Whitney innebygd teorem - Whitney embedding theorem

I matematikk , spesielt i differensialtopologi , er det to Whitney-innebygde teoremer, oppkalt etter Hassler Whitney :

Den sterke Whitney-innebygd setningen sier at en hvilken som helst glatt ekte $m$ - dimensjonal manifold (som også kreves for å være Hausdorff og andre-tellbare ) kan være jevnt innebygd i det virkelige $2 m-$ rommet ( $R 2 m$ ), hvis $m > 0$ . Dette er den beste lineære grensen på det minste dimensjonale euklidiske rommet som alle $m$ -dimensjonale manifolder legger seg inn i, da de virkelige projiserende rom med dimensjon $m$ ikke kan legges inn i ekte $(2 m - 1)$ -rom hvis $m$ er en kraft på to (som det fremgår av et karakteristisk klasseargument, også på grunn av Whitney).
Den svake Whitney-innebyggingssatsen sier at enhver kontinuerlig funksjon fra en $n-$ dimensjonal manifold til en $m-$ dimensjonal manifold kan tilnærmes ved en jevn innebygging gitt $m > 2 n$ . Whitney viste på samme måte at et slikt kart kunne tilnærmes ved en nedsenking gitt $m > 2 n - 1$ . Dette siste resultatet kalles noen ganger Whitney-teoremet .

Litt om beviset

Den generelle oversikten over beviset er å starte med en nedsenking $f : M \to R 2 m$ med tverrgående selvkryss. Disse er kjent for å eksistere fra Whitneys tidligere arbeid med den svake nedsenkningssatsen . Transversaliteten av dobbeltpunktene følger av et generelt holdningsargument. Ideen er å på en eller annen måte fjerne alle selvkryssene. Hvis $M$ har grense, kan man fjerne selvkryssene ganske enkelt ved å isotopere $M$ i seg selv (isotopien er i domenet til $f$ ), til en undermanifold av $M$ som ikke inneholder dobbeltpunktene. Dermed blir vi raskt ført til saken der $M ikke$ har noen grense. Noen ganger er det umulig å fjerne dobbeltpunktene via en isotopi - ta for eksempel figur 8-nedsenking av sirkelen i planet. I dette tilfellet må man innføre et lokalt dobbeltpunkt.

Vi introduserer dobbeltpunkt.

Når man har to motstående doble punkter, ett konstruerer en lukket sløyfe som forbinder de to, noe som gir en lukket bane i $R 2 m$ . Siden $R 2 m$ er enkelt forbindes , kan man anta at denne banen avgrenser en plate, og forutsatt $to m > 4$ kan man videre anta (ved svak Whitney innebygging teorem ) at platen er innebygd i $R 2 m$ , slik at den skjærer bildet av $M$ bare i sin grense. Whitney bruker deretter platen til å opprette en 1-parameterfamilie med nedsenking, og faktisk skyve $M$ over platen, og fjerne de to doble punktene i prosessen. Når det gjelder figur 8-nedsenking med det innførte dobbeltpunktet, er skyvingen ganske enkel (bildet).

Avbryter motsatte dobbeltpunkter.

Denne prosessen med å eliminere motsatte tegn dobbeltpunkter ved å skyve manifolden langs en plate kalles Whitney Trick .

For å introdusere et lokalt dobbeltpunkt opprettet Whitney nedsenkninger $α m : R m \to R 2 m$ som er omtrent lineære utenfor enhetskulen, men som inneholder et enkelt dobbeltpunkt. For $m = 1 er en$ slik nedsenking gitt av

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ alpha: \ mathbf {R} ^ {1} \ to \ mathbf {R} ^ {2} \\\ alpha (t) = \ left ({\ frac {1} { 1 + t ^ {2}}}, t - {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}} \ right) \ end {cases}}}

Legg merke til at hvis $α$ betraktes som et kart til $R 3$ slik:

{\ displaystyle \ alpha (t) = \ left ({\ frac {1} {1 + t ^ {2}}}, t - {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, 0 \ Ikke sant)}

da kan dobbeltpunktet løses til en innebygging:

{\ displaystyle \ beta (t, a) = \ left ({\ frac {1} {(1 + t ^ {2}) (1 + a ^ {2})}}, t - {\ frac {2t} {(1 + t ^ {2}) (1 + a ^ {2})}}, {\ frac {ta} {(1 + t ^ {2}) (1 + a ^ {2})}} \ Ikke sant).}

Legg merke til $β (t, 0) = α (t)$ og for $a \neq 0$ er som en funksjon av $t$ , $β (t, a)$ en innebygging.

For høyere dimensjoner m , er det $α m$ som kan lignende måte bli løst i $R- 2 m + 1$ . For en innstøping i $R- 5$ , for eksempel definere

{\ displaystyle \ alpha _ {2} (t_ {1}, t_ {2}) = \ left (\ beta (t_ {1}, t_ {2}), t_ {2} \ right) = \ left ({ \ frac {1} {(1 + t_ {1} ^ {2}) (1 + t_ {2} ^ {2})}}, t_ {1} - {\ frac {2t_ {1}} {(1 + t_ {1} ^ {2}) (1 + t_ {2} ^ {2})}}, {\ frac {t_ {1} t_ {2}} {(1 + t_ {1} ^ {2} ) (1 + t_ {2} ^ {2})}}, t_ {2} \ høyre).}

Denne prosessen fører til slutt en til definisjonen:

{\ displaystyle \ alpha _ {m} (t_ {1}, t_ {2}, \ cdots, t_ {m}) = \ left ({\ frac {1} {u}}, t_ {1} - {\ frac {2t_ {1}} {u}}, {\ frac {t_ {1} t_ {2}} {u}}, t_ {2}, {\ frac {t_ {1} t_ {3}} {u }}, t_ {3}, \ cdots, {\ frac {t_ {1} t_ {m}} {u}}, t_ {m} \ right),}

hvor

{\ displaystyle u = (1 + t_ {1} ^ {2}) (1 + t_ {2} ^ {2}) \ cdots (1 + t_ {m} ^ {2}).}

Nøkkelegenskapene til $α m$ er at det er en innebygd bortsett fra dobbeltpunktet $α m (1, 0, ..., 0) = α m (-1, 0, ..., 0)$ . Videre for $| (t 1, ..., t m) |$ stor, er den omtrent den lineære innebyggingen $(0, t 1, 0, t 2, ..., 0, t m)$ .

Eventuelle konsekvenser av Whitney-trikset

Whitney-trikset ble brukt av Stephen Smale for å bevise h- kobordismens teorem ; hvorfra følger Poincaré-formodningen i dimensjoner $m \geq 5$ , og klassifiseringen av glatte strukturer på plater (også i dimensjoner 5 og oppover). Dette gir grunnlaget for kirurgisk teori , som klassifiserer manifolder i dimensjon 5 og over.

Gitt to orienterte delmanifold av komplementære dimensjoner i en enkelt tilkoblet manifold med dimensjon ≥ 5, kan man bruke en isotopi til en av delmanifoldene slik at alle skjæringspunktene har samme tegn.

Historie

Anledningen til beviset fra Hassler Whitney om innebygd teorem for glatte manifolder sies (ganske overraskende) å ha vært den første fullstendige redegjørelsen for manifoldkonseptet nettopp fordi det samlet og forenet de forskjellige konseptene til manifoldene på den tiden: ikke lenger var det noen forvirring om abstrakte manifolder, iboende definert via diagrammer, var noe mer eller mindre generelle enn manifolder som ekstremt defineres som submanifolds i det euklidiske rommet. Se også historien til manifolder og varianter for kontekst.

Skarpere resultater

Selv om hvert $n$ -manifold innebærer $R 2 n$ , kan man ofte gjøre det bedre. La $e (n)$ betegne det minste heltallet slik at alle kompakte tilkoblede $n$ -manifoldene er innebygd i $R e (n)$ . Whitneys sterke innebyggingsteorem sier at $e (n) \leq 2 n$ . For $n = 1, 2 har$ vi $e (n) = 2 n$ , slik sirkelen og Klein-flasken viser. Mer generelt, for $n = 2 k har$ vi $e (n) = 2 n$ , som det $2 k-$ dimensjonale virkelige prosjektive rommet viser. Whitneys resultat kan forbedres til $e (n) \leq 2 n - 1$ med mindre $n$ er en kraft på 2. Dette er et resultat av André Haefliger og Morris Hirsch (for $n > 4$ ) og CTC Wall (for $n = 3$ ); disse forfatterne brukte viktige foreløpige resultater og spesielle tilfeller bevist av Hirsch, William S. Massey , Sergey Novikov og Vladimir Rokhlin . For tiden er ikke funksjonen $e$ kjent i lukket form for alle heltall (sammenlign med Whitney-nedsenkingsteorem , der det analoge tallet er kjent).

Begrensninger på manifoldene

Man kan styrke resultatene ved å legge ytterligere begrensninger på manifolden. For eksempel, den $N$ -sphere alltid bygger inn i $R n + 1$ - som er den best mulige (lukkede $n$ -manifolds kan ikke bygge inn i $R n$ ). Enhver kompakt orienterbar overflate og hvilken som helst kompakt overflate med ikke-tom grense innebygd i $R 3$ , selv om en lukket ikke-orienterbar overflate trenger $R 4$ .

Hvis $N$ er en kompakt orienterbar $n-$ dimensjonal manifold, legger $N$ inn i $R 2 n - 1$ (for $n$ ikke en styrke på 2 er orienterbarhetsbetingelsen overflødig). For $n$ en kraft på 2 er dette et resultat av André Haefliger og Morris Hirsch (for $n > 4$ ), og Fuquan Fang (for $n = 4$ ); disse forfatterne brukte viktige foreløpige resultater bevist av Jacques Boéchat og Haefliger, Simon Donaldson , Hirsch og William S. Massey . Haefliger beviste at hvis $N$ er en kompakt $n-$ dimensjonal $k-$ tilkoblet manifold, så innebærer $N$ i $R 2 n - k$ gitt $2 k + 3 \leq n$ .

Isotopy-versjoner

En relativt 'lett' resultat er å bevise at hvilke som helst to innebygging av en 1-manifold i R ⁴ er isotopisk . Dette er bevist ved hjelp av generell posisjon, som også gjør det mulig å vise at to innstøpninger av en $n$ -manifold i $R 2 n + 2$ er isotopiske. Dette resultatet er en isotopiversjon av den svake Whitney-innebygd teoremet.

Wu beviste at for $n \geq 2$ , er to innblandinger av en $n$ -manifold i $R 2 n + 1$ isotopiske. Dette resultatet er en isotopiversjon av den sterke Whitney-innebygd teoremet.

Som en isotopiversjon av innstøpningsresultatet hans, beviste Haefliger at hvis $N$ er en kompakt $n-$ dimensjonal $k-$ tilkoblet manifold, så er to innblandinger av $N$ i $R 2 n - k + 1$ isotopisk gitt $2 k + 2 \leq n$ . Dimensjonen restriksjons $2 k + 2 \leq n$ er skarp: HAEFLIGER fortsatte med å gi eksempler på ikke-trivielt innleiret 3-kuler i $R 6$ (og, mer generelt, $(2 d - 1)$ -spheres i $R 3 d$ ). Se ytterligere generaliseringer .

Se også

Merknader

Referanser

Whitney, Hassler (1992), Eells, James ; Toledo, Domingo (red.), Collected Papers , Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3560-2
Milnor, John (1965), Forelesninger om h- kobordismesetningen , Princeton University Press
Adachi, Masahisa (1993), Embeddings and Immersions , oversatt av Hudson, Kiki, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4612-4
Skopenkov, Arkadiy (2008), "Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces", i Nicholas Young; Yemon Choi (red.), Surveys in Contemporary Mathematics , London Math. Soc. Forelesning. Notater., 347 , Cambridge: Cambridge University Press , s. 248–342, arXiv : matematikk / 0604045 , Bibcode : 2006math ...... 4045S , MR 2388495

Eksterne linker

Klassifisering av embeddings

Languages

In other projects