Konformal geometri - Conformal geometry

I matematikk er konformal geometri studiet av settet med vinkelbevarende ( konforme ) transformasjoner på et mellomrom.

I et ekte todimensjonalt rom er konformal geometri nettopp geometrien til Riemann -overflater . I rom som er høyere enn to dimensjoner, kan konform geometri referere enten til studiet av konforme transformasjoner av det som kalles "flate mellomrom" (for eksempel euklidiske mellomrom eller sfærer ), eller til studiet av konforme manifolder som er Riemannian eller pseudo-Riemannian manifolds med en klasse beregninger som er definert opp til skala. Studie av de flate strukturene kalles noen ganger Möbius -geometri , og er en type Klein -geometri .

Konforme manifolder

En konform manifold er en pseudo-Riemannian manifold utstyrt med en ekvivalensklasse av metriske tensorer , der to beregninger g og h er ekvivalente hvis og bare hvis

${\ displaystyle h = \ lambda ^{2} g,}$

hvor λ er en virkelig verdifull glatt funksjon definert på manifolden og kalles konform faktor . En ekvivalensklasse for slike beregninger er kjent som en konform metrisk eller konform klasse . Således kan en konform metrisk betraktes som en beregning som bare er definert "opp til skala". Ofte behandles konforme beregninger ved å velge en beregning i konformklassen, og kun bruke "konformt uforanderlige" konstruksjoner på den valgte metriken.

En konform metrisk er konform flat hvis det er en metrik som representerer den som er flat, i vanlig forstand at Riemann -krumningstensoren forsvinner. Det kan bare være mulig å finne en beregning i konformklassen som er flat i et åpent nabolag i hvert punkt. Når det er nødvendig å skille disse tilfellene, kalles sistnevnte lokalt konformt flatt , selv om det ofte ikke opprettholdes noen forskjell i litteraturen. Den n -sphere er et lokalt konformt flat manifold som ikke er globalt konformt flat i denne forstand, mens en euklidsk plass, en torus, eller en hvilken som helst konformt manifold som er dekket av en åpen undergruppe av euklidsk plass er (globalt) konformt flat i denne føle. En lokalt samsvarende flat manifold er lokalt i samsvar med en Möbius -geometri , noe som betyr at det eksisterer en vinkel som bevarer lokal diffeomorfisme fra manifolden til en Möbius -geometri. I to dimensjoner er hver konforme metrisk lokalt samsvarende flat. I dimensjon n > 3 er en konform metrisk lokalt konform flat hvis og bare hvis Weyl -tensoren forsvinner; i dimensjon n = 3 , hvis og bare hvis Cotton tensor forsvinner.

Konformal geometri har en rekke funksjoner som skiller den fra (pseudo-) Riemannian geometri. Den første er at selv om man i (pseudo-) Riemannian geometri har en veldefinert metrikk på hvert punkt, har man i konformal geometri bare en klasse metrics. Dermed kan ikke lengden på en tangentvektor defineres, men vinkelen mellom to vektorer kan fortsatt. En annen funksjon er at det ikke er noen Levi-Civita-tilkobling fordi hvis g og λ ² g er to representanter for den konforme strukturen, ville Christoffelsymbolene til g og λ ² g ikke være enige. De som er assosiert med λ ² g vil involvere derivater av funksjonen λ mens de som er assosiert med g ikke ville.

Til tross for disse forskjellene er konform geometri fremdeles overførbar. Levi-Civita-forbindelsen og krumningstensoren , selv om den først er definert når en bestemt representant for den konforme strukturen er blitt trukket frem, tilfredsstiller visse transformasjonslover som involverer λ og dens derivater når en annen representant velges. Spesielt (i dimensjon høyere enn 3) viser det seg at Weyl -tensoren ikke er avhengig av λ , og det er derfor en konform invariant . Selv om det ikke er noen Levi-Civita-tilkobling på en konform manifold, kan man i stedet arbeide med en konform forbindelse , som kan håndteres enten som en type Cartan-tilkobling modellert på den tilhørende Möbius-geometrien, eller som en Weyl-forbindelse . Dette lar en definere konform krumning og andre invarianter av den konforme strukturen.

Möbius -geometri

Möbius-geometri er studiet av " euklidisk rom med et punkt lagt til i det uendelige", eller et " Minkowski (eller pseudo-euklidisk) rom med en nullkegle lagt til i det uendelige". Det vil si at innstillingen er en komprimering av et kjent rom; den geometri er opptatt av konsekvensene av å bevare vinkler.

På et abstrakt nivå kan de euklidiske og pseudo-euklidiske områdene håndteres på omtrent samme måte, bortsett fra når det gjelder dimensjon to. Det komprimerte todimensjonale Minkowski-planet viser omfattende konform symmetri . Formelt sett er gruppen av konforme transformasjoner uendelig-dimensjonal. Derimot er gruppen av konforme transformasjoner av det komprimerte euklidiske planet bare 6-dimensjonal.

To dimensjoner

Minkowski -fly

Den konforme gruppen for Minkowski kvadratisk form q ( x , y ) = 2 xy i planet er abelian Lie -gruppen

${\ displaystyle \ operatorname {CSO} (1,1) = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} e^{a} & 0 \\ 0 & e^{b} \ end {pmatrix}} \ right | a , b \ in \ mathbb {R} \ right \},}$

med Lie algebra cso (1, 1) bestående av alle ekte diagonale 2 × 2 matriser.

Tenk nå på Minkowski -flyet, ℝ ² utstyrt med metrikk

${\ displaystyle g = 2 \, dx \, dy ~.}$

En 1-parameter gruppe med konforme transformasjoner gir opphav til et vektorfelt X med egenskapen at Lie-derivatet av g langs X er proporsjonalt med g . Symbolsk,

L _X g = λg   for noen λ .

Spesielt ved å bruke beskrivelsen ovenfor av Lie algebra cso (1, 1) , innebærer dette at

1. L _X   dx = a ( x ) dx
2. L _X   dy = b ( y ) dy

for noen virkelig verdifulle funksjoner a og b, avhengig av henholdsvis x og y .

På den annen side, gitt et slikt par med virkelig verdifulle funksjoner, eksisterer det et vektorfelt X som tilfredsstiller 1. og 2. Derfor er Lie-algebra for uendelige symmetrier i den konforme strukturen, Witt-algebraen , uendelig-dimensjonal .

Den konforme komprimeringen av Minkowski -planet er et kartesisk produkt av to sirkler S ¹ × S ¹ . På det universelle omslaget er det ingen hindring for å integrere de uendelige symmetriene, og derfor er gruppen av konforme transformasjoner den uendelig-dimensjonale Lie-gruppen

${\ displaystyle (\ mathbb {Z} \ rtimes \ mathrm {Diff} (S^{1})) \ times (\ mathbb {Z} \ rtimes \ mathrm {Diff} (S^{1})),}$

hvor Diff ( S ¹ ) er diffeomorfismegruppen i sirkelen.

Den konforme gruppen CSO (1, 1) og dens Lie-algebra er av nåværende interesse for todimensjonal konformfeltteori .

Euklidisk rom

Gruppen av konforme symmetrier av den kvadratiske formen

${\ displaystyle q (z, {\ bar {z}}) = z {\ bar {z}}}$

er gruppen GL ₁ ( C ) = C ^× , multiplikasjonsgruppen til de komplekse tallene. Dens Lie algebra er gl _en ( C ) = C .

Tenk på det (euklidiske) komplekse flyet utstyrt med metrisk

${\ displaystyle g = dz \, d {\ bar {z}}.}$

De uendelige konforme symmetriene tilfredsstiller

1. ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {X} \, dz = f (z) \, dz}$
2. ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {X} \, d {\ bar {z}} = f ({\ bar {z}}) \, d {\ bar {z}},}$

hvor f tilfredsstiller Cauchy - Riemann -ligningen , og så er holomorf over sitt domene. (Se Witt -algebra .)

De konforme isometriene til et domene består derfor av holomorfe selvkart. Spesielt på den konforme komprimeringen - Riemann -sfæren - er de konforme transformasjonene gitt av Möbius -transformasjonene

${\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {az+b} {cz+d}}}$

der ad - bc er null.

Høyere dimensjoner

I to dimensjoner kan gruppen av konforme automorfismer i et rom være ganske stor (som i tilfelle av Lorentzian -signatur) eller variabel (som med tilfelle av euklidisk signatur). Den komparative mangelen på stivhet i det todimensjonale tilfellet med de av høyere dimensjoner skyldes det analytiske faktum at den asymptotiske utviklingen av de uendelige minimale automorfismene i strukturen er relativt begrenset. I Lorentzian -signaturen er friheten i et par virkelig verdsatte funksjoner. I euklidisk er friheten i en enkelt holomorf funksjon.

Ved høyere dimensjoner er den asymptotiske utviklingen av uendelige symmetrier høyst kvadratiske polynomer. Spesielt danner de en endelig-dimensjonal Lie-algebra . De punktvise uendelige konforme symmetriene til en manifold kan integreres nøyaktig når manifolden er en bestemt modell som er konformt flat ( opp til å ta universelle deksler og diskrete gruppekvotienter).

Den generelle teorien om konform geometri er lik, men med noen forskjeller, i tilfeller av euklidisk og pseudo-euklidisk signatur. I begge tilfeller er det en rekke måter å introdusere modellrommet for konformt flat geometri. Med mindre annet er klart fra konteksten, behandler denne artikkelen saken om euklidisk konform geometri med den forståelse at den også gjelder mutatis mutandis for den pseudo-euklidiske situasjonen.

Den inversive modellen

Den inversive modellen for konform geometri består av gruppen av lokale transformasjoner på det euklidiske rommet E ⁿ generert av inversjon i sfærer. Etter Liouvilles teorem er enhver vinkelbevarende lokal (konform) transformasjon av denne formen. Fra dette perspektivet er transformasjonsegenskapene til flatt konformt rom de for inversiv geometri .

Den projektive modellen

Den projektive modellen identifiserer den konformale sfæren med en viss kvadrik i et projektivt rom . La q betegne den Lorentzian kvadratiske formen på R ^{n +2} definert av

${\ displaystyle q (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n+1}) =-2x_ {0} x_ {n+1}+x_ {1}^{2}+x_ {2 }^{2} +\ cdots +x_ {n}^{2}.}$

I det projektive rommet P ( R ^{n +2} ), la S være stedet for q = 0 . Så er S den projektive (eller Möbius) modellen for konform geometri. En konform transformasjon på S er en projektiv lineær transformasjon av P ( R ^{n +2} ) som forlater den kvadriske invarianten.

I en beslektet utførelse, den andregradsflate S er tenkt som den himmel sfære ved uendelighet av null kjegle i den Minkowski plass R ^{n +1,1} , som er utstyrt med kvadratisk form q som ovenfor. Nullkeglen er definert av

${\ displaystyle N = \ left \ {(x_ {0}, \ ldots, x_ {n+1}) \ mid -2x_ {0} x_ {n+1}+x_ {1}^{2}+\ cdots +x_ {n}^{2} = 0 \ høyre \}.}$

Dette er den affine kjegle over projeksjonsandregradsflate S . La N ⁺ være den fremtidige delen av nullkeglen (med opprinnelsen slettet). Deretter tautological projeksjon R ^{n +1,1} ∖ {0} → P ( R ^{n 2} ) begrenser til et fremspring N ⁺ → S . Dette gir N ⁺ strukturen av en ledningsbunt enn S . Konforme transformasjoner på S induseres av de ortokrone Lorentz -transformasjonene av R ^{n +1,1} , siden dette er homogene lineære transformasjoner som bevarer den fremtidige ^nullkeglen .

Den euklidiske sfæren

Intuitivt er den konformt flate geometrien til en sfære mindre stiv enn den Riemanniske geometrien til en sfære. Konforme symmetrier til en kule genereres av inversjonen i alle dens hypersfærer . På den annen side genereres Riemanniske isometrier av en sfære av inversjoner i geodesiske hypersfærer (se Cartan - Dieudonné -teoremet .) Den euklidiske sfæren kan kartlegges til den konformale sfæren på kanonisk måte, men ikke omvendt.

Den euklidiske enhetssfæren er lokus i R ^{n +1}

${\ displaystyle z^{2}+x_ {1}^{2}+x_ {2}^{2}+\ cdots+x_ {n}^{2} = 1.}$

Dette kan kartlegges til Minkowski ^-rommet R ^{n +1,1} ved å la

${\ displaystyle x_ {0} = {\ frac {z+1} {\ sqrt {2}}}, \, x_ {1} = x_ {1}, \, \ ldots, \, x_ {n} = x_ {n}, \, x_ {n+1} = {\ frac {z-1} {\ sqrt {2}}}.}$

Det er lett å se at bildet av sfæren under denne transformasjonen er null i Minkowski -rommet, og så ligger det på kjeglen N ⁺ . Følgelig bestemmer det et tverrsnitt av ledningsbunten N ⁺ → S .

Likevel var det et vilkårlig valg. Hvis κ ( x ) er en positiv funksjon av x = ( z , x ₀ , ..., x _n ) , så er oppgaven

${\ displaystyle x_ {0} = {\ frac {z+1} {\ kappa (x) {\ sqrt {2}}}}, \, x_ {1} = x_ {1}, \, \ ldots, \ , x_ {n} = x_ {n}, \, x_ {n+1} = {\ frac {(z-1) \ kappa (x)} {\ sqrt {2}}}}$

gir også en kartlegging til N ⁺ . Funksjonen κ er et vilkårlig valg av konform skala .

Representative beregninger

En representativ Riemannian -metrikk på sfæren er en beregning som er proporsjonal med standard sfære -metrik. Dette gir en erkjennelse av sfæren som en konform manifold . Standard sfære -metrikk er begrensningen av den euklidiske metriken på R ^{n +1}

${\ displaystyle g = dz^{2}+dx_ {1}^{2}+dx_ {2}^{2}+\ cdots+dx_ {n}^{2}}$

til sfæren

${\ displaystyle z^{2}+x_ {1}^{2}+x_ {2}^{2}+\ cdots+x_ {n}^{2} = 1.}$

En konform representant for g er en metrik av formen λ ² g , der λ er en positiv funksjon på sfæren. Den konforme klassen g , betegnet [ g ], er samlingen av alle slike representanter:

${\ displaystyle [g] = \ left \ {\ lambda ^{2} g \ mid \ lambda> 0 \ right \}.}$

En innebygging av den euklidske sfæren til N ⁺ , som i det foregående avsnitt, bestemmer et konformt skala på S . Omvendt er enhver konform skala på S gitt ved en slik innbygging. Dermed er linjebunten N ⁺ → S identifisert med bunten med konforme skalaer på S : Å gi en del av denne bunten er lik å spesifisere en metrikk i konformklassen [ g ].

Omgivende metrisk modell

En annen måte å realisere de representative beregningene på er gjennom et spesielt koordinatsystem på R ^{n +1, 1} . Anta at den euklidiske n -sfæren S bærer et stereografisk koordinatsystem . Dette består av følgende kart over R ⁿ → S ⊂ R ^{n +1} :

${\ displaystyle \ mathbf {y} \ in \ mathbf {R} ^{n} \ mapsto \ left ({\ frac {2 \ mathbf {y}} {\ left | \ mathbf {y} \ right | ^{2 } +1}}, {\ frac {\ venstre | \ mathbf {y} \ høyre |^{2} -1} {\ venstre | \ mathbf {y} \ høyre |^{2} +1}} \ høyre ) \ i S \ delsett \ mathbf {R} ^{n+1}.}$

Når det gjelder disse stereografiske koordinatene, er det mulig å gi et koordinatsystem på nullkeglen N ⁺ i Minkowski -rommet. Ved å bruke innebyggingen gitt ovenfor, er den representative metriske delen av nullkeglen

${\ displaystyle x_ {0} = {\ sqrt {2}} {\ frac {\ left | \ mathbf {y} \ right |^{2}} {1+ \ left | \ mathbf {y} \ right |^ {2}}}, x_ {i} = {\ frac {y_ {i}} {\ venstre | \ mathbf {y} \ høyre |^{2} +1}}, x_ {n+1} = {\ sqrt {2}} {\ frac {1} {\ venstre | \ mathbf {y} \ høyre |^{2} +1}}.}$

Introduser en ny variabel t som tilsvarer utvidelser opp N ⁺ , slik at nullkeglen koordineres av

${\ displaystyle x_ {0} = t {\ sqrt {2}} {\ frac {\ left | \ mathbf {y} \ right |^{2}} {1+ \ left | \ mathbf {y} \ right | ^{2}}}, x_ {i} = t {\ frac {y_ {i}} {\ venstre | \ mathbf {y} \ høyre |^{2} +1}}, x_ {n+1} = t {\ sqrt {2}} {\ frac {1} {\ venstre | \ mathbf {y} \ høyre |^{2} +1}}.}$

La ρ til slutt være den følgende definerende funksjonen til N ⁺ :

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {-2x_ {0} x_ {n+1}+x_ {1}^{2}+x_ {2}^{2}+\ cdots+x_ {n}^{2 }} {t^{2}}}.}$

I koordinatene t , ρ , y på R ^{n +1,1} tar Minkowski ^-metrikken formen:

${\ displaystyle t^{2} g_ {ij} (y) \, dy^{i} \, dy^{j} +2 \ rho \, dt^{2}+2t \, dt \, d \ rho ,}$

hvor g _ij er metriket på sfæren.

I disse begrepene består en seksjon av bunten N ⁺ av en spesifikasjon av verdien av variabelen t = t ( y ⁱ ) som en funksjon av y ⁱ langs nullkeglen ρ = 0 . Dette gir følgende representant for den konforme metriken på S :

${\ displaystyle t (y)^{2} g_ {ij} \, dy^{i} \, dy^{j}.}$

Kleinian -modellen

Vurder først saken om den flate konforme geometrien i euklidisk signatur. Den n -dimensjonale modellen er den himmelske sfæren i det ( n + 2) -dimensjonale Lorentzian ^-rommet R ^{n +1,1} . Her er modellen en Klein -geometri : et homogent rom G / H hvor G = SO ( n + 1, 1) som virker på det ( n + 2) -dimensjonale Lorentzian ^-rommet R ^{n +1,1} og H er den isotropiske gruppen av en fast nullstråle i lyskjeglen . Dermed er de konformt flate modellene rom for inversiv geometri . For pseudo-euklidisk metrisk signatur ( p , q ) er modellens flate geometri definert analogt som det homogene rommet O ( p + 1, q + 1)/ H , hvor H igjen blir tatt som stabilisator for en nulllinje. Vær oppmerksom på at både de euklidiske og pseudo-euklidiske modellrommene er kompakte .

De konforme Lie -algebraene

For å beskrive gruppene og algebraene som er involvert i det flate modellrommet, fikser du følgende skjema på R ^{p +1, q +1} :

${\ displaystyle Q = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & J & 0 \\-1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$

hvor J er en kvadratisk signaturform ( p , q ) . Deretter G = O ( p + 1, q + 1) består av ( n + 2) x ( n + 2) matrikser stabiliserende Q  : ^t MQM = Q . Lie -algebraen innrømmer en kartansk nedbrytning

${\ displaystyle \ mathbf {g} = \ mathbf {g} _ {-1} \ oplus \ mathbf {g} _ {0} \ oplus \ mathbf {g} _ {1}}$

hvor

${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {-1} = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} 0 &^{t} p & 0 \\ 0 & 0 & J^{-1} p \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix} } \ right | p \ in \ mathbb {R} ^{n} \ right \}, \ quad \ mathbf {g} _ {-1} = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ ^{t} q & 0 & 0 \\ 0 & qJ^{-1} & 0 \ end {pmatrix}} \ right | q \ in (\ mathbb {R}^{n})^{*} \ right \}}$

${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {0} = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} -a & 0 & 0 \\ 0 & A & 0 \\ 0 & 0 & a \ end {pmatrix}} \ right | A \ in {\ mathfrak { så}} (p, q), a \ in \ mathbb {R} \ right \}.}$

Alternativt stemmer denne nedbrytningen med en naturlig Lie -algebra -struktur definert på R ⁿ ⊕ cso ( p , q ) ⊕ ( R ⁿ ) ^∗ .

Stabilisatoren til nullstrålen som peker opp den siste koordinatvektoren er gitt av Borel subalgebra

h = g ₀ ⊕ g ₁ .

Se også

• Konformal geometrisk algebra
• Konformal tyngdekraft
• Konformal drepingsligning
• Erlangen program
• Möbius -fly

Merknader

Referanser

• Kobayashi, Shoshichi (1970). Transformasjonsgrupper i differensialgeometri (første utgave). Springer. ISBN 3-540-05848-6.
• Slovák, Jan (1993). Uforanderlige operatører på konforme fordeler . Research Lecture Notes, University of Vienna (avhandling).
• Sternberg, Shlomo (1983). Forelesninger om differensialgeometri . New York: Chelsea. ISBN 0-8284-0316-3.

Eksterne linker

• GV Bushmanova (2001) [1994], "Conformal geometry" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/conformal/index.htm