturbevarende" avhenger av hvilken type matematisk struktur X og Y er forekomster av. I terminologien til kategoriteori kalles et strukturbevarende kart morfisme .

Det faktum at et kart f  : X → Y er en innebygging, blir ofte indikert ved bruk av en "hektet pil" ( U + 21AA ↪ PIL PÅ HØYRE PÅ KROK ); således: (På den annen side er denne notasjonen noen ganger reservert for inkluderingskart .) ${\ displaystyle f: X \ hookrightarrow Y.}$

Gitt X og Y , kan flere forskjellige innblandinger av X i Y være mulig. I mange tilfeller av interesse er det en standard (eller "kanonisk") innebygging, som de naturlige tallene i heltallene , heltallene i rasjonelle tall , rasjonelle tall i reelle tall og reelle tall i de komplekse tallene . I slike tilfeller er det vanlig å identifisere domene X med sin bilde f ( X ) inneholdt i Y , slik at f ( x ) ⊆ Y .

Topologi og geometri

Generell topologi

I generell topologi , er nedgravningsoperasjonen en homeomorfi på dens bilde. Mer eksplisitt er et injeksivt kontinuerlig kart mellom topologiske rom og en topologisk forankring hvis det gir en homeomorfisme mellom og (hvor bærer subområdetopologien arvet fra ). Intuitivt da lar innebyggingen oss behandle som et underområde av . Hver innebygging er injiserende og kontinuerlig . Hvert kart som er injiserende, kontinuerlig og enten åpent eller lukket er en innebygging; men det er også innebygninger som verken er åpne eller lukkede. Det sistnevnte skjer dersom bildet er hverken en åpen mengde eller et lukket sett i . ${\ displaystyle f: X \ til Y}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f (X)}$${\ displaystyle f (X)}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f: X \ til Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f (X)}$${\ displaystyle Y}$

For et gitt rom er eksistensen av en innebygging en topologisk invariant av . Dette gjør det mulig å skille mellom to mellomrom hvis det ene er i stand til å bli innebygd i et rom mens det andre ikke er det. ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X \ til Y}$${\ displaystyle X}$

Differensiell topologi

I differensialtopologi : La og vær glatte manifolder og vær et glatt kart. Da kalles en nedsenking hvis dens derivat er overalt injeksjonsdyktig. En innebygging , eller en jevn innebygging , er definert som en injiserende nedsenking som er en innebygging i den topologiske forstand som er nevnt ovenfor (dvs. homeomorfisme på bildet). ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle f: M \ til N}$${\ displaystyle f}$

Med andre ord er domenet til en innebygging diffeomorphic til dets bilde, og spesielt bildet av en innebygging må være en submanifold . En nedsenking er nettopp en lokal innebygging , dvs. for et hvilket som helst punkt er det et nabolag som er en innebygging. ${\ displaystyle x \ i M}$${\ displaystyle x \ i U \ subset M}$${\ displaystyle f: U \ to N}$

Når domenefordeleren er kompakt, tilsvarer forestillingen om en jevn innebygging den som en injeksjonsdykking.

En viktig sak er . Interessen her er hvor stor det må være for en innebygging, når det gjelder dimensjonen til . The Whitney embedding teorem sier at det er nok, og er den best mulige lineære grensen. For eksempel, den virkelige projeksjonsrommet RP ^m av dimensjon , der er en potens av to, krever for en omslutning. Dette gjelder imidlertid ikke nedsenking; for eksempel kan RP ² være nedsenket i som eksplisitt vises av guttens overflate - som har selvskjæringer. Den romerske overflaten klarer ikke å være en nedsenking da den inneholder krysshetter . ${\ displaystyle N = \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n = 2m}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n = 2m}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

En innebygging er riktig hvis den oppfører seg bra med hensyn til grenser : man krever at kartet er slik at ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

• ${\ displaystyle f (\ partial X) = f (X) \ cap \ partial Y}$ , og
• ${\ displaystyle f (X)}$ er tverrgående til i et hvilket som helst punkt av . ${\ displaystyle \ delvis Y}$${\ displaystyle f (\ partial X)}$

Den første tilstanden tilsvarer å ha og . Den andre betingelsen, grovt sett, sier at f ( x ) er ikke tangent til grensen for Y . ${\ displaystyle f (\ partial X) \ subseteq \ partial Y}$${\ displaystyle f (X \ setminus \ partial X) \ subseteq Y \ setminus \ partial Y}$

Riemannian og pseudo-Riemannian geometri

I Riemannian geometri og pseudo-Riemannian geometri: La ( M , g ) og ( N , h ) være Riemannian manifolds eller mer generelt pseudo-Riemannian manifolds . En isometrisk innebygging er en jevn innebygging f  : M → N som bevarer (pseudo-) metriske i den forstand at g er lik tilbaketrekningen av h ved f , dvs. g = f * h . Eksplisitt, for to tangentvektorer vi har ${\ displaystyle v, w \ in T_ {x} (M)}$

${\ displaystyle g (v, w) = h (df (v), df (w)).}$

Analogt er isometrisk nedsenking en nedsenking mellom (pseudo) -Riemannian manifolds som bevarer (pseudo) -Riemannian beregningene.

Tilsvarende, i Riemannian-geometri, er en isometrisk innebygging (nedsenking) en jevn innebygging (nedsenking) som bevarer lengden på kurver (jf. Nash-innebyggingsteorem ).

Algebra

Generelt, for en algebraisk kategori C , er innstøping mellom to C- algebraiske strukturer X og Y en C- morfisme e  : X → Y som er injiserende.

Feltteori

I feltteori , en innebygging av et felt E på et felt F er en ring homomorfi σ  : E → F .

Den kjerne av σ er en ideell for E som ikke kan være hele feltet E , på grunn av tilstanden σ (1) = 1 . Videre er det en velkjent egenskap for felt at deres eneste idealer er nullidealet og hele selve feltet. Derfor er kjernen 0, så enhver innblanding av felt er en monomorfisme . Derfor, E er isomorf med delfeltet σ ( E ) av F . Dette rettferdiggjør navnet som legges ned for en vilkårlig homomorfisme av felt.

Universell algebra og modellteori

Hvis σ er en signatur og er σ- strukturer (også kalt cr-algebraer i universell algebra eller modeller i modellteori ), deretter et kart er en σ-embedding iff alle av følgende hold: ${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle h: A \ til B}$

• ${\ displaystyle h}$ er injiserende,
• for hvert -ary funksjonssymbol, og vi har , ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f \ in \ sigma}$${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ i A ^ {n},}$${\ displaystyle h (f ^ {A} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})) = f ^ {B} (h (a_ {1}), \ ldots, h (a_ {n}) )}$
• for ethvert forholdssymbol, og vi har iff ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle R \ in \ sigma}$${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ i A ^ {n},}$${\ displaystyle A \ models R (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$${\ displaystyle B \ modeller R (h (a_ {1}), \ ldots, h (a_ {n})).}$

Her er en teoretisk modellnotasjon tilsvarende . I modellteorien er det også en sterkere forestilling om elementær innebygging . ${\ displaystyle A \ models R (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$${\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ i R ^ {A}}$

Ordensteori og domene teori

I ordensteorien er en innebygging av delvis ordnede sett en funksjon F mellom delvis ordnede sett X og Y slik at

${\ displaystyle \ forall x_ {1}, x_ {2} \ i X: x_ {1} \ leq x_ {2} \ iff F (x_ {1}) \ leq F (x_ {2}).}$

Injektivitet av F følger raskt fra denne definisjonen. I domeneteori er et tilleggskrav det

${\ displaystyle \ forall y \ i Y: \ {x \ mid F (x) \ leq y \}}$ er rettet .

Metriske mellomrom

En kartlegging av metriske mellomrom kalles innebygging (med forvrengning ) hvis ${\ displaystyle \ phi: X \ til Y}$ ${\ displaystyle C> 0}$

${\ displaystyle Ld_ {X} (x, y) \ leq d_ {Y} (\ phi (x), \ phi (y)) \ leq CLd_ {X} (x, y)}$

for noen konstante . ${\ displaystyle L> 0}$

Normerte mellomrom

Et viktig spesielt tilfelle er normerte rom ; i dette tilfellet er det naturlig å vurdere lineære embeddings.

Et av de grunnleggende spørsmålene som kan stilles om et endelig-dimensjonalt normert rom er, hva er den maksimale dimensjonen slik at Hilbert-rommet kan legges inn lineært med konstant forvrengning?${\ displaystyle (X, \ | \ cdot \ |)}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ ell _ {2} ^ {k}}$${\ displaystyle X}$

Svaret er gitt av Dvoretzkys teorem .

Kategoriteori

I kategoriteori er det ingen tilfredsstillende og allment akseptert definisjon av innebygging som gjelder i alle kategorier. Man kan forvente at alle isomorfismer og alle sammensetningene av embedding er embedding, og at alle embeddings er monomorfismer. Andre typiske krav er: enhver ekstrem monomorfisme er en forankring og innebygging er stabil under tilbaketrekninger .

Ideelt sett bør klassen til alle innebygde underobjekter til et gitt objekt, opp til isomorfisme, også være liten , og dermed et ordnet sett . I dette tilfellet sies det at kategorien er godt drevet med hensyn til klassen av embeddings. Dette gjør det mulig å definere nye lokale strukturer i kategorien (for eksempel en stengningsoperatør ).

I en konkret kategori er innebygging en morfisme ƒ :  A  →  B som er en injeksjonsfunksjon fra det underliggende settet til A til det underliggende settet av B og er også en innledende morfisme i følgende betydning: Hvis g er en funksjon fra underliggende sett av et objekt C til det underliggende settet til A , og hvis dets sammensetning med ƒ er en morfisme ƒg :  C  →  B , så er g selv en morfisme.

Et faktoriseringssystem for en kategori gir også oppfatning av innebygging. If ( E ,  M ) er et faktorisering systemet, vil de morphisms i M kan betraktes som de forsenkninger, særlig når den kategori er godt drives med hensyn på  M . Konkrete teorier har ofte et faktoriseringssystem der M består av innebygging i forrige forstand. Dette er tilfellet med flertallet av eksemplene gitt i denne artikkelen.

Som vanlig i kategoriteori er det et dobbeltbegrep , kjent som kvotient. Alle de foregående egenskapene kan dualiseres.

En innebygging kan også referere til en innebygd funksjon .

Se også

• Stengt nedsenking
• Dekke
• Dimensjonsreduksjon
• Nedsenking
• Johnson – Lindenstrauss lemma
• Undermanifold
• Underområde
• Universell plass

Merknader

Referanser

• Bishop, Richard Lawrence ; Crittenden, Richard J. (1964). Geometri av manifolder . New York: Academic Press. ISBN   978-0-8218-2923-3 .
• Bishop, Richard Lawrence ; Goldberg, Samuel Irving (1968). Tensoranalyse på fordeler (First Dover 1980 ed.). The Macmillan Company. ISBN   0-486-64039-6 .
• Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). Gjeldende differensialgeometri . Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN   978-0-521-23190-9 .
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry . ISBN   978-0-8176-3490-2 .
• Flanders, Harley (1989). Differensielle skjemaer med applikasjoner til fysikk . Dover. ISBN   978-0-486-66169-8 .
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannian Geometry (3. utgave). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN   978-3-540-20493-0 .
• Hocking, John Gilbert; Young, Gail Sellers (1988) [1961]. Topologi . Dover. ISBN   0-486-65676-4 .
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Differensialmanifold . Mineola, New York: Dover Publications. ISBN   978-0-486-46244-8 .
• Lang, Serge (1999). Grunnleggende om differensiell geometri . Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN   978-0-387-98593-0 .
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1963). Fundament of Differential Geometry, bind 1 . New York: Wiley-Interscience.
• Lee, John Marshall (1997). Riemannian manifolds . Springer Verlag. ISBN   978-0-387-98322-6 .
• Sharpe, RW (1997). Differensiell geometri: Cartans generalisering av Kleins Erlangen-program . Springer-Verlag, New York. ISBN   0-387-94732-9 . .
• Spivak, Michael (1999) [1970]. En omfattende introduksjon til differensialgeometri (bind 1) . Publiser eller omkomme. ISBN   0-914098-70-5 .
• Warner, Frank Wilson (1983). Fundamenter for forskjellige manifolds og løgngrupper . Springer-Verlag, New York. ISBN   0-387-90894-3 . .

Eksterne linker

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006). Abstrakte og konkrete kategorier (gleden ved katter) .
• Innbygging av manifolder på manifoldatlaset

Indeks over artikler tilknyttet samme navn

Denne artikkelen inneholder en liste over relaterte varer som har samme navn (eller lignende navn).
Hvis en intern lenke feilet førte deg hit, kan det være lurt å endre lenken for å peke direkte på den tiltenkte artikkelen.